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25. 如图,在平面直角坐标系中,点$A,B,C$的坐标分别为$(0,a),(b,0),(b,c)$,其中$a,b,c$满足$(3a-2b)^2+\sqrt{a-b+1}=0$,$|c-4|≤0$.
(1)求$a,b,c$的值;
(2)若点$M$在$x$轴上,$S_{三角形COM}=\frac{1}{2}S_{三角形ABC}$,求点$M$的坐标;
(3)如果在第二象限内有一点$P(m-1,1)$,$m$在什么取值范围时,三角形$AOP$的面积不大于三角形$ABC$的面积?
(1)求$a,b,c$的值;
(2)若点$M$在$x$轴上,$S_{三角形COM}=\frac{1}{2}S_{三角形ABC}$,求点$M$的坐标;
(3)如果在第二象限内有一点$P(m-1,1)$,$m$在什么取值范围时,三角形$AOP$的面积不大于三角形$ABC$的面积?
答案
(1)$\because (3a-2b)^2+\sqrt{a-b+1}=0$，
$\therefore \begin{cases} a-b+1=0, \\ 3a-2b=0. \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=2, \\ b=3. \end{cases}$
$\because |c-4|≤0$，
$\therefore c-4=0$，
$\therefore c=4$。
(2)根据题意，设$M(t,0)$，
$\because S_{\mathrm{三角形}ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$，
$\therefore S_{\mathrm{三角形}COM}=\frac{1}{2}|t|×4=2|t|$，
$\therefore 2|t|=\frac{1}{2}×6$，
$\therefore t=\pm\frac{3}{2}$，
$\therefore$点$M$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$或$(\frac{3}{2},0)$。
(3)$S_{\mathrm{三角形}AOP}=\frac{1}{2}AO|m-1|=\frac{1}{2}×2|m-1|=|m-1|$。
$\because$点$P$在第二象限，
$\therefore m-1＜0$，
$\therefore S_{\mathrm{三角形}AOP}=1-m$。
由(2)得$S_{\mathrm{三角形}ABC}=6$。
$\because S_{\mathrm{三角形}AOP}≤ S_{\mathrm{三角形}ABC}$，
$\therefore 1-m≤6$，
解得$m≥-5$。
$\therefore \begin{cases} a-b+1=0, \\ 3a-2b=0. \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=2, \\ b=3. \end{cases}$
$\because |c-4|≤0$，
$\therefore c-4=0$，
$\therefore c=4$。
(2)根据题意，设$M(t,0)$，
$\because S_{\mathrm{三角形}ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$，
$\therefore S_{\mathrm{三角形}COM}=\frac{1}{2}|t|×4=2|t|$，
$\therefore 2|t|=\frac{1}{2}×6$，
$\therefore t=\pm\frac{3}{2}$，
$\therefore$点$M$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$或$(\frac{3}{2},0)$。
(3)$S_{\mathrm{三角形}AOP}=\frac{1}{2}AO|m-1|=\frac{1}{2}×2|m-1|=|m-1|$。
$\because$点$P$在第二象限，
$\therefore m-1＜0$，
$\therefore S_{\mathrm{三角形}AOP}=1-m$。
由(2)得$S_{\mathrm{三角形}ABC}=6$。
$\because S_{\mathrm{三角形}AOP}≤ S_{\mathrm{三角形}ABC}$，
$\therefore 1-m≤6$，
解得$m≥-5$。
解析
【分析】
(1) 平方、算术平方根、绝对值都属于非负数，若几个非负数的和为0，或非负数的取值≤0，则每个非负数都为0，据此可列方程组求解a、b，再由绝对值的性质求出c的值。
(2) 首先根据A、B、C三点的坐标特征计算△ABC的面积，再设x轴上点M的坐标为$(t,0)$，根据两个三角形的面积等量关系列方程，注意点M可在x轴正半轴或负半轴，计算时要加绝对值避免漏解。
(3) 先结合A、P的坐标表示出△AOP的面积，再根据点P在第二象限的坐标特征去掉绝对值，最后根据“△AOP的面积不大于△ABC的面积”列不等式求解，即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) $\because (3a-2b)^2+\sqrt{a-b+1}=0$，平方和算术平方根均为非负数
