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1 下列各组数据均为三条线段的长，其中，不能构成直角三角形的一组是 （
A.0.3,0.4,0.5
B.$\frac{5}{2},6,\frac{13}{2}$
C.12,16,20
D.9,11,17
D
）A.0.3,0.4,0.5
B.$\frac{5}{2},6,\frac{13}{2}$
C.12,16,20
D.9,11,17
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三条线段能否构成直角三角形的核心思路如下：首先明确勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时对每个选项依次处理：①先找出每组线段中的最长边；②计算两条较短线段的平方和；③计算最长边的平方；④对比两个结果，若相等则能构成直角三角形，反之则不能。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 最长边为0.5，计算得：$0.3^2 + 0.4^2 = 0.09 + 0.16 = 0.25$，$0.5^2 = 0.25$，即$0.3^2+0.4^2=0.5^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
B. 最长边为$\frac{13}{2}$，计算得：$(\frac{5}{2})^2 + 6^2 = \frac{25}{4} + 36 = \frac{25}{4} + \frac{144}{4} = \frac{169}{4}$，$(\frac{13}{2})^2 = \frac{169}{4}$，即$(\frac{5}{2})^2 + 6^2 = (\frac{13}{2})^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
C. 最长边为20，计算得：$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$，$20^2 = 400$，即$12^2+16^2=20^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
D. 最长边为17，计算得：$9^2 + 11^2 = 81 + 121 = 202$，$17^2 = 289$，$202 ≠ 289$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 勾股定理的逆定理
2. 实数的平方运算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对勾股定理逆定理的理解与运用能力，解题时只需按步骤判断、准确计算平方即可得出结果，易错点是找错最长边或平方计算失误。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三条线段能否构成直角三角形的核心思路如下：首先明确勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时对每个选项依次处理：①先找出每组线段中的最长边；②计算两条较短线段的平方和；③计算最长边的平方；④对比两个结果，若相等则能构成直角三角形，反之则不能。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 最长边为0.5，计算得：$0.3^2 + 0.4^2 = 0.09 + 0.16 = 0.25$，$0.5^2 = 0.25$，即$0.3^2+0.4^2=0.5^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
B. 最长边为$\frac{13}{2}$，计算得：$(\frac{5}{2})^2 + 6^2 = \frac{25}{4} + 36 = \frac{25}{4} + \frac{144}{4} = \frac{169}{4}$，$(\frac{13}{2})^2 = \frac{169}{4}$，即$(\frac{5}{2})^2 + 6^2 = (\frac{13}{2})^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
C. 最长边为20，计算得：$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$，$20^2 = 400$，即$12^2+16^2=20^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
D. 最长边为17，计算得：$9^2 + 11^2 = 81 + 121 = 202$，$17^2 = 289$，$202 ≠ 289$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 勾股定理的逆定理
2. 实数的平方运算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对勾股定理逆定理的理解与运用能力，解题时只需按步骤判断、准确计算平方即可得出结果，易错点是找错最长边或平方计算失误。
【难度系数】
0.8
2 新情境 数学文化 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:有一块三角形沙田,三条边的长分别为5里、12里、13里,这块沙田的面积有多大?其中,1里=500米,则该沙田的面积为 (
A.7.5平方千米
B.15平方千米
C.75平方千米
D.750平方千米
A
)A.7.5平方千米
B.15平方千米
C.75平方千米
D.750平方千米
答案
2. A
解析
【分析】
拿到本题，首先观察给出的三角形三边长5里、12里、13里，可联想到常见勾股数，首先用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：若两条较短边的平方和等于最长边的平方，即可判定为直角三角形，直角边为两条较短边。确定三角形形状后，再结合长度单位换算规则，将边长单位统一换算为千米，最后用直角三角形面积公式计算面积，对应选项即可。
