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1. 下列函数:①$y=-\frac{1}{2}x$；②$y=\sqrt{3}+1$；③$y=\sqrt{2}x-3$；④$y=1+\frac{2}{x}$；⑤$y=x^2 -x(x-1)$，其中________是一次函数，________是正比例函数.(填序号)
答案
1. ①③⑤；①⑤
解析
【分析】
解题时首先要明确一次函数、正比例函数的定义：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$），正比例函数是特殊的一次函数，满足$b=0$，即形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）。接下来先对每个函数解析式进行整理化简，再对照定义逐一判断即可，注意自变量$x$的次数必须为1，且不能出现在分母位置。
【解析】
第一步：明确相关定义
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k$、$b$是常数，$k≠0$）的函数，自变量$x$的次数为1；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$是常数，$k≠0$）的函数，是$b=0$的特殊一次函数。
第二步：逐个分析所给函数
①$y=-\frac{1}{2}x$：符合$y=kx$（$k=-\frac{1}{2}≠0$），既是正比例函数，也是一次函数；
②$y=\sqrt{3}+1$：是常数函数，不含自变量的一次项，既不是一次函数也不是正比例函数；
③$y=\sqrt{2}x-3$：符合$y=kx+b$（$k=\sqrt{2}≠0$，$b=-3$），是一次函数，不是正比例函数；
④$y=1+\frac{2}{x}$：自变量$x$在分母中，次数为-1，不符合一次函数的要求，既不是一次函数也不是正比例函数；
⑤$y=x^2 -x(x-1)$：先化简解析式，展开得$y=x^2 -x^2 +x =x$，符合$y=kx$（$k=1≠0$），既是正比例函数，也是一次函数。
综上可得一次函数和正比例函数的序号。
【答案】
①③⑤；①⑤
【知识点】
1.一次函数的定义 2.正比例函数的定义 3.整式的化简
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，解题的关键是牢记一次函数和正比例函数的定义，注意要先将函数解析式化简为最简形式后再进行判断，避免被原式的表面结构误导，同时要注意一次函数中自变量的次数为1，且不能出现在分母位置。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一次函数、正比例函数的定义：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$），正比例函数是特殊的一次函数，满足$b=0$，即形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）。接下来先对每个函数解析式进行整理化简，再对照定义逐一判断即可，注意自变量$x$的次数必须为1，且不能出现在分母位置。
【解析】
第一步：明确相关定义
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k$、$b$是常数，$k≠0$）的函数，自变量$x$的次数为1；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$是常数，$k≠0$）的函数，是$b=0$的特殊一次函数。
第二步：逐个分析所给函数
①$y=-\frac{1}{2}x$：符合$y=kx$（$k=-\frac{1}{2}≠0$），既是正比例函数，也是一次函数；
②$y=\sqrt{3}+1$：是常数函数，不含自变量的一次项，既不是一次函数也不是正比例函数；
③$y=\sqrt{2}x-3$：符合$y=kx+b$（$k=\sqrt{2}≠0$，$b=-3$），是一次函数，不是正比例函数；
④$y=1+\frac{2}{x}$：自变量$x$在分母中，次数为-1，不符合一次函数的要求，既不是一次函数也不是正比例函数；
⑤$y=x^2 -x(x-1)$：先化简解析式，展开得$y=x^2 -x^2 +x =x$，符合$y=kx$（$k=1≠0$），既是正比例函数，也是一次函数。
综上可得一次函数和正比例函数的序号。
【答案】
①③⑤；①⑤
【知识点】
1.一次函数的定义 2.正比例函数的定义 3.整式的化简
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，解题的关键是牢记一次函数和正比例函数的定义，注意要先将函数解析式化简为最简形式后再进行判断，避免被原式的表面结构误导，同时要注意一次函数中自变量的次数为1，且不能出现在分母位置。
【难度系数】
0.8
2. 如图是某加油站地下圆柱形储油罐的示意图，已知储油罐长度为$d$，截面半径为$r$($d$，$r$为常量)，油面高度为$h$，油面宽度为$w$，油量为$v$($h$，$w$，$v$为变量)，则下面四个结论：①$w$是$v$的函数；②$v$是$w$的函数；③$h$是$w$的函数；④$w$是$h$的函数.其中正确的结论是
①④
.答案
2. ①④
解析
