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1. 一种药品原价每盒 48 元,经过两次降价后每盒 27 元,若两次降价的百分率相同,则每次降价的百分率为 (
A.20%
B.22%
C.25%
D.28%
C
)A.20%
B.22%
C.25%
D.28%
答案
1.C
解析
【分析】
这是典型的连续相同百分率降价的应用题，解题思路如下：第一步，设每次降价的百分率为x；第二步，根据降价规律，第一次降价后价格为原价×(1-x)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此两次降价后的价格为原价×(1-x)²；第三步，结合已知的原价和两次降价后的现价列一元二次方程；第四步，解方程后结合降价率的实际意义（0＜x＜1）对根进行取舍，最终得到正确结果。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $，根据题意可列方程：
$ 48(1-x)^2 = 27 $
方程两边同时除以48，得：
$ (1-x)^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} $
开平方得：
$ 1-x = \pm \frac{3}{4} $
当$ 1-x = \frac{3}{4} $时，解得$ x = \frac{1}{4} = 25\% $；
当$ 1-x = -\frac{3}{4} $时，解得$ x = \frac{7}{4} = 175\% $，不符合降价率小于100%的实际意义，故舍去。
因此每次降价的百分率为25%。
【答案】
C
【知识点】
1.平均变化率问题 2.一元二次方程应用 3.实际问题根的取舍
【点评】
本题属于基础类应用题，核心是掌握连续两次相同百分率变化的数量关系，解题时要注意求解出方程的根后，必须结合实际情况判断根是否合理，舍去不符合实际的解。
【难度系数】
0.75
这是典型的连续相同百分率降价的应用题，解题思路如下：第一步，设每次降价的百分率为x；第二步，根据降价规律，第一次降价后价格为原价×(1-x)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此两次降价后的价格为原价×(1-x)²；第三步，结合已知的原价和两次降价后的现价列一元二次方程；第四步，解方程后结合降价率的实际意义（0＜x＜1）对根进行取舍，最终得到正确结果。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $，根据题意可列方程：
$ 48(1-x)^2 = 27 $
方程两边同时除以48，得：
$ (1-x)^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} $
开平方得：
$ 1-x = \pm \frac{3}{4} $
当$ 1-x = \frac{3}{4} $时，解得$ x = \frac{1}{4} = 25\% $；
当$ 1-x = -\frac{3}{4} $时，解得$ x = \frac{7}{4} = 175\% $，不符合降价率小于100%的实际意义，故舍去。
因此每次降价的百分率为25%。
【答案】
C
【知识点】
1.平均变化率问题 2.一元二次方程应用 3.实际问题根的取舍
【点评】
本题属于基础类应用题，核心是掌握连续两次相同百分率变化的数量关系，解题时要注意求解出方程的根后，必须结合实际情况判断根是否合理，舍去不符合实际的解。
【难度系数】
0.75
2.(2025·凉山州)某钢铁厂1月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨.若设月平均增长率为x，则可列出的方程是 （
A.$560(1+x)^2=1860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1860$
D.$560+560(1+2x)^2=1860$
C
）A.$560(1+x)^2=1860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1860$
D.$560+560(1+2x)^2=1860$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查平均增长率的实际应用，解题思路如下：首先明确第一季度包含1、2、3三个月，总产量是三个月产量的和。第一步先确定已知量：1月份产量为560吨；第二步推导2月份产量：月平均增长率为x，2月是在1月产量基础上增长x，因此2月产量=1月产量×(1+x)；第三步推导3月份产量：3月是在2月产量基础上增长x，因此3月产量=2月产量×(1+x)=1月产量×(1+x)²；最后将三个月产量相加等于第一季度总产量1860吨，即可列出方程匹配选项。
【解析】
解：已知1月份钢铁产量为560吨，设月平均增长率为x。
1. 2月份产量为：$560(1+x)$吨
2. 3月份产量是在2月份基础上增长x，因此为：$560(1+x) × (1+x) = 560(1+x)^2$吨
