登录
10.“民以食为天，食以粮为先”，粮食安全事关国计民生.为了确保粮食安全，优选品种，某农业科技公司对原有小麦进行改良种植研究，在保持种植面积不变的情况下，2025年小麦的平均亩产量在2024年的基础上增加了$a\%$，每千克售价也在2024年的基础上上涨了$2a\%$，全部售出后总收入将增加$15.5\%$.
(1)求$a$的值；
(2)如果2026年的种植面积仍然不变，预计2026年小麦的平均亩产量将在2025年的基础上增加$a\%$，每千克售价将在2025年的基础上上涨$\frac{8}{5}a\%$，求全部售出后2026年的总收入会在2025年的基础上增加的百分数.
(1)求$a$的值；
(2)如果2026年的种植面积仍然不变，预计2026年小麦的平均亩产量将在2025年的基础上增加$a\%$，每千克售价将在2025年的基础上上涨$\frac{8}{5}a\%$，求全部售出后2026年的总收入会在2025年的基础上增加的百分数.
答案
10.解:(1)根据题意,得$(1+a\%)(1+2a\%)=1+15.5\%$，整理,得$a^2+15a-775=0$，解得$a_1=5$,$a_2=-155$(不合题意,舍去).答:$a$的值为5.
(2)$(1+5\%)×(1+\frac{8}{5}×5\%)-1=0.134=13.4\%$.答:全部售出后2026年的总收入会在2025年的基础上增加的百分数为13.4%.
(2)$(1+5\%)×(1+\frac{8}{5}×5\%)-1=0.134=13.4\%$.答:全部售出后2026年的总收入会在2025年的基础上增加的百分数为13.4%.
解析
【分析】
（1）我们可以将2024年小麦的平均亩产量、每千克售价都看作单位“1”，由于种植面积不变，总收入和“平均亩产量×每千克售价”成正比。2025年平均亩产量是2024年的$(1+a\%)$，每千克售价是2024年的$(1+2a\%)$，因此2025年总收入是2024年的$(1+a\%)(1+2a\%)$，结合总收入增加15.5%的条件即可列出一元二次方程求解，最后要舍去不符合实际意义的负根。
（2）得到a的值后，将2025年的平均亩产量、每千克售价看作新的单位“1”，先求出2026年总收入是2025年的多少倍，再减去1就能得到总收入增加的百分数。
【解析】
(1) 根据题意列方程：
$\quad(1+a\%)(1+2a\%)=1+15.5\%$
整理得：$a^2+15a-775=0$
解得：$a_1=5$，$a_2=-155$
因为增长率不能为负数，故舍去$a_2=-155$。
(2) 将$a=5$代入计算：
$\quad(1+5\%)×(1+\frac{8}{5}×5\%)-1$
$=1.05×1.08-1$
$=1.134-1$
$=0.134=13.4\%$
【答案】
(1) $a$的值为5；(2) 增加的百分数为$13.4\%$
【知识点】
一元二次方程应用，增长率问题，百分数运算
【点评】
本题结合粮食安全的现实背景考查增长率类实际问题，解题核心是找准各阶段的单位“1”，理清数量间的关系，求解方程后要注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
（1）我们可以将2024年小麦的平均亩产量、每千克售价都看作单位“1”，由于种植面积不变，总收入和“平均亩产量×每千克售价”成正比。2025年平均亩产量是2024年的$(1+a\%)$，每千克售价是2024年的$(1+2a\%)$，因此2025年总收入是2024年的$(1+a\%)(1+2a\%)$，结合总收入增加15.5%的条件即可列出一元二次方程求解，最后要舍去不符合实际意义的负根。
（2）得到a的值后，将2025年的平均亩产量、每千克售价看作新的单位“1”，先求出2026年总收入是2025年的多少倍，再减去1就能得到总收入增加的百分数。
【解析】
(1) 根据题意列方程：
$\quad(1+a\%)(1+2a\%)=1+15.5\%$
整理得：$a^2+15a-775=0$
解得：$a_1=5$，$a_2=-155$
因为增长率不能为负数，故舍去$a_2=-155$。
(2) 将$a=5$代入计算：
$\quad(1+5\%)×(1+\frac{8}{5}×5\%)-1$
$=1.05×1.08-1$
$=1.134-1$
$=0.134=13.4\%$
【答案】
(1) $a$的值为5；(2) 增加的百分数为$13.4\%$
【知识点】
一元二次方程应用，增长率问题，百分数运算
【点评】
本题结合粮食安全的现实背景考查增长率类实际问题，解题核心是找准各阶段的单位“1”，理清数量间的关系，求解方程后要注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
11.某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量比3月份的2倍少100吨.