【分析】首先明确函数的核心定义：在一个变化过程中，若对变量x的每一个确定值，变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。接下来结合储油罐的截面特征分析变量对应关系：1. 截面是半径固定的圆，给定油面高度h时，对应的弦长（油面宽度）w唯一；但给定w（w≠2r）时，油面可在圆心上下两侧，对应两个不同的h。2. 油量v等于油的截面面积乘固定长度d，因此v与油的截面面积一一对应，每个v对应唯一的h，进而对应唯一的w；但一个w可能对应两个h，对应两个不同的截面面积，即对应两个不同的v。最后结合函数定义逐一判断四个结论即可。
【解析】根据函数的定义判断：
① 若v确定，油的截面面积就确定，对应的油面高度h唯一，h确定则油面宽度w唯一，即每个确定的v对应唯一的w，因此w是v的函数，①正确；
② 若w确定（w≠2r），对应两个不同的h值，两个h对应的油截面面积不同，因此v有两个不同的值，即一个w对应两个v，因此v不是w的函数，②错误；
③ 若w确定（w≠2r），对应两个不同的h值，即一个w对应两个h，因此h不是w的函数，③错误；
④ 若h确定，圆中对应高度的弦长w是唯一的，即每个确定的h对应唯一的w，因此w是h的函数，④正确。
【答案】①④
【知识点】函数的概念，圆的弦长性质
【点评】本题考查对函数定义的理解应用，解题关键是抓住函数“一个自变量对应唯一因变量”的核心特征，结合圆的对称性分析变量的对应关系，容易忽略同一非直径弦长对应两个高度的情况，导致判断错误。
【难度系数】0.65
【解析】根据函数的定义判断：
① 若v确定，油的截面面积就确定，对应的油面高度h唯一，h确定则油面宽度w唯一，即每个确定的v对应唯一的w，因此w是v的函数，①正确；
② 若w确定（w≠2r），对应两个不同的h值，两个h对应的油截面面积不同，因此v有两个不同的值，即一个w对应两个v，因此v不是w的函数，②错误；
③ 若w确定（w≠2r），对应两个不同的h值，即一个w对应两个h，因此h不是w的函数，③错误；
④ 若h确定，圆中对应高度的弦长w是唯一的，即每个确定的h对应唯一的w，因此w是h的函数，④正确。
【答案】①④
【知识点】函数的概念，圆的弦长性质
【点评】本题考查对函数定义的理解应用，解题关键是抓住函数“一个自变量对应唯一因变量”的核心特征，结合圆的对称性分析变量的对应关系，容易忽略同一非直径弦长对应两个高度的情况，导致判断错误。
【难度系数】0.65
3. 一题多解 一次函数$y=k(x-1)$与$y=k(1-x)(k≠0)$在同一平面直角坐标系内的图象大致是（
D
）答案
3.D 【点拨】方法1:分两种情况:(1)当$k＞0$时,一次函数$y=k(x-1)$的图象经过点$(1,0)$且过第一、三、四象限,一次函数$y=k(1-x)$的图象经过点$(1,0)$且过第一、二、四象限;(2)当$k＜0$时,一次函数$y=k(x-1)$的图象经过点$(1,0)$且过第一、二、四象限,一次函数$y=k(1-x)$的图象经过点$(1,0)$且过第一、三、四象限,D选项符合.
方法2:一次函数$y=k(x-1)$与$y=k(1-x)(k≠0)$的图象都经过点$(1,0)$,只有D选项符合.
方法2:一次函数$y=k(x-1)$与$y=k(1-x)(k≠0)$的图象都经过点$(1,0)$,只有D选项符合.
解析
【分析】
解题时可以优先找两个一次函数的公共交点，快速排除错误选项，也可以通过分类讨论k的正负，结合一次函数的图象性质判断。首先，对于一次函数$y=k(x-1)$和$y=k(1-x)$，先代入$x=1$，可得两个函数的$y$值都为0，说明两图象都经过点$(1,0)$，也就是x轴正半轴的点，先排除交点不在该点的选项；若需要进一步验证，可分$k＞0$和$k＜0$两种情况，分别判断两个函数经过的象限，和剩余选项对比即可得到答案。
【解析】
方法1：找公共交点
对于$y=k(x-1)$，当$x=1$时，$y=0$；对于$y=k(1-x)$，当$x=1$时，$y=0$。因此两个一次函数的图象都经过点$(1,0)$（x轴正半轴上横坐标为1的点）。
观察选项：
A选项两直线交点在y轴上，不符合；
B选项两直线交点在原点，不符合；
C选项两直线交点在y轴负半轴，不符合；
只有D选项两直线交点在$(1,0)$，符合要求。
方法2：分类讨论验证
当$k＞0$时：
$y=k(x-1)=kx -k$，斜率为正，截距为负，图象经过第一、三、四象限；
$y=k(1-x)=-kx +k$，斜率为负，截距为正，图象经过第一、二、四象限，交点为$(1,0)$，和D选项图象一致。
当$k＜0$时：
$y=k(x-1)=kx -k$，斜率为负，截距为正，图象经过第一、二、四象限；
$y=k(1-x)=-kx +k$，斜率为正，截距为负，图象经过第一、三、四象限，交点仍为$(1,0)$，也符合D选项特征。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象性质，一次函数交点坐标
【点评】
本题可采用两种思路求解，快速解法是先确定两个函数的公共交点，直接排除错误选项，大幅提升解题效率；也可通过分类讨论参数k的正负，结合一次函数斜率、截距的意义判断图象经过的象限，既考查了一次函数的基础性质，也引导学生灵活运用技巧解题。
【难度系数】
0.7
解题时可以优先找两个一次函数的公共交点，快速排除错误选项，也可以通过分类讨论k的正负，结合一次函数的图象性质判断。首先，对于一次函数$y=k(x-1)$和$y=k(1-x)$，先代入$x=1$，可得两个函数的$y$值都为0，说明两图象都经过点$(1,0)$，也就是x轴正半轴的点，先排除交点不在该点的选项；若需要进一步验证，可分$k＞0$和$k＜0$两种情况，分别判断两个函数经过的象限，和剩余选项对比即可得到答案。
【解析】
方法1：找公共交点
对于$y=k(x-1)$，当$x=1$时，$y=0$；对于$y=k(1-x)$，当$x=1$时，$y=0$。因此两个一次函数的图象都经过点$(1,0)$（x轴正半轴上横坐标为1的点）。