3. 第一季度总产量为1月、2月、3月产量之和，已知第一季度总产量为1860吨，因此列方程：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
平均增长率计算；一元二次方程应用；总量求和
【点评】
本题是增长率类应用题的基础考法，易错点有两个：一是误将3月产量当成第一季度总产量错选A，二是错把3月产量表示为$560(1+2x)$错选B。解题时要牢记增长率是在上一个月的产量基数上增长，求和类问题要先明确统计时段包含的所有周期。
【难度系数】
0.7
本题考查平均增长率的实际应用，解题思路如下：首先明确第一季度包含1、2、3三个月，总产量是三个月产量的和。第一步先确定已知量：1月份产量为560吨；第二步推导2月份产量：月平均增长率为x，2月是在1月产量基础上增长x，因此2月产量=1月产量×(1+x)；第三步推导3月份产量：3月是在2月产量基础上增长x，因此3月产量=2月产量×(1+x)=1月产量×(1+x)²；最后将三个月产量相加等于第一季度总产量1860吨，即可列出方程匹配选项。
【解析】
解：已知1月份钢铁产量为560吨，设月平均增长率为x。
1. 2月份产量为：$560(1+x)$吨
2. 3月份产量是在2月份基础上增长x，因此为：$560(1+x) × (1+x) = 560(1+x)^2$吨
3. 第一季度总产量为1月、2月、3月产量之和，已知第一季度总产量为1860吨，因此列方程：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
平均增长率计算；一元二次方程应用；总量求和
【点评】
本题是增长率类应用题的基础考法，易错点有两个：一是误将3月产量当成第一季度总产量错选A，二是错把3月产量表示为$560(1+2x)$错选B。解题时要牢记增长率是在上一个月的产量基数上增长，求和类问题要先明确统计时段包含的所有周期。
【难度系数】
0.7
3.某加工厂9月份加工了10吨干果，11月份加工了13吨干果.设该厂加工干果质量的月平均增长率为x，根据题意列方程为
$10(1+x)^2=13$
.答案
3.$10(1+x)^2=13$
解析
【分析】
本题属于平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确初始量是9月份加工的10吨干果，月平均增长率为x，从9月到11月共经过2次增长（9月到10月是第1次增长，10月到11月是第2次增长），最终量为11月份的13吨，套用平均增长率的等量关系即可列出方程。
【解析】
1. 确定初始量：9月份干果加工量为10吨，设月平均增长率为x。
2. 计算10月份加工量：10月份在9月份基础上增长x，因此加工量为$10(1+x)$吨。
3. 计算11月份加工量：11月份在10月份基础上再增长x，因此加工量为$10(1+x) × (1+x) = 10(1+x)^2$吨。
4. 结合11月份实际加工量为13吨，列出对应方程。
【答案】
$10(1+x)^2=13$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列一元二次方程
【点评】
本题是增长率问题的基础常考题，核心是找准增长次数、初始量和最终量，熟练掌握增长率计算公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确初始量是9月份加工的10吨干果，月平均增长率为x，从9月到11月共经过2次增长（9月到10月是第1次增长，10月到11月是第2次增长），最终量为11月份的13吨，套用平均增长率的等量关系即可列出方程。
【解析】
1. 确定初始量：9月份干果加工量为10吨，设月平均增长率为x。
2. 计算10月份加工量：10月份在9月份基础上增长x，因此加工量为$10(1+x)$吨。
3. 计算11月份加工量：11月份在10月份基础上再增长x，因此加工量为$10(1+x) × (1+x) = 10(1+x)^2$吨。
4. 结合11月份实际加工量为13吨，列出对应方程。
【答案】
$10(1+x)^2=13$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列一元二次方程
【点评】
本题是增长率问题的基础常考题，核心是找准增长次数、初始量和最终量，熟练掌握增长率计算公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.某城市计划经过两年的时间，将城市绿地面积从现有的144万平方米提高到225万平方米，则平均每年增长的百分率为
25%
。答案
4.25%
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的应用题，解题时首先回忆增长率问题的基本等量关系：增长后的量=增长前的量×(1+年平均增长率)^增长年数。我们可以设平均每年增长的百分率为x，已知原有绿地面积是144万平方米，增长时间是2年，目标面积是225万平方米，将已知量代入等量关系就可以列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际要求舍去不符合题意的解，就能得到正确结果。
