4. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y=kx+b$与x轴交于点$B(-4,0)$,与y轴交于点A,直线$y=-2x+4$过点A,与x轴交于点C.
(1)点A的坐标是;直线AB的函数表达式是.
(2)若点P是直线AB上一动点,且$S_{△ PBC}=S_{△ AOB}$,求P点的坐标.
(3)点M在第二象限,当$S_{△ MAB}=S_{△ AOB}$时,动点N从点B出发,先运动到点M,再从点M运动到点C后停止运动.点N的运动速度始终为每秒1个单位长度,运动的总时间为t秒,请求出t的最小值.

(1)$(0,4)$;$y=x+4$ 【点拨】因为点$A$在$y$轴上,直线$y=-2x+4$过点$A$,所以点$A$的坐标为$(0,4)$.
将点$A(0,4)$和点$B(-4,0)$的坐标分别代入$y=kx+b$,得$b=4$,$-4k+b=0$,所以$k=1$,所以直线$AB$的函数表达式为$y=x+4$.
(2)由题意,设点$P$的坐标为$(p,p+4)$.
因为直线$y=-2x+4$与$x$轴交于点$C$,
所以令$y=0$,得$x=2$,所以点$C$的坐标为$(2,0)$.
因为点$A(0,4)$,点$B(-4,0)$,
所以$OA=4$,$OB=4$,$BC=6$,所以$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×4×4=8$.
因为$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×6×|p+4|$,$S_{△ PBC}=S_{△ AOB}$,
所以$\frac{1}{2}×6×|p+4|=8$,解得$p=-\frac{4}{3}$或$-\frac{20}{3}$,
所以点$P$的坐标为$(-\frac{4}{3},\frac{8}{3})$或$(-\frac{20}{3},-\frac{8}{3})$.
(3)因为点$M$在第二象限,$S_{△ MAB}=S_{△ AOB}$,
所以$M$在过点$D(0,8)$且平行于$AB$的线段$DE$(不含端点)上,如图,所以直线$DE$的函数表达式为$y=x+8$,所以$E(-8,0)$,
所以$OD=OE=8$,所以$∠ OED=45°$.
作点$B$关于直线$DE$的对称点$B'$,连接$CB'$,交线段$DE$于点$M$,此时易知$BM+CM$的最小值即$CB'$的长.
连接$B'E$,易知$EB'=EB=4$,$∠ B'EM=∠ BEM=45°$,
所以$∠ BEB'=90°$,
所以$B'(-8,4)$,所以$CB'=\sqrt{4^2+(2+8)^2}=2\sqrt{29}$.
因为点$N$的运动速度始终为每秒1个单位长度,运动的总时间为$t$秒,所以$t$的最小值为$2\sqrt{29}$.

【分析】
(1) 求点A坐标：点A是直线$y=-2x+4$与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，代入$x=0$即可求出A的纵坐标；再将A、B两点坐标代入$y=kx+b$，用待定系数法即可求出直线AB的函数表达式。
(2) 先求出直线$y=-2x+4$与x轴交点C的坐标，再计算$△ AOB$的面积；设出点P的坐标，$△ PBC$的底为BC的长度，高为点P纵坐标的绝对值，根据面积相等列方程，求解即可得到P点坐标，注意绝对值的解有两个。
(3) 由$S_{△ MAB}=S_{△ AOB}$可知，点M到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离，且M在第二象限，因此M在过点$(0,8)$且与AB平行的直线上；要求总时间t的最小值，速度为1，即求$BM+CM$的最小值，利用将军饮马模型，作点B关于该平行线的对称点$B'$，连接$B'C$，$B'C$的长度即为$BM+CM$的最小值，也就是t的最小值。
【解析】
(1) 点A在y轴上，横坐标为0，将$x=0$代入$y=-2x+4$，得$y=4$，因此点A的坐标为$(0,4)$。
将$A(0,4)$、$B(-4,0)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}b=4\\-4k+b=0\end{cases}$
解得$k=1$，$b=4$，因此直线AB的函数表达式为$y=x+4$。
(2) 对于直线$y=-2x+4$，令$y=0$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，因此点C的坐标为$(2,0)$。
由$A(0,4)$、$B(-4,0)$得$OA=4$，$OB=4$，$BC=2-(-4)=6$，因此$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×OB×OA=\frac{1}{2}×4×4=8$。
设点P的坐标为$(p,p+4)$，$△ PBC$的高为点P到x轴的距离，即$|p+4|$，因此$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×BC×|p+4|=\frac{1}{2}×6×|p+4|$。
由$S_{△ PBC}=S_{△ AOB}$，得$\frac{1}{2}×6×|p+4|=8$，即$|p+4|=\frac{8}{3}$。
解得$p=-\frac{4}{3}$或$p=-\frac{20}{3}$，对应P点坐标为$(-\frac{4}{3},\frac{8}{3})$或$(-\frac{20}{3},-\frac{8}{3})$。
(3) 当$S_{△ MAB}=S_{△ AOB}$时，点M到直线AB的距离等于点O到AB的距离，且M在第二象限，因此点M在过点$D(0,8)$且平行于AB的线段DE（不含端点）上。
直线AB的斜率为1，因此直线DE的斜率也为1，且过$(0,8)$，表达式为$y=x+8$，令$y=0$得$x=-8$，因此$E(-8,0)$，可知$∠ OED=45°$。
作点B关于直线DE的对称点$B'$，连接$CB'$，交DE于点M，此时$BM+CM$的最小值为$CB'$的长度。
连接$B'E$，由对称性得$EB'=EB=-4-(-8)=4$，$∠ B'EM=∠ BEM=45°$，因此$∠ BEB'=90°$，$B'$的坐标为$(-8,4)$。
由$C(2,0)$、$B'(-8,4)$，得$CB'=\sqrt{(2+8)^2+(0-4)^2}=\sqrt{100+16}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$。
点N运动速度为1单位/秒，因此总时间t的最小值为$2\sqrt{29}$。

