1[中]已知关于$x$的方程$\frac{1}{2}(8-x)=7+x$的解与方程$\frac{2x+a}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{6}+2a$的解互为相反数，求$a$的值.

【解】解方程 $\frac{1}{2}(8-x)=7+x$, 得 $x=-2$.
因为关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2}(8-x)=7+x$ 的解与方程 $\frac{2x+a}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{6}+2a$ 的解互为相反数,
所以方程 $\frac{2x+a}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{6}+2a$ 的解为 $x=2$.
把 $x=2$ 代入, 得 $\frac{4+a}{2}-\frac{2-1}{3}=\frac{2}{6}+2a$,
解得 $a=\frac{8}{9}$.

2[中]晶晶在解关于$x$的方程$\frac{ax-1}{2}+6=\frac{2+x}{3}$时，把6错写成1，解得$x=1$，并且晶晶在解题中没有错误，请你正确求出此方程的解。

【解】因为解关于 $x$ 的方程 $\frac{ax-1}{2}+6=\frac{2+x}{3}$ 时, 把 6 错写成 1, 解得 $x=1$,
所以把 $x=1$ 代入 $\frac{ax-1}{2}+1=\frac{2+x}{3}$, 解得 $a=1$,
所以原方程应为 $\frac{x-1}{2}+6=\frac{2+x}{3}$, 解得 $x=-29$.

3[中]已知$m,n$是有理数,单项式$-x^n y$的次数是3,方程$(m+1)x^2 + mx - tx + n + 2 = 0$是关于$x$的一元一次方程,其中$m≠t$.
(1)求$m,n$的值;
(2)若该方程的解是$x=3$,求$t$的值;
(3)若该方程的解是正整数,求整数$t$的值.

【解】(1)由题意得 $n+1=3,m+1=0$, 解得 $n=2,m=-1$.
(2)由(1)得 $n=2,m=-1$, 所以原方程为 $-x-tx+4=0$. 将 $x=3$ 代入得 $-3-3t+4=0$, 所以 $t=\frac{1}{3}$.
(3)因为 $n=2,m=-1$, 所以原方程为 $-x-tx+4=0$, 所以 $x=\frac{4}{t+1}$. 因为 $t$ 是整数, $x$ 是正整数, 所以 $t+1=1,2,4$, 所以 $t=0,1,3$.

4[中]已知关于x的方程$4+3ax=2a-7$有唯一解，关于y的方程$2+y=(b+1)y$无解，判断关于z的方程$az=b$的解的情况。

【解】关于 $x$ 的方程 $4+3ax=2a-7$ 可以整理为 $3ax=2a-11$. 因为关于 $x$ 的方程 $4+3ax=2a-7$ 有唯一解, 所以 $a≠0$. 关于 $y$ 的方程 $2+y=(b+1)y$ 整理得 $by=2$. 因为关于 $y$ 的方程 $2+y=(b+1)y$ 无解, 所以 $b=0$, 则关于 $z$ 的方程 $az=b$ 可解得 $z=\frac{b}{a}$, 所以 $z=0$, 即关于 $z$ 的方程 $az=b$ 有唯一解, 为 $z=0$.

5[中]已知关于$x$的方程$(a-2)x^{|a|-1}+4b=0$为一元一次方程，且该方程的解与关于$x$的方程$\frac{2x+1}{3}=\frac{x-b}{2}+1$的解相同.
(1)求$a,b$的值；
(2)若关于$y$的方程$|m-1|y+n=a+1+2by$有无数个解，求$m,n$的值.

【解】(1)因为关于 $x$ 的方程 $(a-2)x^{|a|-1}+4b=0$ 为一元一次方程, 所以 $|a|-1=1,a-2≠0$, 解得 $a=-2$.
当 $a=-2$ 时, 方程为 $-4x+4b=0$, 解得 $x=b$. 又因为两个方程同解, 所以 $\frac{2b+1}{3}=\frac{b-b}{2}+1$, 解得 $b=1$.
(2)把 $a=-2,b=1$ 代入 $|m-1|y+n=a+1+2by$, 可得 $|m-1|y+n=-1+2y$, 变形得 $(|m-1|-2)y=-n-1$. 因为关于 $y$ 的方程 $|m-1|y+n=a+1+2by$ 有无数个解, 所以 $|m-1|-2=0,-n-1=0$, 所以 $m=3或-1,n=-1$.