【解析】
设平均每年增长的百分率为x。
根据题意可列方程：$\boldsymbol{144(1+x)^2=225}$
方程两边同时除以144，得：$(1+x)^2=\frac{225}{144}$
开平方，得：$1+x=\pm\frac{15}{12}=\pm1.25$
当$1+x=1.25$时，解得$x=0.25=25\%$；
当$1+x=-1.25$时，解得$x=-2.25$，因为增长率不能为负数，不符合实际意义，故舍去。
因此平均每年增长的百分率为25%。
【答案】
25%
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是增长率问题的典型题型，解题核心是找准增长前后的量和增长周期，正确列出方程，求得方程的解后要注意结合实际情境检验解的合理性，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.75
这是一道平均增长率类的应用题，解题时首先回忆增长率问题的基本等量关系：增长后的量=增长前的量×(1+年平均增长率)^增长年数。我们可以设平均每年增长的百分率为x，已知原有绿地面积是144万平方米，增长时间是2年，目标面积是225万平方米，将已知量代入等量关系就可以列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际要求舍去不符合题意的解，就能得到正确结果。
【解析】
设平均每年增长的百分率为x。
根据题意可列方程：$\boldsymbol{144(1+x)^2=225}$
方程两边同时除以144，得：$(1+x)^2=\frac{225}{144}$
开平方，得：$1+x=\pm\frac{15}{12}=\pm1.25$
当$1+x=1.25$时，解得$x=0.25=25\%$；
当$1+x=-1.25$时，解得$x=-2.25$，因为增长率不能为负数，不符合实际意义，故舍去。
因此平均每年增长的百分率为25%。
【答案】
25%
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是增长率问题的典型题型，解题核心是找准增长前后的量和增长周期，正确列出方程，求得方程的解后要注意结合实际情境检验解的合理性，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.75
5.某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元/件的价格出售.
(1)求平均每次降价的百分率；
(2)售货员向经理建议:先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？
(1)求平均每次降价的百分率；
(2)售货员向经理建议:先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？
答案
5.解:(1)设平均每次降价的百分率是x,根据题意列方程，得$200(1-x)^2=162$,解得$x_1=10\%$,$x_2=190\%$(不合题意,舍去).答:平均每次降价的百分率为10%.
(2)更优惠.理由:$\because 200(1-5\%)(1-15\%)=161.5＜162$,$\therefore$售货员的方案对顾客更优惠.
(2)更优惠.理由:$\because 200(1-5\%)(1-15\%)=161.5＜162$,$\therefore$售货员的方案对顾客更优惠.
解析
【分析】
（1）第一问是典型的平均下降率类问题，解题核心是找准等量关系：原价×(1-平均每次降价百分率)²=两次降价后的最终售价，据此列一元二次方程求解即可，注意降价百分率不能超过100%，需要舍去不符合实际意义的根。
（2）第二问判断方案是否对顾客更优惠，只需按照售货员给出的降价规则计算出最终售价，再和原方案的162元比较大小即可，最终售价更低的方案对顾客更优惠。
【解析】
(1) 设平均每次降价的百分率是$x$，根据题意列方程：
$200(1-x)^2=162$
化简得：$(1-x)^2=0.81$
开平方得：$1-x=\pm0.9$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9=190\%$
因为降价百分率不可能大于100%，所以$x_2=190\%$不符合题意，舍去。
答：平均每次降价的百分率为10%。
(2) 售货员的方案对顾客更优惠，理由如下：
按照售货员的方案计算最终售价：
$200×(1-5\%)×(1-15\%)=200×0.95×0.85=161.5$（元）
$\because 161.5＜162$，即售货员方案的最终售价更低
$\therefore$ 售货员的方案对顾客更优惠。
【答案】
(1) 平均每次降价的百分率为10%；
(2) 对顾客更优惠，因为$200(1-5\%)(1-15\%)=161.5＜162$，所以售货员的方案对顾客更优惠。
【知识点】
一元二次方程应用；百分率问题；方案比较
【点评】