【解析】
步骤1：判断三角形形状
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，且两条直角边的长为5里、12里。
步骤2：单位换算
已知1里=500米=0.5千米，因此：
5里 = $5 × 0.5 = 2.5$ 千米
12里 = $12 × 0.5 = 6$ 千米
步骤3：计算三角形面积
直角三角形面积 = $\frac{1}{2} × 直角边 × 直角边 = \frac{1}{2} × 2.5 × 6 = 7.5$（平方千米）
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算；长度单位换算
【点评】
本题结合我国古代数学文化命题，考查勾股定理逆定理的实际应用，解题的核心是先判定三角形为直角三角形，需注意易错点为长度单位换算时容易出错，只要细心计算即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
拿到本题，首先观察给出的三角形三边长5里、12里、13里，可联想到常见勾股数，首先用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：若两条较短边的平方和等于最长边的平方，即可判定为直角三角形，直角边为两条较短边。确定三角形形状后，再结合长度单位换算规则，将边长单位统一换算为千米，最后用直角三角形面积公式计算面积，对应选项即可。
【解析】
步骤1：判断三角形形状
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，且两条直角边的长为5里、12里。
步骤2：单位换算
已知1里=500米=0.5千米，因此：
5里 = $5 × 0.5 = 2.5$ 千米
12里 = $12 × 0.5 = 6$ 千米
步骤3：计算三角形面积
直角三角形面积 = $\frac{1}{2} × 直角边 × 直角边 = \frac{1}{2} × 2.5 × 6 = 7.5$（平方千米）
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算；长度单位换算
【点评】
本题结合我国古代数学文化命题，考查勾股定理逆定理的实际应用，解题的核心是先判定三角形为直角三角形，需注意易错点为长度单位换算时容易出错，只要细心计算即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
3 在下列横线上填上一个数，使各组中的三个数成为勾股数.
(1) 6，
(2) 7，24，
(3) 8，
(4)
(1) 6，
8
，10；(2) 7，24，
25
；(3) 8，
15
，17；(4)
9
，40，41.答案
3. (1) 8 (2) 25 (3) 15 (4) 9
解析
【分析】
解题前首先明确勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数$a、b、c$称为勾股数，其中$c$为三个数中的最大边。解题时先判断每组已知的两个数是否包含最大边：若已知最大边，就用最大边的平方减去已知较小边的平方，再开算术平方根，结果需为正整数；若未知的是最大边，就将两个已知边的平方相加，再开算术平方根，结果为正整数即可。
【解析】
(1) 已知数中10是最大边，设空缺数为$x$（$x＜10$），根据勾股定理逆定理得：
$x^2 +6^2=10^2$
$x^2=100-36=64$
$x$为正整数，故$x=8$。
(2) 已知数7、24均小于空缺边，空缺边为最大边，设为$y$，得：
$y^2=7^2+24^2=49+576=625$
$y$为正整数，故$y=25$。
(3) 已知数中17是最大边，设空缺数为$z$（$z＜17$），得：
$z^2+8^2=17^2$
$z^2=289-64=225$
$z$为正整数，故$z=15$。
(4) 已知数中41是最大边，设空缺数为$m$（$m＜41$），得：
$m^2+40^2=41^2$
$m^2=1681-1600=81$
$m$为正整数，故$m=9$。
【答案】
(1) 8；(2) 25；(3) 15；(4) 9
【知识点】
1. 勾股数的定义；2. 勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础运算题，核心是牢记勾股数的两个判断条件：一是三个数均为正整数，二是满足两较小数的平方和等于最大数的平方，熟练记忆常见勾股数可显著提升解题速度。
【难度系数】
0.9
解题前首先明确勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数$a、b、c$称为勾股数，其中$c$为三个数中的最大边。解题时先判断每组已知的两个数是否包含最大边：若已知最大边，就用最大边的平方减去已知较小边的平方，再开算术平方根，结果需为正整数；若未知的是最大边，就将两个已知边的平方相加，再开算术平方根，结果为正整数即可。
【解析】
(1) 已知数中10是最大边，设空缺数为$x$（$x＜10$），根据勾股定理逆定理得：
$x^2 +6^2=10^2$
$x^2=100-36=64$
$x$为正整数，故$x=8$。
(2) 已知数7、24均小于空缺边，空缺边为最大边，设为$y$，得：
$y^2=7^2+24^2=49+576=625$
$y$为正整数，故$y=25$。
(3) 已知数中17是最大边，设空缺数为$z$（$z＜17$），得：
$z^2+8^2=17^2$
$z^2=289-64=225$
$z$为正整数，故$z=15$。
(4) 已知数中41是最大边，设空缺数为$m$（$m＜41$），得：
$m^2+40^2=41^2$
$m^2=1681-1600=81$
$m$为正整数，故$m=9$。
【答案】
(1) 8；(2) 25；(3) 15；(4) 9
【知识点】
1. 勾股数的定义；2. 勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础运算题，核心是牢记勾股数的两个判断条件：一是三个数均为正整数，二是满足两较小数的平方和等于最大数的平方，熟练记忆常见勾股数可显著提升解题速度。
【难度系数】
0.9
4 若三角形的三边长分别为3,4,5,则最长边上的中线长为
$\frac{5}{2}$
.答案