观察选项：
A选项两直线交点在y轴上，不符合；
B选项两直线交点在原点，不符合；
C选项两直线交点在y轴负半轴，不符合；
只有D选项两直线交点在$(1,0)$，符合要求。
方法2：分类讨论验证
当$k＞0$时：
$y=k(x-1)=kx -k$，斜率为正，截距为负，图象经过第一、三、四象限；
$y=k(1-x)=-kx +k$，斜率为负，截距为正，图象经过第一、二、四象限，交点为$(1,0)$，和D选项图象一致。
当$k＜0$时：
$y=k(x-1)=kx -k$，斜率为负，截距为正，图象经过第一、二、四象限；
$y=k(1-x)=-kx +k$，斜率为正，截距为负，图象经过第一、三、四象限，交点仍为$(1,0)$，也符合D选项特征。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象性质，一次函数交点坐标
【点评】
本题可采用两种思路求解，快速解法是先确定两个函数的公共交点，直接排除错误选项，大幅提升解题效率；也可通过分类讨论参数k的正负，结合一次函数斜率、截距的意义判断图象经过的象限，既考查了一次函数的基础性质，也引导学生灵活运用技巧解题。
【难度系数】
0.7
4. [2025 扬州] 已知$m^{2025} + 2025m = 2025$，则一次函数$y=(1 - m)x + m$的图象不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
4.D 【点拨】因为$m^{2025}+2025m=2025$,所以$m^{2025}=2025(1-m)$.当$m＜0$时,$m^{2025}＜0$,$2025(1-m)＞0$,与$m^{2025}=2025(1-m)$矛盾;当$m=0$时,$m^{2025}=0$,$2025(1-m)≠0$,与$m^{2025}=2025(1-m)$矛盾;当$m＞1$时,$m^{2025}＞0$,$2025(1-m)＜0$,与$m^{2025}=2025(1-m)$矛盾;当$m=1$时,$m^{2025}=1$,$2025(1-m)=0$,与$m^{2025}=2025(1-m)$矛盾,所以$0＜m＜1$,所以$1-m＞0$,所以一次函数$y=(1-m)x+m$的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,故选D.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确一次函数的图象走向由x的系数（斜率）和常数项（截距）的正负决定，因此核心是先求出参数m的取值范围。我们可以先对已知等式变形，再分情况讨论m在不同取值区间时等式左右两边的符号是否匹配，排除不符合的情况得到m的取值范围，再判断一次函数系数的正负，最终确定图象不经过的象限。
【解析】
首先对已知等式变形：由$m^{2025} + 2025m = 2025$，可得$m^{2025}=2025(1 - m)$。
接下来分情况讨论m的取值：
① 当$m ＜ 0$时，2025是奇数，故$m^{2025} ＜ 0$，而$1 - m ＞ 1$，因此$2025(1 - m) ＞ 0$，左右两边符号矛盾，该情况不成立；
② 当$m = 0$时，左边$m^{2025}=0$，右边$2025(1 - 0)=2025≠0$，等式不成立，该情况排除；
③ 当$m = 1$时，左边$m^{2025}=1$，右边$2025(1 - 1)=0$，等式不成立，该情况排除；
④ 当$m ＞ 1$时，$m^{2025} ＞ 0$，而$1 - m ＜ 0$，因此$2025(1 - m) ＜ 0$，左右两边符号矛盾，该情况不成立。
综上可得$0 ＜ m ＜ 1$，因此一次函数$y=(1 - m)x + m$中，$x$的系数$1 - m ＞ 0$，常数项$m ＞ 0$，所以函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数图象与系数的关系 2.乘方的符号规律
【点评】
本题将方程分析与一次函数性质相结合，需要通过分类讨论排除不可能的参数取值范围，再结合一次函数系数和图象象限的对应关系解题，考查了逻辑推理能力和知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确一次函数的图象走向由x的系数（斜率）和常数项（截距）的正负决定，因此核心是先求出参数m的取值范围。我们可以先对已知等式变形，再分情况讨论m在不同取值区间时等式左右两边的符号是否匹配，排除不符合的情况得到m的取值范围，再判断一次函数系数的正负，最终确定图象不经过的象限。
【解析】
首先对已知等式变形：由$m^{2025} + 2025m = 2025$，可得$m^{2025}=2025(1 - m)$。
接下来分情况讨论m的取值：
① 当$m ＜ 0$时，2025是奇数，故$m^{2025} ＜ 0$，而$1 - m ＞ 1$，因此$2025(1 - m) ＞ 0$，左右两边符号矛盾，该情况不成立；
② 当$m = 0$时，左边$m^{2025}=0$，右边$2025(1 - 0)=2025≠0$，等式不成立，该情况排除；
③ 当$m = 1$时，左边$m^{2025}=1$，右边$2025(1 - 1)=0$，等式不成立，该情况排除；
④ 当$m ＞ 1$时，$m^{2025} ＞ 0$，而$1 - m ＜ 0$，因此$2025(1 - m) ＜ 0$，左右两边符号矛盾，该情况不成立。
综上可得$0 ＜ m ＜ 1$，因此一次函数$y=(1 - m)x + m$中，$x$的系数$1 - m ＞ 0$，常数项$m ＞ 0$，所以函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数图象与系数的关系 2.乘方的符号规律