本题结合生活中常见的促销场景出题，既考察了方程思想在实际问题中的应用能力，也提醒了数学知识的实用性，解题时要注意结合实际意义对计算结果进行筛选，整体逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.75
（1）第一问是典型的平均下降率类问题，解题核心是找准等量关系：原价×(1-平均每次降价百分率)²=两次降价后的最终售价，据此列一元二次方程求解即可，注意降价百分率不能超过100%，需要舍去不符合实际意义的根。
（2）第二问判断方案是否对顾客更优惠，只需按照售货员给出的降价规则计算出最终售价，再和原方案的162元比较大小即可，最终售价更低的方案对顾客更优惠。
【解析】
(1) 设平均每次降价的百分率是$x$，根据题意列方程：
$200(1-x)^2=162$
化简得：$(1-x)^2=0.81$
开平方得：$1-x=\pm0.9$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9=190\%$
因为降价百分率不可能大于100%，所以$x_2=190\%$不符合题意，舍去。
答：平均每次降价的百分率为10%。
(2) 售货员的方案对顾客更优惠，理由如下：
按照售货员的方案计算最终售价：
$200×(1-5\%)×(1-15\%)=200×0.95×0.85=161.5$（元）
$\because 161.5＜162$，即售货员方案的最终售价更低
$\therefore$ 售货员的方案对顾客更优惠。
【答案】
(1) 平均每次降价的百分率为10%；
(2) 对顾客更优惠，因为$200(1-5\%)(1-15\%)=161.5＜162$，所以售货员的方案对顾客更优惠。
【知识点】
一元二次方程应用；百分率问题；方案比较
【点评】
本题结合生活中常见的促销场景出题，既考察了方程思想在实际问题中的应用能力，也提醒了数学知识的实用性，解题时要注意结合实际意义对计算结果进行筛选，整体逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.75
6.为促进消费，某超市对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价700元的服装，优惠后实际仅需448元.设该服装打x折，则可列出的方程为 （
A.$700(1-2x)=448$
B.$700(1-x)^2=448$
C.$700(1-\frac{x}{10})^2=448$
D.$700(\frac{x}{10})^2=448$
D
）A.$700(1-2x)=448$
B.$700(1-x)^2=448$
C.$700(1-\frac{x}{10})^2=448$
D.$700(\frac{x}{10})^2=448$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先要明确打折的计算规则：打x折意味着售价是原价的$\frac{x}{10}$。本题是“折上折”即两次折扣相同，需先计算第一次打折后的价格，再以第一次打折后的价格为基础计算第二次打折后的价格，最终让实际售价等于448元即可列出方程，注意要和“每次降价百分之x”的题型区分开，避免误用“1-折扣”的公式。
【解析】
1. 打折规则转换：打x折销售，商品售价为原价的$\frac{x}{10}$；
2. 计算第一次打折后的价格：原价为700元，第一次打x折后价格为$700×\frac{x}{10}$元；
3. 计算第二次打折后的价格：第二次打折是在第一次打折后的价格基础上再打x折，因此第二次打折后价格为$700×\frac{x}{10}×\frac{x}{10}=700×(\frac{x}{10})^2$元；
4. 结合已知实际付款448元，可列方程为$700(\frac{x}{10})^2=448$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
打折销售问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题核心是理清“折上折”的计算逻辑，易错点是将打折和降价的计算混淆，只要明确打折的换算规则就能准确列出方程，属于应用型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确打折的计算规则：打x折意味着售价是原价的$\frac{x}{10}$。本题是“折上折”即两次折扣相同，需先计算第一次打折后的价格，再以第一次打折后的价格为基础计算第二次打折后的价格，最终让实际售价等于448元即可列出方程，注意要和“每次降价百分之x”的题型区分开，避免误用“1-折扣”的公式。
【解析】
1. 打折规则转换：打x折销售，商品售价为原价的$\frac{x}{10}$；
2. 计算第一次打折后的价格：原价为700元，第一次打x折后价格为$700×\frac{x}{10}$元；
3. 计算第二次打折后的价格：第二次打折是在第一次打折后的价格基础上再打x折，因此第二次打折后价格为$700×\frac{x}{10}×\frac{x}{10}=700×(\frac{x}{10})^2$元；