4. $\frac{5}{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察三角形的三边长，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：先计算较短两边的平方和，再和最长边的平方对比，若相等则该三角形为直角三角形，最长边为斜边。再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，即可快速求出最长边上的中线长度。
【解析】
解：
∵ 三角形的三边长分别为3，4，5
又
∵ $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2 = 25$
∴ $3^2 + 4^2 = 5^2$
根据勾股定理的逆定理可得，该三角形是直角三角形，且边长为5的边是斜边（即最长边）
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∴ 最长边上的中线长 = $\frac{1}{2} × 5 = \frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对勾股定理逆定理的运用以及直角三角形特殊性质的掌握，解题的关键是先通过三边长判定三角形为直角三角形，再代入性质计算即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察三角形的三边长，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：先计算较短两边的平方和，再和最长边的平方对比，若相等则该三角形为直角三角形，最长边为斜边。再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，即可快速求出最长边上的中线长度。
【解析】
解：
∵ 三角形的三边长分别为3，4，5
又
∵ $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2 = 25$
∴ $3^2 + 4^2 = 5^2$
根据勾股定理的逆定理可得，该三角形是直角三角形，且边长为5的边是斜边（即最长边）
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∴ 最长边上的中线长 = $\frac{1}{2} × 5 = \frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对勾股定理逆定理的运用以及直角三角形特殊性质的掌握，解题的关键是先通过三边长判定三角形为直角三角形，再代入性质计算即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
5 若一个三角形三边的长分别为15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高为
12
cm.答案
5. 12
解析
【分析】
已知三角形三边长度求最长边上的高，解题思路如下：第一步，先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：计算较短两边的平方和，与最长边的平方作比较，若相等则该三角形为直角三角形，且最长边为斜边；第二步，采用等面积法，分别用“直角边乘积的一半”和“斜边×斜边上的高的一半”表示三角形面积，两个面积相等即可列等式求出高。
【解析】
首先计算三边的平方：
$15^2 = 225$，$20^2 = 400$，$25^2 = 625$
因为$225 + 400 = 625$，即$15^2 + 20^2 = 25^2$，根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，且斜边长为25 cm（即最长边）。
设最长边上的高为$h$ cm，根据三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$
两边同时乘2消去分母得：$15 × 20 = 25h$
计算得：$300 = 25h$
解得：$h = 12$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是勾股定理逆定理的典型应用题型，解题核心是先判定三角形为直角三角形，再通过等面积法建立等量关系求解，掌握等面积法在直角三角形高的计算中的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.8
已知三角形三边长度求最长边上的高，解题思路如下：第一步，先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：计算较短两边的平方和，与最长边的平方作比较，若相等则该三角形为直角三角形，且最长边为斜边；第二步，采用等面积法，分别用“直角边乘积的一半”和“斜边×斜边上的高的一半”表示三角形面积，两个面积相等即可列等式求出高。
【解析】
首先计算三边的平方：
$15^2 = 225$，$20^2 = 400$，$25^2 = 625$
因为$225 + 400 = 625$，即$15^2 + 20^2 = 25^2$，根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，且斜边长为25 cm（即最长边）。
设最长边上的高为$h$ cm，根据三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$
两边同时乘2消去分母得：$15 × 20 = 25h$
计算得：$300 = 25h$
解得：$h = 12$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是勾股定理逆定理的典型应用题型，解题核心是先判定三角形为直角三角形，再通过等面积法建立等量关系求解，掌握等面积法在直角三角形高的计算中的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6 教材P96习题T1变式 已知$△ ABC$的三边长分别为$a=m^2 - n^2$，$b=2mn$，$c=m^2 + n^2$，其中，$m$，$n$是正整数，且$m＞n$.求证：$△ ABC$是直角三角形.
