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6 [2025 青岛]如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成的，AF=a，BF=b，且a＞b。若正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为26和16，则$\frac{ab}{a+b}$的值为
$\frac{5}{6}$
。答案
6. $\frac{5}{6}$ 【解析】
∵ 正方形ABCD的面积为26,AF=a,BF=b,
∴ $AB^2=a^2+b^2=26$.
∵ 四个直角三角形全等,
∴ $AE=BF=b$,
∴ $EF=AF-AE=a-b$.
∵ 正方形EFGH的面积为16,
∴ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=16$,即$26-2ab=16$,
∴ $ab=5$,
∴ $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=16+4×5=36$,
∴ $a+b=6$(负值舍去),
∴ $\frac{ab}{a+b}=\frac{5}{6}$.
∵ 正方形ABCD的面积为26,AF=a,BF=b,
∴ $AB^2=a^2+b^2=26$.
∵ 四个直角三角形全等,
∴ $AE=BF=b$,
∴ $EF=AF-AE=a-b$.
∵ 正方形EFGH的面积为16,
∴ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=16$,即$26-2ab=16$,
∴ $ab=5$,
∴ $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=16+4×5=36$,
∴ $a+b=6$(负值舍去),
∴ $\frac{ab}{a+b}=\frac{5}{6}$.
解析
【分析】
本题是赵爽弦图的应用，解题思路可分为三步：第一步，根据大正方形的面积结合勾股定理，得到a、b的平方和；第二步，根据小正方形的边长是直角三角形两条直角边的差，结合小正方形面积，利用完全平方公式求出ab的值；第三步，再利用完全平方公式的变形求出a+b的值，最后代入所求代数式计算即可。
【解析】
∵ 正方形ABCD的面积为26，Rt△ABF中∠AFB=90°，AF=a，BF=b，
∴ 由勾股定理得：$AB^2=a^2+b^2=26$。
∵ 四个直角三角形全等，
∴ $AE=BF=b$，
∴ 小正方形EFGH的边长$EF=AF-AE=a-b$。
∵ 正方形EFGH的面积为16，
∴ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=16$，
将$a^2+b^2=26$代入得：$26-2ab=16$，解得$ab=5$。
由完全平方公式变形得：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，
代入数值计算：$(a+b)^2=16+4×5=36$，
∵ a、b均为线段长度，为正数，
∴ $a+b=6$（负值舍去），
∴ $\frac{ab}{a+b}=\frac{5}{6}$。
【答案】
$\frac{5}{6}$
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；正方形的性质
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为背景，将几何图形性质和代数公式变形相结合，解题的关键是梳理清楚两个正方形的边长与直角三角形两条直角边的数量关系，熟练运用完全平方公式的变形进行计算。
【难度系数】
0.7
本题是赵爽弦图的应用，解题思路可分为三步：第一步，根据大正方形的面积结合勾股定理，得到a、b的平方和；第二步，根据小正方形的边长是直角三角形两条直角边的差，结合小正方形面积，利用完全平方公式求出ab的值；第三步，再利用完全平方公式的变形求出a+b的值，最后代入所求代数式计算即可。
【解析】
∵ 正方形ABCD的面积为26，Rt△ABF中∠AFB=90°，AF=a，BF=b，
∴ 由勾股定理得：$AB^2=a^2+b^2=26$。
∵ 四个直角三角形全等，
∴ $AE=BF=b$，
∴ 小正方形EFGH的边长$EF=AF-AE=a-b$。
∵ 正方形EFGH的面积为16，
∴ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=16$，
将$a^2+b^2=26$代入得：$26-2ab=16$，解得$ab=5$。
由完全平方公式变形得：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，
代入数值计算：$(a+b)^2=16+4×5=36$，
∵ a、b均为线段长度，为正数，
∴ $a+b=6$（负值舍去），
∴ $\frac{ab}{a+b}=\frac{5}{6}$。
【答案】
$\frac{5}{6}$
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；正方形的性质
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为背景，将几何图形性质和代数公式变形相结合，解题的关键是梳理清楚两个正方形的边长与直角三角形两条直角边的数量关系，熟练运用完全平方公式的变形进行计算。
【难度系数】
0.7
7 已知直角三角形的三边长$a,b,c$满足$c＞a＞b$，分别以$a,b,c$为边长作三个正方形，如图，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，设三个正方形无重叠部分的面积为$S_{1}$，重叠部分的面积为$S_{2}$，则$S_{1}\_\_\_\_\_\_S_{2}$（填“＞”“＜”或“=”）。
答案
7. = 【解析】
∵ 直角三角形的三边长a,b,c满足c＞a＞b，
∴ 该直角三角形的斜边长为c,
∴ $c^2=a^2+b^2$,即$c^2-a^2-b^2=0$.根据题意,得$S_1=c^2-a^2-b^2+b(a+b-c)=ab+b^2-bc$，$S_2=b(a+b-c)=ab+b^2-bc$,
∴ $S_1=S_2$.