【点评】
本题将方程分析与一次函数性质相结合，需要通过分类讨论排除不可能的参数取值范围，再结合一次函数系数和图象象限的对应关系解题，考查了逻辑推理能力和知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图,直线 $ y_1 = x + 3 $ 分别与x轴、y轴交于点A和点C,直线 $ y_2 = -x + 3 $ 分别与x轴、y轴交于点B和点C,点P(m,2)是△ABC内部(包括边上)的一点,则m的最大值与最小值之差为 （
A.1
B.2
C.4
D.6
B
）A.1
B.2
C.4
D.6
答案
5.B 【点拨】因为点$P(m,2)$是$△ ABC$内部(包括边上)的一点,所以点$P$在直线$y=2$上,
如图所示.当$P$为直线$y=2$与直线$y_2$的交点时,$m$取最大值,当$P$为直线$y=2$与直线$y_1$的交点时,$m$取最小值.因为在$y_2=-x+3$中,令$y_2=2$,则$x=1$,在$y_1=x+3$中,令$y_1=2$,则$x=-1$,所以$m$的最大值为1,最小值为$-1$.故$m$的最大值与最小值之差为$1-(-1)=2$.故选B.解析
【分析】
已知点P(m,2)的纵坐标固定为2，因此点P一定在直线y=2上。要求m的最大、最小值，结合点P在△ABC内部（含边界）的限制条件可知：m的最大值是直线y=2与△ABC右侧边$y_2=-x+3$的交点横坐标，m的最小值是直线y=2与△ABC左侧边$y_1=x+3$的交点横坐标。分别求出两个交点的横坐标后，计算二者的差值即可得到结果。
【解析】
解：
∵点P的纵坐标为2，
∴点P在直线y=2上。
① 求m的最大值：
当P在$y_2=-x+3$上时，m取最大值，将y=2代入$y_2=-x+3$，可得：
$2=-x+3$，解得$x=1$，即m的最大值为1。
② 求m的最小值：
当P在$y_1=x+3$上时，m取最小值，将y=2代入$y_1=x+3$，可得：
$2=x+3$，解得$x=-1$，即m的最小值为-1。
因此m的最大值与最小值之差为$1-(-1)=2$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查一次函数图象的应用，解题时利用点的纵坐标确定其所在直线，再结合图形范围找到横坐标的最值，体现了数形结合的数学思想，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
已知点P(m,2)的纵坐标固定为2，因此点P一定在直线y=2上。要求m的最大、最小值，结合点P在△ABC内部（含边界）的限制条件可知：m的最大值是直线y=2与△ABC右侧边$y_2=-x+3$的交点横坐标，m的最小值是直线y=2与△ABC左侧边$y_1=x+3$的交点横坐标。分别求出两个交点的横坐标后，计算二者的差值即可得到结果。
【解析】
解：
∵点P的纵坐标为2，
∴点P在直线y=2上。
① 求m的最大值：
当P在$y_2=-x+3$上时，m取最大值，将y=2代入$y_2=-x+3$，可得：
$2=-x+3$，解得$x=1$，即m的最大值为1。
② 求m的最小值：
当P在$y_1=x+3$上时，m取最小值，将y=2代入$y_1=x+3$，可得：
$2=x+3$，解得$x=-1$，即m的最小值为-1。
因此m的最大值与最小值之差为$1-(-1)=2$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查一次函数图象的应用，解题时利用点的纵坐标确定其所在直线，再结合图形范围找到横坐标的最值，体现了数形结合的数学思想，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 已知$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是直线$y=(-m+1)x+2$上相异的两点，若$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，则$m$的取值范围是
$m＞1$
。答案
6.$m＞1$
解析
【分析】
首先根据有理数乘法的符号规则，$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$说明$x_1-x_2$与$y_1-y_2$符号相反，即自变量x增大时函数值y减小，x减小时函数值y增大，说明该一次函数y随x的增大而减小。结合一次函数的性质，一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，y随x增大而减小等价于一次项系数$k＜0$，据此列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：$\because A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是直线$y=(-m+1)x+2$上相异的两点，且$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，
$\therefore x_1-x_2$与$y_1-y_2$异号，即当$x_1＞x_2$时，$y_1＜y_2$；当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，
$\therefore$该一次函数的y随x的增大而减小，
$\therefore$一次项系数$-m+1＜0$，
解不等式：