答案
6. $\because a^2=(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4,b^2=(2mn)^2=4m^2n^2,c^2=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4,\therefore a^2+b^2=m^4+2m^2n^2+n^4=c^2,\therefore △ ABC$是直角三角形
解析
【分析】
要证明三角形是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理：若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先根据已知条件确定三边中的最长边：因为m、n是正整数且m＞n，所以$c=m^2+n^2$是三边中最长的边，接下来分别计算$a^2$、$b^2$、$c^2$，验证$a^2+b^2$是否等于$c^2$即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because a^2=(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4$，
$b^2=(2mn)^2=4m^2n^2$，
$c^2=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$，
$\therefore a^2+b^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=c^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
【答案】
$\because a^2=(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4,b^2=(2mn)^2=4m^2n^2,c^2=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4,\therefore a^2+b^2=m^4+2m^2n^2+n^4=c^2,\therefore △ ABC$是直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理；完全平方公式；整式乘方运算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是先确定最长边，再通过整式运算验证三边的平方关系，计算过程中需注意完全平方公式的展开规则，避免符号或项数计算错误。
【难度系数】
0.8
要证明三角形是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理：若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先根据已知条件确定三边中的最长边：因为m、n是正整数且m＞n，所以$c=m^2+n^2$是三边中最长的边，接下来分别计算$a^2$、$b^2$、$c^2$，验证$a^2+b^2$是否等于$c^2$即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because a^2=(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4$，
$b^2=(2mn)^2=4m^2n^2$，
$c^2=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$，
$\therefore a^2+b^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=c^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
【答案】
$\because a^2=(m^2-n^2)^2=m^4-2m^2n^2+n^4,b^2=(2mn)^2=4m^2n^2,c^2=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4,\therefore a^2+b^2=m^4+2m^2n^2+n^4=c^2,\therefore △ ABC$是直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理；完全平方公式；整式乘方运算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是先确定最长边，再通过整式运算验证三边的平方关系，计算过程中需注意完全平方公式的展开规则，避免符号或项数计算错误。
【难度系数】
0.8
7 一题多解 如图，AD为$△ ABC$的中线，且$AC=13$，$BC=10$，$AD=12$，求$△ ABD$的周长. 
（第7题）
（第7题）答案
7. 解法一:$\because AD$为$△ ABC$的中线,$BC=10,\therefore BD=CD=5$.