∵ 直角三角形的三边长a,b,c满足c＞a＞b，
∴ 该直角三角形的斜边长为c,
∴ $c^2=a^2+b^2$,即$c^2-a^2-b^2=0$.根据题意,得$S_1=c^2-a^2-b^2+b(a+b-c)=ab+b^2-bc$，$S_2=b(a+b-c)=ab+b^2-bc$,
∴ $S_1=S_2$.
解析
【分析】
解题时首先根据直角三角形的边长关系确定斜边为$c$，结合勾股定理可得三个正方形的面积关系：$c^2=a^2+b^2$。接下来需要分别表示出$S_1$和$S_2$的面积：先分析重叠部分$S_2$的形状，它是长方形，长为$b$，宽为两个小正方形边长和减去大正方形边长，即$a+b-c$，可先写出$S_2$的表达式；再分析无重叠部分$S_1$，结合大正方形、两个小正方形的面积关系，代入勾股定理的结论即可推导$S_1$和$S_2$的大小关系。
【解析】
∵ 直角三角形的三边长$a,b,c$满足$c＞a＞b$，
∴ 该直角三角形的斜边长为$c$，由勾股定理得$c^2=a^2+b^2$，即$c^2-a^2-b^2=0$。
观察图形可得，重叠部分$S_2$是长为$b$、宽为$(a+b-c)$的长方形，因此：
$S_2=b(a+b-c)=ab+b^2-bc$
无重叠部分$S_1$的面积可表示为大正方形面积减去两个小正方形面积后，加上重叠的对应部分面积，即：
$S_1=c^2-a^2-b^2+b(a+b-c)$
将$c^2-a^2-b^2=0$代入，得$S_1=ab+b^2-bc$，因此$S_1=S_2$。
【答案】
=
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；面积和差计算
【点评】
本题将勾股定理与图形面积计算相结合，解题的核心是先利用勾股定理明确三个正方形的面积关系，再通过分析图形的重叠、未重叠部分的面积构成完成推导，侧重考查学生的图形分析能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据直角三角形的边长关系确定斜边为$c$，结合勾股定理可得三个正方形的面积关系：$c^2=a^2+b^2$。接下来需要分别表示出$S_1$和$S_2$的面积：先分析重叠部分$S_2$的形状，它是长方形，长为$b$，宽为两个小正方形边长和减去大正方形边长，即$a+b-c$，可先写出$S_2$的表达式；再分析无重叠部分$S_1$，结合大正方形、两个小正方形的面积关系，代入勾股定理的结论即可推导$S_1$和$S_2$的大小关系。
【解析】
∵ 直角三角形的三边长$a,b,c$满足$c＞a＞b$，
∴ 该直角三角形的斜边长为$c$，由勾股定理得$c^2=a^2+b^2$，即$c^2-a^2-b^2=0$。
观察图形可得，重叠部分$S_2$是长为$b$、宽为$(a+b-c)$的长方形，因此：
$S_2=b(a+b-c)=ab+b^2-bc$
无重叠部分$S_1$的面积可表示为大正方形面积减去两个小正方形面积后，加上重叠的对应部分面积，即：
$S_1=c^2-a^2-b^2+b(a+b-c)$
将$c^2-a^2-b^2=0$代入，得$S_1=ab+b^2-bc$，因此$S_1=S_2$。
【答案】
=
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；面积和差计算
【点评】
本题将勾股定理与图形面积计算相结合，解题的核心是先利用勾股定理明确三个正方形的面积关系，再通过分析图形的重叠、未重叠部分的面积构成完成推导，侧重考查学生的图形分析能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.6
8 如图①所示为用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，如图②所示为以c为直角边长的等腰直角三角形。请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（不添加其他辅助线）。
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的示意图（不要求证明）。
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的示意图（不要求证明）。
答案
8.（1）如图①,是直角梯形 （2）
∵ $S_{梯形}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$,又
∵ $S_{梯形}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$,
∴ $\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$,即$a^2+b^2=c^2$ （3）能 答案不唯一,如图②所示
解析
【分析】
（1）拼接图形时，将两个全等直角三角形的直角边a、b放置在同一条直线上，使两个三角形的直角分别朝向两侧，中间刚好可放入以c为直角边的等腰直角三角形，即可得到拼接图形。
（2）证明勾股定理使用面积法，分别用两种不同方法计算拼接后图形的面积，令两个面积表达式相等，化简后即可得到勾股定理的结论。
（3）若使用多个图①的直角三角形，可将4个全等直角三角形拼接为边长为(a+b)的大正方形，中间留出边长为c的小正方形，即可得到另一种可证明勾股定理的图形。
【解析】
（1）拼接得到的图形为直角梯形，示意图见参考答案图①。
（2）证明过程：
首先计算直角梯形的面积，根据梯形面积公式，梯形的上底为a，下底为b，高为$(a+b)$，因此：
$S_{梯形}=\frac{1}{2}(上底+下底)×高=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$