移项得：$-m＜-1$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$m＞1$。
【答案】
$m＞1$
【知识点】
有理数乘法符号法则、一次函数的增减性、一元一次不等式的解法
【点评】
本题是一次函数性质与不等式结合的基础题型，解题核心是根据给定的乘积不等式准确判断出一次函数的增减性，再结合一次函数增减性与一次项系数的关系建立不等式求解，考查对一次函数性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据有理数乘法的符号规则，$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$说明$x_1-x_2$与$y_1-y_2$符号相反，即自变量x增大时函数值y减小，x减小时函数值y增大，说明该一次函数y随x的增大而减小。结合一次函数的性质，一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，y随x增大而减小等价于一次项系数$k＜0$，据此列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：$\because A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是直线$y=(-m+1)x+2$上相异的两点，且$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，
$\therefore x_1-x_2$与$y_1-y_2$异号，即当$x_1＞x_2$时，$y_1＜y_2$；当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，
$\therefore$该一次函数的y随x的增大而减小，
$\therefore$一次项系数$-m+1＜0$，
解不等式：
移项得：$-m＜-1$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$m＞1$。
【答案】
$m＞1$
【知识点】
有理数乘法符号法则、一次函数的增减性、一元一次不等式的解法
【点评】
本题是一次函数性质与不等式结合的基础题型，解题核心是根据给定的乘积不等式准确判断出一次函数的增减性，再结合一次函数增减性与一次项系数的关系建立不等式求解，考查对一次函数性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 已知函数$y=|x-2a|$（$a$为常数），当$1≤ x≤ 3$时，$y$的最小值为5，则$a$的值为
$-2或4$
。答案
7.$-2$或$4$ 【点拨】分两种情况讨论:①当$x≥2a$时,$y=x-2a$.因为$k=1＞0$,所以当$1≤x≤3$时,$y$随$x$的增大而增大,即当$x=1$时,$y=5$,则$5=1-2a$,解得$a=-2$.②当$x＜2a$时,$y=-x+2a$.因为$k=-1＜0$,所以当$1≤x≤3$时,$y$随$x$的增大而减小,即当$x=3$时,$y=5$,则$5=-3+2a$,解得$a=4$,所以$a=-2$或$4$.
【点方法】根据绝对值的意义分两种情况讨论:①$x≥2a$时,得$y=x-2a$,$y$随$x$的增大而增大;②$x＜2a$时,得$y=-x+2a$,$y$随$x$的增大而减小.
【点方法】根据绝对值的意义分两种情况讨论:①$x≥2a$时,得$y=x-2a$,$y$随$x$的增大而增大;②$x＜2a$时,得$y=-x+2a$,$y$随$x$的增大而减小.
解析
【分析】
要解决含绝对值的一次函数在给定区间的最值问题，首先明确绝对值函数$y=|x-2a|$的零点为$x=2a$，若零点落在区间$1≤x≤3$内，函数的最小值为0，与题干给出的最小值为5矛盾，因此零点一定在区间外，分两种情况讨论：①零点在区间左侧（$2a≤1$），此时区间内的x均满足$x≥2a$，去绝对值得到一次函数后结合增减性求最小值；②零点在区间右侧（$2a≥3$），此时区间内的x均满足$x＜2a$，去绝对值后结合增减性求最小值，最后验证求得的a是否符合分类前提即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$x≥2a$时，去绝对值得$y=x-2a$，
∵一次项系数$1＞0$，
∴y随x的增大而增大，
在$1≤x≤3$范围内，最小值在$x=1$处取得，
代入得$5=1-2a$，解得$a=-2$，
此时$2a=-4≤1$，符合$x≥2a$的前提条件；
② 当$x＜2a$时，去绝对值得$y=-x+2a$，
∵一次项系数$-1＜0$，
∴y随x的增大而减小，
在$1≤x≤3$范围内，最小值在$x=3$处取得，
代入得$5=-3+2a$，解得$a=4$，
此时$2a=8≥3$，符合$x＜2a$的前提条件。
综上，$a$的值为$-2$或$4$。
【答案】
$-2$或$4$
【知识点】
绝对值函数性质；一次函数增减性；分类讨论思想
【点评】
本题是绝对值函数与一次函数结合的典型最值问题，解题核心是根据绝对值零点与给定区间的位置关系分类讨论，结合一次函数的增减性快速确定最小值对应的自变量取值，求解后要注意验证结果是否符合分类的前提，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