【答案】
(1) $(0,4)$；$y=x+4$
(2) $(-\frac{4}{3},\frac{8}{3})$或$(-\frac{20}{3},-\frac{8}{3})$
(3) $t$的最小值为$2\sqrt{29}$

【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与面积计算；最短路径问题
【点评】
本题综合考查一次函数的相关应用，涵盖了解析式求解、三角形面积计算和最短路径模型的应用，需要学生熟练掌握一次函数的基本性质，能够灵活运用坐标表示几何量，同时具备转化思想，将最短时间问题转化为最短路径问题求解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

5. 如图,长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片,O为原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=10,OC=6.在AB上取一点M,使得△CBM沿CM翻折后,点B落在x轴上,记作点B'.
(1)点$B'$的坐标是.
(2)求折痕CM所在直线的表达式.
(3)在x轴上是否能找到一点P,使$△ B'CP$的面积为12?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)$(8,0)$
(2)因为四边形$OABC$是长方形,$OC=6$,
所以$AB=OC=6$,$C(0,6)$.
设$AM=x$,
则$BM=AB-AM=6-x$.
由(1)知$B'O=8$,所以$B'A=AO-B'O=2$.
因为$△ CBM$沿$CM$翻折得到$△ CB'M$,
所以$B'M=BM=6-x$.
在$\mathrm{Rt}△ AB'M$中,有$B'A^2+AM^2=B'M^2$,
所以$2^2+x^2=(6-x)^2$,解得$x=\frac{8}{3}$,
所以$M(10,\frac{8}{3})$.
设$CM$所在直线的表达式为$y=kx+b$,
将$C(0,6)$,$M(10,\frac{8}{3})$的坐标代入,
得$b=6$,$10k+b=\frac{8}{3}$,解得$k=-\frac{1}{3}$,
所以折痕$CM$所在直线的表达式为$y=-\frac{1}{3}x+6$.
(3)存在,点$P$的坐标为$(12,0)$或$(4,0)$. 【点拨】因为$△ B'CP$的面积为$12$,所以$\frac{1}{2}B'P· OC=12$,即$\frac{1}{2}B'P×6=12$,所以$B'P=4$. 因为$B'(8,0)$,所以$P(12,0)$或$P(4,0)$.

【分析】
(1) 先利用折叠的性质得到CB'=CB，结合长方形对边相等可知CB=OA=10，在Rt△OCB'中，已知OC=6，通过勾股定理即可求出OB'的长度，进而得到B'的坐标。
(2) 求CM的直线表达式需要确定C、M两点坐标：C点坐标已知，M点在AB上横坐标为10，只需计算其纵坐标。设AM=x，由折叠可知B'M=BM=6-x，结合第一问结果可得B'A=2，在Rt△AB'M中用勾股定理列方程求出x即可得到M点坐标，再用待定系数法代入两点坐标求一次函数解析式即可。
(3) △B'CP中，底边B'P在x轴上，高为OC的长度，根据面积公式列方程求出B'P的长度，再分P在B'左侧、右侧两种情况计算P的坐标即可。
【解析】
(1) 由折叠的性质得CB'=CB，
∵四边形OABC是长方形，OA=10，
∴CB=OA=10，即CB'=10。在Rt△OCB'中，OC=6，由勾股定理得：$OB'=\sqrt{CB'^2-OC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，故B'坐标为$(8,0)$。
(2)
∵四边形OABC是长方形，OC=6，
∴AB=OC=6，C点坐标为$(0,6)$。设$AM=x$，则$BM=AB-AM=6-x$，由折叠性质得$B'M=BM=6-x$。由(1)知$OB'=8$，
∴$B'A=OA-OB'=10-8=2$。在Rt△AB'M中，由勾股定理得：$B'A^2+AM^2=B'M^2$，代入得$2^2+x^2=(6-x)^2$，解得$x=\frac{8}{3}$，故M点坐标为$(10,\frac{8}{3})$。
设CM所在直线表达式为$y=kx+b$，将$C(0,6)$、$M(10,\frac{8}{3})$代入得：
$\begin{cases}b=6\\10k+b=\frac{8}{3}\end{cases}$
解得$k=-\frac{1}{3},b=6$，故折痕CM所在直线的表达式为$y=-\frac{1}{3}x+6$。
(3) 存在。设点P坐标为$(p,0)$，则$B'P=|p-8|$，△B'CP的高为$OC=6$，由面积公式得：
$\frac{1}{2}×B'P×OC=12$，即$\frac{1}{2}×|p-8|×6=12$，
化简得$|p-8|=4$，解得$p=12$或$p=4$，故点P坐标为$(12,0)$或$(4,0)$。
【答案】
(1) $(8,0)$
(2) $y=-\frac{1}{3}x+6$
(3) 存在，点P的坐标为$(12,0)$或$(4,0)$
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 一次函数面积计算
【点评】
本题为一次函数与几何折叠的综合题，结合了勾股定理、方程思想和分类讨论思想，解题时要注意利用折叠前后对应边相等转化线段关系，涉及坐标轴上的距离问题时要分类讨论点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65