26. 亲爱的同学们,学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界.一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”,学完平行线的性质,可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题.如图①所示的是一副三角尺,$∠C=∠F=90°$,$∠A=∠B=45°$,$∠D=30°$,$∠E=60°$.

(1)将两个三角尺按如图2所示的方式摆放,使点A与点F重合,点E在AC上,AB与DE相交于点G,求$∠BGD$的度数;
(2)如图③,将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上,使$AB// MN$,三角尺DEF的顶点E在直线MN上,DF与AB相交于点P,则$∠DEM$与$∠DPB$有怎样的数量关系?请说明理由;
(3)如图④,将三角尺DEF固定不动,改变三角尺ABC的摆放位置,但始终保持两个三角尺的顶点C,F重合.当点A在直线EC的下方时,探究这两个三角尺一组边互相平行的情况,并直接写出$∠ACE$所有可能的度数.

(1)过点G作$GH// DF$，如图②所示。
依题意得：$∠ C=90°$，$∠ DFE=90°$，$∠ B=45°$，$∠ D=30°$，
$\therefore ∠ C+∠ DFE=90°+90°=180°$。
$\therefore BC// DF$。
又$\because GH// DF// BC$，
$\therefore ∠ HGD=∠ D=30°$，$∠ BGH=∠ B=45°$。
$\therefore ∠ BGD=∠ HGD+∠ BGH=30°+45°=75°$。
(2)$∠ DEM-∠ DPB=30°$。
理由如下：
过点D作$DH// MN$，如图③所示。
$\because AB// MN$，$\therefore DH// AB// MN$。
$\because ∠ HDE=∠ DEM$，$∠ HDP=∠ DPB$，
$\therefore ∠ HDE-∠ HDP=∠ EDF$，且$∠ EDF=30°$。
$\therefore ∠ DEM-∠ DPB=30°$。
(3)$∠ ACE$所有可能的度数是$135°$或$150°$或$60°$或$45°$或$15°$。
依题意有以下5种情况：
①当$AB// EC$时，如图④a所示：
则$∠ ECB=∠ B=45°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ ACB+∠ ECB=90°+45°=135°$；
②当$BC// DE$时，如图④b所示：
则$∠ ECB=∠ E=60°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ ACB+∠ ECB=90°+60°=150°$；
③当$AC// DE$时，如图④c所示：
则$∠ ACE=∠ E=60°$；
④当$AB// CD$时，如图④d所示：
则$∠ DCB=∠ B=45°$，
$\therefore ∠ ECB=90°-∠ DCB=45°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ ACB-∠ ECB=90°-45°=45°$；
⑤当$AB// DE$时，设$BC$与$DE$交于点$T$，如图④e所示：
则$∠ ETC=∠ B=45°$，
$\therefore ∠ ECT=180°-(∠ ETC+∠ E)=180°-(45°+60°)=75°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ ACB-∠ ECT=90°-75°=15°$。
综上所述，$∠ ACE$所有可能的度数是$135°$或$150°$或$60°$或$45°$或$15°$。

【分析】
(1) 求∠BGD的度数时，直接利用三角形内角和计算条件不足，因此考虑过交点G作平行线，结合三角尺的直角特征可推出BC//DF，再利用平行线的内错角相等，将∠BGD拆分为两个已知角度的和即可求解。
(2) 探究∠DEM与∠DPB的数量关系时，过点D作平行于MN的辅助线，结合AB//MN可得三条线互相平行，利用平行线的内错角相等将两个待研究的角转化为与∠EDF相关的角，即可得到二者的数量关系。
(3) 探究两边平行时∠ACE的度数，需分类讨论两个三角尺每组对边分别平行的情况，结合三角尺各角的固定度数，利用平行线的性质逐一计算对应∠ACE的度数，注意不要遗漏任何一种平行的可能。
【解析】
(1) 过点G作$GH// DF$，如图②所示。
依题意得：$∠ C=90°$，$∠ DFE=90°$，$∠ B=45°$，$∠ D=30°$，
$\therefore ∠ C+∠ DFE=90°+90°=180°$，
$\therefore BC// DF$。
又$\because GH// DF// BC$，
$\therefore ∠ HGD=∠ D=30°$，$∠ BGH=∠ B=45°$，
$\therefore ∠ BGD=∠ HGD+∠ BGH=30°+45°=75°$。
(2) $∠ DEM-∠ DPB=30°$，理由如下：
过点D作$DH// MN$，如图③所示。
$\because AB// MN$，$\therefore DH// AB// MN$，
$\therefore ∠ HDE=∠ DEM$，$∠ HDP=∠ DPB$，
又$\because ∠ HDE-∠ HDP=∠ EDF$，且$∠ EDF=30°$，
$\therefore ∠ DEM-∠ DPB=30°$。
(3) 分5种情况讨论：
①当$AB// EC$时，如图④a所示：
则$∠ ECB=∠ B=45°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ ACB+∠ ECB=90°+45°=135°$；
②当$BC// DE$时，如图④b所示：
则$∠ ECB=∠ E=60°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ ACB+∠ ECB=90°+60°=150°$；
③当$AC// DE$时，如图④c所示：
则$∠ ACE=∠ E=60°$；
④当$AB// CD$时，如图④d所示：
则$∠ DCB=∠ B=45°$，
$\therefore ∠ ECB=90°-∠ DCB=45°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ ACB-∠ ECB=90°-45°=45°$；
⑤当$AB// DE$时，设$BC$与$DE$交于点$T$，如图④e所示：
则$∠ ETC=∠ B=45°$，
$\therefore ∠ ECT=180°-(∠ ETC+∠ E)=180°-(45°+60°)=75°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ ACB-∠ ECT=90°-75°=15°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BGD=75°}$；
(2) $\boldsymbol{∠ DEM-∠ DPB=30°}$，理由见解析；
(3) $∠ACE$所有可能的度数为$\boldsymbol{15°、45°、60°、135°、150°}$。
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题结合三角尺的不同摆放方式考查平行线性质的应用，需要熟练掌握平行线的性质，会通过作辅助线构造平行线转化角度，第三问需要全面梳理所有平行的可能情况，避免漏解，对逻辑推理能力和几何直观能力有较好的考查作用。
【难度系数】
0.4