要解决含绝对值的一次函数在给定区间的最值问题，首先明确绝对值函数$y=|x-2a|$的零点为$x=2a$，若零点落在区间$1≤x≤3$内，函数的最小值为0，与题干给出的最小值为5矛盾，因此零点一定在区间外，分两种情况讨论：①零点在区间左侧（$2a≤1$），此时区间内的x均满足$x≥2a$，去绝对值得到一次函数后结合增减性求最小值；②零点在区间右侧（$2a≥3$），此时区间内的x均满足$x＜2a$，去绝对值后结合增减性求最小值，最后验证求得的a是否符合分类前提即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$x≥2a$时，去绝对值得$y=x-2a$，
∵一次项系数$1＞0$，
∴y随x的增大而增大，
在$1≤x≤3$范围内，最小值在$x=1$处取得，
代入得$5=1-2a$，解得$a=-2$，
此时$2a=-4≤1$，符合$x≥2a$的前提条件；
② 当$x＜2a$时，去绝对值得$y=-x+2a$，
∵一次项系数$-1＜0$，
∴y随x的增大而减小，
在$1≤x≤3$范围内，最小值在$x=3$处取得，
代入得$5=-3+2a$，解得$a=4$，
此时$2a=8≥3$，符合$x＜2a$的前提条件。
综上，$a$的值为$-2$或$4$。
【答案】
$-2$或$4$
【知识点】
绝对值函数性质；一次函数增减性；分类讨论思想
【点评】
本题是绝对值函数与一次函数结合的典型最值问题，解题核心是根据绝对值零点与给定区间的位置关系分类讨论，结合一次函数的增减性快速确定最小值对应的自变量取值，求解后要注意验证结果是否符合分类的前提，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
8.如图，一次函数$y=2x$和$y=ax+4$的图象相交于点$A(m,3)$，则方程$ax+4=0$的解为 （
A.$x=6$
B.$x=3$
C.$x=-6$
D.$x=-3$
A
）A.$x=6$
B.$x=3$
C.$x=-6$
D.$x=-3$
答案
8.A 【点拨】因为点$A$在直线$y=2x$上,所以$3=2m$,解得$m=\frac{3}{2}$.所以点$A$的坐标为$(\frac{3}{2},3)$.因为一次函数$y=2x$和$y=ax+4$的图象相交于点$A(\frac{3}{2},3)$,所以$\frac{3}{2}a+4=3$,解得$a=-\frac{2}{3}$.所以方程$ax+4=0$可化为$-\frac{2}{3}x+4=0$,解得$x=6$.
解析
【分析】
要解一元一次方程$ax+4=0$，需先求出系数$a$的值。已知两个一次函数的交点$A(m,3)$同时在两条直线上，首先利用点$A$在$y=2x$上的条件求出$m$，得到点$A$的完整坐标，再将点$A$代入$y=ax+4$即可求出$a$，最后代入方程$ax+4=0$求解即可。
【解析】
1. 求点$A$的横坐标$m$：
因为点$A(m,3)$在一次函数$y=2x$的图象上，将坐标代入解析式得：
$3=2m$，解得$m=\frac{3}{2}$，即点$A$的坐标为$(\frac{3}{2},3)$。
2. 求系数$a$的值：
因为点$A(\frac{3}{2},3)$也在一次函数$y=ax+4$的图象上，将坐标代入解析式得：
$\frac{3}{2}a + 4 = 3$，移项得$\frac{3}{2}a = -1$，解得$a=-\frac{2}{3}$。
3. 解方程$ax+4=0$：
将$a=-\frac{2}{3}$代入方程得：$-\frac{2}{3}x + 4 = 0$，
移项得$\frac{2}{3}x = 4$，两边同时乘$\frac{3}{2}$得$x=6$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与一元一次方程
【点评】
本题解题核心是理解一次函数交点的坐标同时满足两个函数的解析式，通过逐步代入求解未知系数，再解一元一次方程得到结果，是一次函数章节的基础常见题型。
【难度系数】
0.7
要解一元一次方程$ax+4=0$，需先求出系数$a$的值。已知两个一次函数的交点$A(m,3)$同时在两条直线上，首先利用点$A$在$y=2x$上的条件求出$m$，得到点$A$的完整坐标，再将点$A$代入$y=ax+4$即可求出$a$，最后代入方程$ax+4=0$求解即可。
【解析】
1. 求点$A$的横坐标$m$：
因为点$A(m,3)$在一次函数$y=2x$的图象上，将坐标代入解析式得：
$3=2m$，解得$m=\frac{3}{2}$，即点$A$的坐标为$(\frac{3}{2},3)$。
2. 求系数$a$的值：
因为点$A(\frac{3}{2},3)$也在一次函数$y=ax+4$的图象上，将坐标代入解析式得：
$\frac{3}{2}a + 4 = 3$，移项得$\frac{3}{2}a = -1$，解得$a=-\frac{2}{3}$。
3. 解方程$ax+4=0$：
将$a=-\frac{2}{3}$代入方程得：$-\frac{2}{3}x + 4 = 0$，
移项得$\frac{2}{3}x = 4$，两边同时乘$\frac{3}{2}$得$x=6$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与一元一次方程
【点评】
本题解题核心是理解一次函数交点的坐标同时满足两个函数的解析式，通过逐步代入求解未知系数，再解一元一次方程得到结果，是一次函数章节的基础常见题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在平面直角坐标系 $xOy$ 中,直线 $y=x+1$ 与直线 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$ 交于点 $A(\dfrac{8}{7},\dfrac{15}{7})$,两直线分别交 $x$ 轴于点 $B$ 和点 $C$.