4. 结合已知实际付款448元，可列方程为$700(\frac{x}{10})^2=448$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
打折销售问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题核心是理清“折上折”的计算逻辑，易错点是将打折和降价的计算混淆，只要明确打折的换算规则就能准确列出方程，属于应用型基础题。
【难度系数】
0.7
7.某商品连续两次降价后价格下降了36%，则平均每次降价的百分数为 （
A.10%
B.20%
C.30%
D.40%
B
）A.10%
B.20%
C.30%
D.40%
答案
7.B
解析
【分析】
这是典型的平均降低率问题，解题思路如下：首先我们可以把商品原价看作单位“1”，设平均每次降价的百分数为x，第一次降价后的价格为原价乘(1-x)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此两次降价后的价格为$(1-x)^2$。题目中说两次降价后价格下降了36%，也就是两次降价后的价格是原价的$1-36\%=64\%$，据此列出一元二次方程求解即可，最后要注意检验解是否符合实际意义。
【解析】
设平均每次降价的百分数为$ x $，将商品原价看作单位1，根据题意可列方程：
$(1-x)^2 = 1 - 36\%$
化简方程右边得：
$(1-x)^2 = 0.64$
两边开平方得：
$1-x = \pm 0.8$
解得：
$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = 1.8 $（不符合降价的实际意义，舍去）
因此平均每次降价的百分数为20%。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础应用题，核心是掌握连续两次变化后量的表达式：若初始量为$ a $，平均每次变化率为$ x $，则两次变化后的量为$ a(1\pm x)^2 $（增长取+，降低取-），求解后要注意舍去不符合实际情况的根。
【难度系数】
0.8
这是典型的平均降低率问题，解题思路如下：首先我们可以把商品原价看作单位“1”，设平均每次降价的百分数为x，第一次降价后的价格为原价乘(1-x)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此两次降价后的价格为$(1-x)^2$。题目中说两次降价后价格下降了36%，也就是两次降价后的价格是原价的$1-36\%=64\%$，据此列出一元二次方程求解即可，最后要注意检验解是否符合实际意义。
【解析】
设平均每次降价的百分数为$ x $，将商品原价看作单位1，根据题意可列方程：
$(1-x)^2 = 1 - 36\%$
化简方程右边得：
$(1-x)^2 = 0.64$
两边开平方得：
$1-x = \pm 0.8$
解得：
$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = 1.8 $（不符合降价的实际意义，舍去）
因此平均每次降价的百分数为20%。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础应用题，核心是掌握连续两次变化后量的表达式：若初始量为$ a $，平均每次变化率为$ x $，则两次变化后的量为$ a(1\pm x)^2 $（增长取+，降低取-），求解后要注意舍去不符合实际情况的根。
【难度系数】
0.8
8.(2025·南通崇川区期末)某市严格执行了义务教育阶段教师轮岗和零择校政策后,某薄弱学校2024年秋季在校人数比2022年在校人数增长了56%,已知2023年秋季在校人数增长率是x,2024年秋季在校人数增长率是2023年的1.5倍,则可列出方程是
$(1+x)(1+1.5x)=1+56\%$
.答案
8.$(1+x)(1+1.5x)=1+56\%$
解析
【分析】
这是一道连续增长率的一元二次方程应用题，解题核心是利用增长率问题的基本等量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。我们可以先将2022年的在校人数设为单位“1”，先根据2023年的增长率x表示出2023年的在校人数，再结合2024年增长率是2023年的1.5倍，得到2024年的在校人数表达式；最后根据“2024年秋季在校人数比2022年增长了56%”，即2024年在校人数是2022年的(1+56%)，令两个表示2024年在校人数的式子相等即可列出方程。
【解析】
设2022年该校在校人数为单位“1”：
1. 2023年秋季在校人数增长率为x，因此2023年在校人数为：$1×(1+x)=1+x$
2. 已知2024年秋季在校人数增长率是2023年的1.5倍，即2024年增长率为$1.5x$，因此2024年在校人数为：$(1+x)(1+1.5x)$
3. 由题意，2024年秋季在校人数比2022年增长56%，因此2024年在校人数也可表示为：$1×(1+56\%)=1+56\%$
4. 联立两个表示2024年在校人数的式子，可得方程：$(1+x)(1+1.5x)=1+56\%$
【答案】