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸的产量比上月增加$m\%$，5月份每吨再生纸的利润比上月增加$\frac{m}{2}\%$，则5月份再生纸项目月利润达到66万元，求$m$的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目的月利润比上月增加了25%.6月份每吨再生纸的利润是多少元？
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸的产量比上月增加$m\%$，5月份每吨再生纸的利润比上月增加$\frac{m}{2}\%$，则5月份再生纸项目月利润达到66万元，求$m$的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目的月利润比上月增加了25%.6月份每吨再生纸的利润是多少元？
答案
11.解:(1)设3月份再生纸的产量为x吨,则4月份再生纸的产量为$(2x-100)$吨.根据题意,得$x+2x-100=800$,解得$x=300$，$\therefore 2x-100=2×300-100=500$.答:4月份再生纸的产量为500吨.
(2)根据题意,得$1000(1+\frac{m}{2}\%)×500(1+m\%)=660000$.整理,得$m^2+300m-6400=0$，解得$m_1=20$,$m_2=-320$(不合题意,舍去).答:$m$的值为20.
(3)设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为y,5月份再生纸的产量为a吨.根据题意,得$1200(1+y)^2· a(1+y)=(1+25\%)×1200(1+y)· a$,即$1200(1+y)^2=1500$.答:6月份每吨再生纸的利润是1500元.
(2)根据题意,得$1000(1+\frac{m}{2}\%)×500(1+m\%)=660000$.整理,得$m^2+300m-6400=0$，解得$m_1=20$,$m_2=-320$(不合题意,舍去).答:$m$的值为20.
(3)设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为y,5月份再生纸的产量为a吨.根据题意,得$1200(1+y)^2· a(1+y)=(1+25\%)×1200(1+y)· a$,即$1200(1+y)^2=1500$.答:6月份每吨再生纸的利润是1500元.
解析
【分析】
(1) 第一问属于和差倍分实际问题，先设3月份再生纸产量为未知数，根据“4月份产量=3月份产量的2倍减100吨”表示出4月份产量，再结合“3、4月总产量为800吨”列一元一次方程求解即可。
(2) 第二问是增长率类利润问题，核心等量关系为“月总利润=每吨利润×月产量”。先明确4月份的产量和每吨利润，再分别表示出5月份的产量、每吨利润，结合5月总利润66万元列一元二次方程求解，注意增长率不能为负，需舍去不合题意的根。
(3) 第三问涉及两个相同的增长率，解题时设4-6月每吨利润的月平均增长率为y，5月份产量为辅助未知数a，根据“6月份产量增长率也为y”分别表示出6月份的每吨利润和产量，再结合“6月总利润=5月总利润×(1+25%)”列方程，方程两边不为0的公共因式可直接约去，无需计算中间未知数即可得到6月份每吨利润。
【解析】
(1) 设3月份再生纸的产量为$x$吨，则4月份再生纸的产量为$(2x-100)$吨。
根据题意得：$x+2x-100=800$
解得$x=300$
$\therefore 2x-100=2×300-100=500$（吨）
(2) 由题意，5月份再生纸产量为$500(1+m\%)$吨，每吨利润为$1000(1+\frac{m}{2}\%)$元，66万元=660000元，列方程得：
$1000(1+\frac{m}{2}\%)×500(1+m\%)=660000$
整理得$m^2+300m-6400=0$
解得$m_1=20$，$m_2=-320$（增长率为负不符合实际，舍去）
$\therefore m=20$