(1)点 $B$ 的坐标为
(2)$△ ABC$ 的面积为
(1)点 $B$ 的坐标为
$(-1,0)$
,点 $C$ 的坐标为 $(4,0)$
;(2)$△ ABC$ 的面积为
$\frac{75}{14}$
.答案
9.(1)$(-1,0)$;$(4,0)$ (2)$\frac{75}{14}$
解析
【分析】
(1) 要求x轴上点B、C的坐标，首先明确x轴上所有点的纵坐标均为0，因此只需分别将y=0代入两条直线的解析式，求解对应的x值，即可得到两点坐标。
(2) 求△ABC的面积，观察发现B、C都在x轴上，因此BC边可作为三角形的底，长度为两点横坐标的差；点A到x轴的距离就是A点的纵坐标，作为三角形的高，再利用三角形面积公式“面积=$\frac{1}{2}$×底×高”计算即可。
【解析】
(1) 对于直线$y=x+1$，求其与x轴交点B的坐标时，令$y=0$：
$0 = x + 1$，解得$x=-1$，因此B点坐标为$(-1, 0)$。
对于直线$y=-\dfrac{3}{4}x+3$，求其与x轴交点C的坐标时，令$y=0$：
$0 = -\dfrac{3}{4}x + 3$，移项得$\dfrac{3}{4}x=3$，解得$x=4$，因此C点坐标为$(4, 0)$。
(2) 首先计算BC的长度：$B(-1,0)$，$C(4,0)$，因此$BC=4 - (-1)=5$。
点A的坐标为$(\dfrac{8}{7},\dfrac{15}{7})$，则△ABC中BC边上的高等于A点的纵坐标$\dfrac{15}{7}$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×BC×高=\dfrac{1}{2}×5×\dfrac{15}{7}=\dfrac{75}{14}$。
【答案】
(1)$(-1,0)$；$(4,0)$ (2)$\dfrac{75}{14}$
【知识点】
一次函数图象性质；坐标轴上点的特征；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础应用类题目，解题关键是掌握一次函数与坐标轴交点的求解方法，同时熟悉平面直角坐标系中底在坐标轴上的三角形面积的计算技巧，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
(1) 要求x轴上点B、C的坐标，首先明确x轴上所有点的纵坐标均为0，因此只需分别将y=0代入两条直线的解析式，求解对应的x值，即可得到两点坐标。
(2) 求△ABC的面积，观察发现B、C都在x轴上，因此BC边可作为三角形的底，长度为两点横坐标的差；点A到x轴的距离就是A点的纵坐标，作为三角形的高，再利用三角形面积公式“面积=$\frac{1}{2}$×底×高”计算即可。
【解析】
(1) 对于直线$y=x+1$，求其与x轴交点B的坐标时，令$y=0$：
$0 = x + 1$，解得$x=-1$，因此B点坐标为$(-1, 0)$。
对于直线$y=-\dfrac{3}{4}x+3$，求其与x轴交点C的坐标时，令$y=0$：
$0 = -\dfrac{3}{4}x + 3$，移项得$\dfrac{3}{4}x=3$，解得$x=4$，因此C点坐标为$(4, 0)$。
(2) 首先计算BC的长度：$B(-1,0)$，$C(4,0)$，因此$BC=4 - (-1)=5$。
点A的坐标为$(\dfrac{8}{7},\dfrac{15}{7})$，则△ABC中BC边上的高等于A点的纵坐标$\dfrac{15}{7}$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×BC×高=\dfrac{1}{2}×5×\dfrac{15}{7}=\dfrac{75}{14}$。
【答案】
(1)$(-1,0)$；$(4,0)$ (2)$\dfrac{75}{14}$
【知识点】
一次函数图象性质；坐标轴上点的特征；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础应用类题目，解题关键是掌握一次函数与坐标轴交点的求解方法，同时熟悉平面直角坐标系中底在坐标轴上的三角形面积的计算技巧，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
10. 如图，点$N(0,6)$，点$M$在$x$轴负半轴上，$ON=3OM$，$A$为线段$MN$上一点，$AB⊥ x$轴，垂足为点$B$，$AC⊥ y$轴，垂足为点$C$。
(1)点$M$的坐标为
(2)求直线$MN$的表达式；
(3)若点$A$的横坐标为$-1$，求长方形$ABOC$的面积。
(1)点$M$的坐标为
$(-2,0)$
；(2)求直线$MN$的表达式；
(3)若点$A$的横坐标为$-1$，求长方形$ABOC$的面积。
答案
10.【解】(1)$(-2,0)$
(2)设直线$MN$的表达式为$y=kx+b$,把点$M(-2,0)$和点$N(0,6)$的坐标分别代入$y=kx+b$,得$-2k+b=0$,$b=6$,所以$k=3$,所以直线$MN$的表达式为$y=3x+6$.