$\therefore \begin{cases} a-b+1=0, \\ 3a-2b=0. \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=2, \\ b=3. \end{cases}$
$\because |c-4|≤0$，绝对值为非负数
$\therefore c-4=0$，
$\therefore c=4$。
(2) 设点$M$的坐标为$(t,0)$，
由点坐标可知$BC⊥ x$轴，$BC=4$，点$A$到$BC$的水平距离为$3$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$，
$△ COM$中，底边$OM$的长为$|t|$，高为点$C$的纵坐标$4$，
$\therefore S_{△ COM}=\frac{1}{2}|t|×4=2|t|$，
由题意得$2|t|=\frac{1}{2}×6$，
解得$t=\pm\frac{3}{2}$，
$\therefore$点$M$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$或$(\frac{3}{2},0)$。
(3) $△ AOP$中，底边$AO$长为$2$，高为点$P$到$y$轴的距离$|m-1|$，
$\therefore S_{△ AOP}=\frac{1}{2}×2×|m-1|=|m-1|$，
$\because$点$P$在第二象限，
$\therefore m-1＜0$，即$S_{△ AOP}=1-m$，
由(2)得$S_{△ ABC}=6$，
$\because S_{△ AOP}≤ S_{△ ABC}$，
$\therefore 1-m≤6$，
解得$m≥-5$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=3$，$c=4$；
(2) $(-\frac{3}{2},0)$或$(\frac{3}{2},0)$；
(3) $m≥ -5$
【知识点】
非负数的性质，坐标系面积计算，一元一次不等式应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，解题时要注意非负数性质的灵活应用，坐标平面内图形面积的计算方法，同时要留意绝对值带来的多解情况，以及点所在象对坐标符号的限制。
【难度系数】
0.7
(1) 平方、算术平方根、绝对值都属于非负数，若几个非负数的和为0，或非负数的取值≤0，则每个非负数都为0，据此可列方程组求解a、b，再由绝对值的性质求出c的值。
(2) 首先根据A、B、C三点的坐标特征计算△ABC的面积，再设x轴上点M的坐标为$(t,0)$，根据两个三角形的面积等量关系列方程，注意点M可在x轴正半轴或负半轴，计算时要加绝对值避免漏解。
(3) 先结合A、P的坐标表示出△AOP的面积，再根据点P在第二象限的坐标特征去掉绝对值，最后根据“△AOP的面积不大于△ABC的面积”列不等式求解，即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) $\because (3a-2b)^2+\sqrt{a-b+1}=0$，平方和算术平方根均为非负数
$\therefore \begin{cases} a-b+1=0, \\ 3a-2b=0. \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=2, \\ b=3. \end{cases}$
$\because |c-4|≤0$，绝对值为非负数
$\therefore c-4=0$，
$\therefore c=4$。
(2) 设点$M$的坐标为$(t,0)$，
由点坐标可知$BC⊥ x$轴，$BC=4$，点$A$到$BC$的水平距离为$3$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$，
$△ COM$中，底边$OM$的长为$|t|$，高为点$C$的纵坐标$4$，
$\therefore S_{△ COM}=\frac{1}{2}|t|×4=2|t|$，
由题意得$2|t|=\frac{1}{2}×6$，
解得$t=\pm\frac{3}{2}$，
$\therefore$点$M$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$或$(\frac{3}{2},0)$。
(3) $△ AOP$中，底边$AO$长为$2$，高为点$P$到$y$轴的距离$|m-1|$，
$\therefore S_{△ AOP}=\frac{1}{2}×2×|m-1|=|m-1|$，
$\because$点$P$在第二象限，
$\therefore m-1＜0$，即$S_{△ AOP}=1-m$，
由(2)得$S_{△ ABC}=6$，
$\because S_{△ AOP}≤ S_{△ ABC}$，
$\therefore 1-m≤6$，
解得$m≥-5$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=3$，$c=4$；
(2) $(-\frac{3}{2},0)$或$(\frac{3}{2},0)$；
(3) $m≥ -5$
【知识点】
非负数的性质，坐标系面积计算，一元一次不等式应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，解题时要注意非负数性质的灵活应用，坐标平面内图形面积的计算方法，同时要留意绝对值带来的多解情况，以及点所在象对坐标符号的限制。
【难度系数】
0.7