$(1+x)(1+1.5x)=1+56\%$
【知识点】
增长率问题、列一元二次方程
【点评】
本题属于增长率类基础应用题，解题关键是找准每一次增长的基数，理清相邻年份增长率的数量关系，熟练掌握连续增长问题的量的表示方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道连续增长率的一元二次方程应用题，解题核心是利用增长率问题的基本等量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。我们可以先将2022年的在校人数设为单位“1”，先根据2023年的增长率x表示出2023年的在校人数，再结合2024年增长率是2023年的1.5倍，得到2024年的在校人数表达式；最后根据“2024年秋季在校人数比2022年增长了56%”，即2024年在校人数是2022年的(1+56%)，令两个表示2024年在校人数的式子相等即可列出方程。
【解析】
设2022年该校在校人数为单位“1”：
1. 2023年秋季在校人数增长率为x，因此2023年在校人数为：$1×(1+x)=1+x$
2. 已知2024年秋季在校人数增长率是2023年的1.5倍，即2024年增长率为$1.5x$，因此2024年在校人数为：$(1+x)(1+1.5x)$
3. 由题意，2024年秋季在校人数比2022年增长56%，因此2024年在校人数也可表示为：$1×(1+56\%)=1+56\%$
4. 联立两个表示2024年在校人数的式子，可得方程：$(1+x)(1+1.5x)=1+56\%$
【答案】
$(1+x)(1+1.5x)=1+56\%$
【知识点】
增长率问题、列一元二次方程
【点评】
本题属于增长率类基础应用题，解题关键是找准每一次增长的基数，理清相邻年份增长率的数量关系，熟练掌握连续增长问题的量的表示方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9.为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划赛程3天，每天安排5场比赛，则应邀请
6
个球队参赛.答案
9.6
解析
【分析】
首先先计算总比赛场次：赛程共3天，每天安排5场，因此总比赛场数为$3×5=15$场。接下来回忆单循环赛制的计数规则：若有$x$个球队参赛，每个球队需要和其余$(x-1)$个球队各赛1场，但每场比赛会被两支球队重复计数1次，因此实际总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。我们只需要让该式等于总场次15，列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
第一步：计算总比赛场数
$3×5=15$（场）
第二步：设未知数并列方程
设应邀请$x$个球队参赛，根据单循环总场数公式可得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
第三步：解方程
整理方程得：$x^2 - x - 30=0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
第四步：检验根的合理性
球队个数不能为负数，因此舍去$x=-5$，取$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环赛制计数
【点评】
本题是方程与实际生活结合的典型题型，解题核心是准确理解单循环赛制的场数计算规则，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
首先先计算总比赛场次：赛程共3天，每天安排5场，因此总比赛场数为$3×5=15$场。接下来回忆单循环赛制的计数规则：若有$x$个球队参赛，每个球队需要和其余$(x-1)$个球队各赛1场，但每场比赛会被两支球队重复计数1次，因此实际总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。我们只需要让该式等于总场次15，列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
第一步：计算总比赛场数
$3×5=15$（场）
第二步：设未知数并列方程
设应邀请$x$个球队参赛，根据单循环总场数公式可得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
第三步：解方程
整理方程得：$x^2 - x - 30=0$
因式分解得：$(x-6)(x+5)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-5$
第四步：检验根的合理性
球队个数不能为负数，因此舍去$x=-5$，取$x=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环赛制计数
【点评】
本题是方程与实际生活结合的典型题型，解题核心是准确理解单循环赛制的场数计算规则，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