(3)把$x=-1$代入$y=3x+6$,得$y=3×(-1)+6=3$,所以$A(-1,3)$.所以$AC=1$,$AB=3$.所以长方形$ABOC$的面积$=1×3=3$.
(2)设直线$MN$的表达式为$y=kx+b$,把点$M(-2,0)$和点$N(0,6)$的坐标分别代入$y=kx+b$,得$-2k+b=0$,$b=6$,所以$k=3$,所以直线$MN$的表达式为$y=3x+6$.
(3)把$x=-1$代入$y=3x+6$,得$y=3×(-1)+6=3$,所以$A(-1,3)$.所以$AC=1$,$AB=3$.所以长方形$ABOC$的面积$=1×3=3$.
解析
【分析】
(1) 先由点N的坐标得出ON的长度，结合ON=3OM求出OM的长度，再根据M在x轴负半轴的位置特征即可确定M的坐标；
(2) 求一次函数表达式可用待定系数法，已知直线MN经过M、N两个点，将两点坐标代入一次函数的一般形式$y=kx+b$，解二元一次方程组求出k、b的值，就能得到直线MN的表达式；
(3) 点A在直线MN上，已知其横坐标为-1，代入直线表达式即可求出A点的纵坐标，长方形ABOC的长和宽分别对应A点横、纵坐标的绝对值，二者相乘即可求出长方形的面积。
【解析】
(1) $\because$ 点$N(0,6)$，$\therefore ON=6$，
$\because ON=3OM$，$\therefore OM=6÷3=2$，
又$\because$ 点M在x轴负半轴上，$\therefore$ M的坐标为$(-2,0)$。
(2) 设直线MN的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$M(-2,0)$、$N(0,6)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}-2k+b=0 \\ b=6\end{cases}$
把$b=6$代入$-2k+b=0$，解得$k=3$，
$\therefore$ 直线MN的表达式为$y=3x+6$。
(3) $\because$ 点A在MN上，且横坐标为$-1$，
将$x=-1$代入$y=3x+6$，得$y=3×(-1)+6=3$，
$\therefore$ 点A的坐标为$(-1,3)$，
$\therefore$ 长方形ABOC中，$AC=|-1|=1$，$AB=|3|=3$，
$\therefore$ 长方形ABOC的面积$=1×3=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2,0)}$；(2) $\boldsymbol{y=3x+6}$；(3) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，平面直角坐标系中点的坐标特征，矩形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，结合了平面直角坐标系与简单几何图形的性质，主要考察待定系数法的运用、坐标与线段长度的转化，解题逻辑清晰，掌握一次函数基础性质和简单几何计算即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
(1) 先由点N的坐标得出ON的长度，结合ON=3OM求出OM的长度，再根据M在x轴负半轴的位置特征即可确定M的坐标；
(2) 求一次函数表达式可用待定系数法，已知直线MN经过M、N两个点，将两点坐标代入一次函数的一般形式$y=kx+b$，解二元一次方程组求出k、b的值，就能得到直线MN的表达式；
(3) 点A在直线MN上，已知其横坐标为-1，代入直线表达式即可求出A点的纵坐标，长方形ABOC的长和宽分别对应A点横、纵坐标的绝对值，二者相乘即可求出长方形的面积。
【解析】
(1) $\because$ 点$N(0,6)$，$\therefore ON=6$，
$\because ON=3OM$，$\therefore OM=6÷3=2$，
又$\because$ 点M在x轴负半轴上，$\therefore$ M的坐标为$(-2,0)$。
(2) 设直线MN的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$M(-2,0)$、$N(0,6)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}-2k+b=0 \\ b=6\end{cases}$
把$b=6$代入$-2k+b=0$，解得$k=3$，
$\therefore$ 直线MN的表达式为$y=3x+6$。
(3) $\because$ 点A在MN上，且横坐标为$-1$，
将$x=-1$代入$y=3x+6$，得$y=3×(-1)+6=3$，
$\therefore$ 点A的坐标为$(-1,3)$，
$\therefore$ 长方形ABOC中，$AC=|-1|=1$，$AB=|3|=3$，
$\therefore$ 长方形ABOC的面积$=1×3=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2,0)}$；(2) $\boldsymbol{y=3x+6}$；(3) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，平面直角坐标系中点的坐标特征，矩形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，结合了平面直角坐标系与简单几何图形的性质，主要考察待定系数法的运用、坐标与线段长度的转化，解题逻辑清晰，掌握一次函数基础性质和简单几何计算即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