$\because AC=13,AD=12,\therefore AD^2+CD^2=12^2+5^2=169,AC^2=13^2=169,\therefore AD^2+CD^2=AC^2,\therefore ∠ ADC=90°.\because ∠ ADC+∠ ADB=180°,\therefore ∠ ADB=90°,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中,$AD^2+BD^2=AB^2$,即 $12^2+5^2=AB^2,\therefore AB^2=169,\therefore AB=13$,
$\therefore △ ABD$ 的周长为 $5+12+13=30$
解法二:同解法一,得$∠ ADC=90°.\therefore AD$ 垂直平分 $BC$,
$\therefore AB=AC=13,\therefore △ ABD$ 的周长为 $5+12+13=30$
$\because AC=13,AD=12,\therefore AD^2+CD^2=12^2+5^2=169,AC^2=13^2=169,\therefore AD^2+CD^2=AC^2,\therefore ∠ ADC=90°.\because ∠ ADC+∠ ADB=180°,\therefore ∠ ADB=90°,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中,$AD^2+BD^2=AB^2$,即 $12^2+5^2=AB^2,\therefore AB^2=169,\therefore AB=13$,
$\therefore △ ABD$ 的周长为 $5+12+13=30$
解法二:同解法一,得$∠ ADC=90°.\therefore AD$ 垂直平分 $BC$,
$\therefore AB=AC=13,\therefore △ ABD$ 的周长为 $5+12+13=30$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①AD是△ABC的中线，BC=10，根据中线的定义可直接求出BD=CD=5；②接下来观察AD=12、CD=5、AC=13这三个长度，发现5、12、13是常见的勾股数，可尝试用勾股定理的逆定理判断△ADC的形状，若△ADC是直角三角形，就能得到∠ADC=90°，进而推出∠ADB=90°；③最后在Rt△ADB中，要么用勾股定理算出AB的长度，要么根据AD垂直平分BC得到AB=AC，再将AB、AD、BD的长度相加即可得到△ABD的周长。
【解析】
解法一：
∵AD为△ABC的中线，BC=10，
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$，
∵AD=12，AC=13，
∴$AD^2+CD^2=12^2+5^2=144+25=169$，$AC^2=13^2=169$，
∴$AD^2+CD^2=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：$∠ ADC=90°$，
∵$∠ ADC+∠ ADB=180°$，
∴$∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得：$AB^2=AD^2+BD^2=12^2+5^2=169$，
∴$AB=13$（边长为正，舍去负根），
∴△ABD的周长=$AB+BD+AD=13+5+12=30$。
解法二：
∵AD为△ABC的中线，BC=10，
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$，
∵AD=12，AC=13，
∴$AD^2+CD^2=12^2+5^2=169=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：$∠ ADC=90°$，即$AD⊥ BC$，
又
∵$BD=CD$，
∴AD垂直平分BC，
根据线段垂直平分线的性质可得：$AB=AC=13$，
∴△ABD的周长=$AB+BD+AD=13+5+12=30$。
【答案】
30
【知识点】
三角形中线的定义；勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题的突破口是先通过中线得到CD的长度，结合已知边长利用勾股逆定理判断出直角，再结合直角或垂直平分线的性质求AB的长度，熟练掌握常见勾股数能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①AD是△ABC的中线，BC=10，根据中线的定义可直接求出BD=CD=5；②接下来观察AD=12、CD=5、AC=13这三个长度，发现5、12、13是常见的勾股数，可尝试用勾股定理的逆定理判断△ADC的形状，若△ADC是直角三角形，就能得到∠ADC=90°，进而推出∠ADB=90°；③最后在Rt△ADB中，要么用勾股定理算出AB的长度，要么根据AD垂直平分BC得到AB=AC，再将AB、AD、BD的长度相加即可得到△ABD的周长。
【解析】
解法一：
∵AD为△ABC的中线，BC=10，
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$，
∵AD=12，AC=13，
∴$AD^2+CD^2=12^2+5^2=144+25=169$，$AC^2=13^2=169$，
∴$AD^2+CD^2=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：$∠ ADC=90°$，
∵$∠ ADC+∠ ADB=180°$，
∴$∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得：$AB^2=AD^2+BD^2=12^2+5^2=169$，