(3) 设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为$y$，5月份再生纸的产量为$a$吨，则6月份每吨利润为$1200(1+y)^2$元，6月份产量为$a(1+y)$吨。
根据题意列方程：
$1200(1+y)^2·a(1+y)=(1+25\%)×1200(1+y)·a$
$\because a≠0$，$1+y≠0$，方程两边同时除以$1200a(1+y)$得$(1+y)^2=1.25$
$\therefore$6月份每吨利润为$1200(1+y)^2=1200×1.25=1500$（元）
【答案】
(1) 4月份再生纸的产量为500吨；(2) $m$的值为20；(3) 6月份每吨再生纸的利润是1500元
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 一元二次方程增长率问题
3. 利润问题计算
【点评】
本题结合绿色生产的实际场景考察方程的实际应用，题目设置层层递进，前两问较为基础，第三问通过设辅助未知数简化计算，重点考察对等量关系的梳理能力和灵活计算能力，解题时注意舍去不符合实际的解，无需计算的中间变量可直接约简提升解题效率。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问属于和差倍分实际问题，先设3月份再生纸产量为未知数，根据“4月份产量=3月份产量的2倍减100吨”表示出4月份产量，再结合“3、4月总产量为800吨”列一元一次方程求解即可。
(2) 第二问是增长率类利润问题，核心等量关系为“月总利润=每吨利润×月产量”。先明确4月份的产量和每吨利润，再分别表示出5月份的产量、每吨利润，结合5月总利润66万元列一元二次方程求解，注意增长率不能为负，需舍去不合题意的根。
(3) 第三问涉及两个相同的增长率，解题时设4-6月每吨利润的月平均增长率为y，5月份产量为辅助未知数a，根据“6月份产量增长率也为y”分别表示出6月份的每吨利润和产量，再结合“6月总利润=5月总利润×(1+25%)”列方程，方程两边不为0的公共因式可直接约去，无需计算中间未知数即可得到6月份每吨利润。
【解析】
(1) 设3月份再生纸的产量为$x$吨，则4月份再生纸的产量为$(2x-100)$吨。
根据题意得：$x+2x-100=800$
解得$x=300$
$\therefore 2x-100=2×300-100=500$（吨）
(2) 由题意，5月份再生纸产量为$500(1+m\%)$吨，每吨利润为$1000(1+\frac{m}{2}\%)$元，66万元=660000元，列方程得：
$1000(1+\frac{m}{2}\%)×500(1+m\%)=660000$
整理得$m^2+300m-6400=0$
解得$m_1=20$，$m_2=-320$（增长率为负不符合实际，舍去）
$\therefore m=20$
(3) 设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为$y$，5月份再生纸的产量为$a$吨，则6月份每吨利润为$1200(1+y)^2$元，6月份产量为$a(1+y)$吨。
根据题意列方程：
$1200(1+y)^2·a(1+y)=(1+25\%)×1200(1+y)·a$
$\because a≠0$，$1+y≠0$，方程两边同时除以$1200a(1+y)$得$(1+y)^2=1.25$
$\therefore$6月份每吨利润为$1200(1+y)^2=1200×1.25=1500$（元）
【答案】
(1) 4月份再生纸的产量为500吨；(2) $m$的值为20；(3) 6月份每吨再生纸的利润是1500元
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 一元二次方程增长率问题
3. 利润问题计算
【点评】
本题结合绿色生产的实际场景考察方程的实际应用，题目设置层层递进，前两问较为基础，第三问通过设辅助未知数简化计算，重点考察对等量关系的梳理能力和灵活计算能力，解题时注意舍去不符合实际的解，无需计算的中间变量可直接约简提升解题效率。
【难度系数】
0.6
