1[2026 山东日照质检,中]若关于x的方程$2x - \frac{1 - ax}{3} = 2(x+1)-1$的解是整数,且关于y的多项式$(a-2)y^2 + ay -1$是二次三项式,那么所有满足条件的整数a的值之和是 ()

A.0
B.-2
C.10
D.12

【解析】原方程整理得 $2x-\frac{1-ax}{3}=2x+1$,
$-\frac{1-ax}{3}=1,\frac{1-ax}{3}=-1,1-ax=-3$, 解得 $x=\frac{4}{a}$.
因为方程 $2x-\frac{1-ax}{3}=2(x+1)-1$ 的解是整数, $a$ 是整数, 所以 $a$ 是 4 的因数, 即 $a=±1、±2、±4$.
因为多项式 $(a-2)y^2+ay-1$ 是二次三项式, 所以 $a-2≠0$ 且 $a≠0$, 所以 $a≠2$ 且 $a≠0$, 所以满足条件的 $a$ 的值为 $1,-1,-2,4,-4$, 这些值之和为 $1+(-1)+(-2)+4+(-4)=-2$. 故选 B.

2[中]小明同学在解关于$x$的方程$\frac{4x-3}{5}=\frac{x+k}{3}-1$，去分母时，由于方程右边的$-1$忘记乘15，因而他求得的解为$x=-1$，则该方程正确的解为（）

A.$x=-3$
B.$x=-4$
C.$x=-5$
D.$x=-6$

【解析】根据小明的错误解法, 去分母得 $3(4x-3)=5(x+k)-1$, 去括号得 $12x-9=5x+5k-1$, 把 $x=-1$ 代入得 $-12-9=-5+5k-1$, 解得 $k=-3$. 将 $k=-3$ 代入原方程得 $\frac{4x-3}{5}=\frac{x-3}{3}-1$, 去分母得 $3(4x-3)=5(x-3)-15$, 去括号得 $12x-9=5x-15-15$, 移项、合并同类项得 $7x=-21$, 解得 $x=-3$, 所以原方程正确的解为 $x=-3$. 故选 A.

3[较难]若关于$x$的方程$\frac{2kx+m}{3}=2+\frac{x-nk}{6}$，无论$k$为任何数时，它的解总是$x=1$，那么$m+n=$。

【解析】将 $x=1$ 代入 $\frac{2kx+m}{3}=2+\frac{x-nk}{6}$, 得 $\frac{2k+m}{3}=2+\frac{1-nk}{6}$, 整理得 $(4+n)k=13-2m$. 由题意可知, 无论 $k$ 为任何数时, $(4+n)k=13-2m$ 恒成立, 所以 $n+4=0,13-2m=0$, 所以 $n=-4,m=\frac{13}{2}$, 所以 $m+n=\frac{5}{2}$.

4[较难]类比推理是一种推理方法,根据两种事物在某些特征上相似,得出它们在其他特征上也可能相似的结论.在异分母分数的加减法中,往往先化作同分母分数,然后分子相加减,例如:$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{2×3}-\frac{2}{3×2}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}$,我们将上述计算过程倒过来,得到$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,这一恒等变形过程在数学中叫作裂项.类似地,对于$\frac{1}{2×4}$可以用裂项的方法变形为$\frac{1}{2×4}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})$,类比上述方法解决以下问题.
(1)计算:$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}=$;
(2)解关于$x$的方程:$\frac{1}{-2×4}+\frac{1}{-4×6}+…+\frac{1}{-48×50}=\frac{19}{25}-2x$.
e刷素养→……走向重高

(1)$\frac{4}{5}$ 【解析】原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$. 故答案为 $\frac{4}{5}$.
(2)【解】将已知等式整理,得$-\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{48}-\frac{1}{50})=\frac{19}{25}-2x$.
整理得$-\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{50})=\frac{19}{25}-2x$,
即$-\frac{6}{25}=\frac{19}{25}-2x$, 解得 $x=\frac{1}{2}$.

5 核心素养运算能力 [2025重庆巴南区期末,难]如果将两个一元一次方程的解相减,差的绝对值为Q,我们称这两个方程为“值Q方程”.
例如:方程$4m-3=1$的解是$m=1$,方程$n-1=3$的解是$n=4$.
因为$|m-n|=|1-4|=3$,所以方程$4m-3=1$与方程$n-1=3$是“值3方程”.
(1)下列方程中:①$-3x=6$,②$5(x+2)-4=3x$,③$\frac{x-1}{3}-2=\frac{x+2}{2}-x$,和为“值1方程”,和为“值6方程”;(只填序号)
(2)若关于x的一元一次方程$4x-a=2$和$4(x-2)=2x+6$是“值2方程”,求a的值;
(3)无论k取何值,关于x的方程$2x+3=x+5$与关于y的方程$\frac{3y+km}{4}-\frac{n}{2}=k+mn$始终是“值3方程”,求mn的值.

(1)① ② ① ③ 【解】①$-3x=6,x=-2$;
②$5(x+2)-4=3x,5x+10-4=3x,5x-3x=4-10,2x=-6,x=-3$;
③$\frac{x-1}{3}-2=\frac{x+2}{2}-x,2(x-1)-12=3(x+2)-6x,2x-2-12=3x+6-6x,2x-14=6-3x,2x+3x=6+14,5x=20,x=4$. 因为$|-2-(-3)|=|-2+3|=1,|-2-4|=6$, 所以①和②为“值1方程”,①和③为“值6方程”,故答案为①,②,①,③(前两个空可以互换,后两个空可以互换).
(2)$4x-a=2,4x=2+a,x=\frac{2+a}{4}$. $4(x-2)=2x+6,4x-8=2x+6,4x-2x=8+6,2x=14,x=7$. 因为关于x的一元一次方程$4x-a=2$和$4(x-2)=2x+6$是“值2方程”, 所以$|\frac{2+a}{4}-7|=2$, 所以$\frac{2+a}{4}-7=±2,2+a-28=±8,a-26=±8$, 解得 $a=34$ 或 18.
(3)$2x+3=x+5,2x-x=5-3,x=2$. $\frac{3y+km}{4}-\frac{n}{2}=k+mn,3y+km-2n=4k+4mn,3y=4k+4mn-km+2n,y=\frac{4k-km+4mn+2n}{3}$. 因为关于x的方程$2x+3=x+5$与关于y的方程$\frac{3y+km}{4}-\frac{n}{2}=k+mn$始终是“值3方程”, 所以$|2-\frac{4k-km+4mn+2n}{3}|=3$, $2-\frac{4k-km+4mn+2n}{3}=±3$, 所以$\frac{4k-km+4mn+2n}{3}=-1或5$, $4k-km+4mn+2n=-3或15$, 即$(4-m)k+4mn+2n=-3或15$. 因为无论k取何值, 关于x的方程$2x+3=x+5$与关于y的方程$\frac{3y+km}{4}-\frac{n}{2}=k+mn$始终是“值3方程”, 所以$4-m=0$, 解得 $m=4$. 把 $m=4$ 代入 $4mn+2n=-3$ 得 $16n+2n=-3,18n=-3,n=-\frac{1}{6}$; 把 $m=4$ 代入 $4mn+2n=15$ 得 $16n+2n=15,18n=15,n=\frac{5}{6}$. 当 $m=4,n=-\frac{1}{6}$ 时, $mn=4×(-\frac{1}{6})=-\frac{2}{3}$; 当 $m=4,n=\frac{5}{6}$ 时, $mn=4×\frac{5}{6}=\frac{10}{3}$, 所以 $mn$ 的值为 $-\frac{2}{3}$ 或 $\frac{10}{3}$.