∴$AB=13$（边长为正，舍去负根），
∴△ABD的周长=$AB+BD+AD=13+5+12=30$。
解法二：
∵AD为△ABC的中线，BC=10，
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$，
∵AD=12，AC=13，
∴$AD^2+CD^2=12^2+5^2=169=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：$∠ ADC=90°$，即$AD⊥ BC$，
又
∵$BD=CD$，
∴AD垂直平分BC，
根据线段垂直平分线的性质可得：$AB=AC=13$，
∴△ABD的周长=$AB+BD+AD=13+5+12=30$。
【答案】
30
【知识点】
三角形中线的定义；勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题的突破口是先通过中线得到CD的长度，结合已知边长利用勾股逆定理判断出直角，再结合直角或垂直平分线的性质求AB的长度，熟练掌握常见勾股数能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
8 [2025吴江区段考]如图,在由相同的小正方形组成的网格中,每个小正方形的顶点称为格点,点A,B,C,D,M,N均在格点上.在点A,B,C,D中,能与点M,N构成一个直角三角形的是 (
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
D
)A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
8. D
解析
【分析】
要判断点A、B、C、D中哪个点能与M、N构成直角三角形，可通过勾股定理的逆定理验证。首先设每个小正方形的边长为1，先利用勾股定理算出线段MN长度的平方，再分别计算四个点与M、N连接后得到的另外两条线段长度的平方，最后验证三个平方数是否满足“两个较小平方数的和等于最大平方数”，满足则可构成直角三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算各线段长度的平方：
先算MN的长度平方：MN横向相差1格，纵向相差1格，因此$MN^2=1^2+1^2=2$。
逐一验证选项：
选项A：连接MA、NA，$MA^2=1^2=1$，$NA^2=1^2+2^2=5$，$1+2≠5$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形；
选项B：连接MB、NB，$MB^2=2^2+1^2=5$，$NB^2=1^2+2^2=5$，$2+5≠5$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形；
选项C：连接MC、NC，$MC^2=3^2=9$，$NC^2=2^2+1^2=5$，$2+5≠9$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形；
选项D：连接MD、ND，$MD^2=3^2+1^2=10$，$ND^2=2^2+2^2=8$，$2+8=10$，即$MN^2+ND^2=MD^2$，符合勾股定理逆定理，能构成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，网格线段长度计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的常见应用题型，解题时通过设单位长度，直接计算线段长度的平方进行验证，规避了开方运算，简化了计算步骤，核心是熟练掌握勾股定理及其逆定理的使用方法。
【难度系数】
0.7
要判断点A、B、C、D中哪个点能与M、N构成直角三角形，可通过勾股定理的逆定理验证。首先设每个小正方形的边长为1，先利用勾股定理算出线段MN长度的平方，再分别计算四个点与M、N连接后得到的另外两条线段长度的平方，最后验证三个平方数是否满足“两个较小平方数的和等于最大平方数”，满足则可构成直角三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算各线段长度的平方：
先算MN的长度平方：MN横向相差1格，纵向相差1格，因此$MN^2=1^2+1^2=2$。
逐一验证选项：
选项A：连接MA、NA，$MA^2=1^2=1$，$NA^2=1^2+2^2=5$，$1+2≠5$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形；
选项B：连接MB、NB，$MB^2=2^2+1^2=5$，$NB^2=1^2+2^2=5$，$2+5≠5$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形；
选项C：连接MC、NC，$MC^2=3^2=9$，$NC^2=2^2+1^2=5$，$2+5≠9$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形；
选项D：连接MD、ND，$MD^2=3^2+1^2=10$，$ND^2=2^2+2^2=8$，$2+8=10$，即$MN^2+ND^2=MD^2$，符合勾股定理逆定理，能构成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，网格线段长度计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的常见应用题型，解题时通过设单位长度，直接计算线段长度的平方进行验证，规避了开方运算，简化了计算步骤，核心是熟练掌握勾股定理及其逆定理的使用方法。
【难度系数】
0.7