同时，该梯形的面积等于内部三个三角形的面积之和：两个全等直角三角形的面积均为$\frac{1}{2}ab$，等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2}c^2$，因此：
$S_{梯形}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
因为两种方式计算的是同一个梯形的面积，所以两式相等：
$\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
等式两边同时乘2得：$(a+b)^2=2ab+c^2$
展开左边：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$
两边同时减去$2ab$，可得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
（3）能拼出其他可证明勾股定理的图形，示例见参考答案图②。
【答案】
（1）如图①，是直角梯形
（2）
∵ $S_{梯形}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$,又
∵ $S_{梯形}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$,
∴ $\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$,即$a^2+b^2=c^2$
（3）能 答案不唯一,如图②所示
【知识点】
勾股定理的证明；面积法计算面积；图形拼接
【点评】
本题是勾股定理证明的经典题型，通过动手拼接图形，利用“同一图形面积用不同方法计算结果相等”建立等量关系，既考查了图形操作能力，也考查了逻辑推导能力，帮助理解勾股定理的推导原理。
【难度系数】
0.7
（1）拼接图形时，将两个全等直角三角形的直角边a、b放置在同一条直线上，使两个三角形的直角分别朝向两侧，中间刚好可放入以c为直角边的等腰直角三角形，即可得到拼接图形。
（2）证明勾股定理使用面积法，分别用两种不同方法计算拼接后图形的面积，令两个面积表达式相等，化简后即可得到勾股定理的结论。
（3）若使用多个图①的直角三角形，可将4个全等直角三角形拼接为边长为(a+b)的大正方形，中间留出边长为c的小正方形，即可得到另一种可证明勾股定理的图形。
【解析】
（1）拼接得到的图形为直角梯形，示意图见参考答案图①。
（2）证明过程：
首先计算直角梯形的面积，根据梯形面积公式，梯形的上底为a，下底为b，高为$(a+b)$，因此：
$S_{梯形}=\frac{1}{2}(上底+下底)×高=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$
同时，该梯形的面积等于内部三个三角形的面积之和：两个全等直角三角形的面积均为$\frac{1}{2}ab$，等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2}c^2$，因此：
$S_{梯形}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
因为两种方式计算的是同一个梯形的面积，所以两式相等：
$\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
等式两边同时乘2得：$(a+b)^2=2ab+c^2$
展开左边：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$
两边同时减去$2ab$，可得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
（3）能拼出其他可证明勾股定理的图形，示例见参考答案图②。
【答案】
（1）如图①，是直角梯形
（2）
∵ $S_{梯形}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$,又
∵ $S_{梯形}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$,
∴ $\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$,即$a^2+b^2=c^2$
（3）能 答案不唯一,如图②所示
【知识点】
勾股定理的证明；面积法计算面积；图形拼接
【点评】
本题是勾股定理证明的经典题型，通过动手拼接图形，利用“同一图形面积用不同方法计算结果相等”建立等量关系，既考查了图形操作能力，也考查了逻辑推导能力，帮助理解勾股定理的推导原理。
【难度系数】
0.7
9 如图,在正方形网格中,小正方形的边长都为1,线段ED与AD的端点都在小正方形的顶点(称为格点)上.
(1) 以线段AD为边画正方形ABCD,再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF,其中,顶点F在正方形ABCD外;
(2) 在(1)中所画图形的基础上,以B为其中一个顶点画一个新正方形,使新正方形的面积为正方形ABCD与△DEF的面积之和,且其他顶点也在格点上;
(3) 试证明(2)中你所画的图形是正确的.
(1) 以线段AD为边画正方形ABCD,再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF,其中,顶点F在正方形ABCD外;
(2) 在(1)中所画图形的基础上,以B为其中一个顶点画一个新正方形,使新正方形的面积为正方形ABCD与△DEF的面积之和,且其他顶点也在格点上;
(3) 试证明(2)中你所画的图形是正确的.
答案
9.（1）如图,正方形ABCD,△DEF即为所求 （2）如图,正方形BKFG即为所求
（3）∵ $S_{正方形ABCD}=3×3=9$,$S_{△DEF}=\frac{1}{2}×2×1=1$,
∴ $S_{正方形ABCD}+S_{△DEF}=9+1=10$.
∵ $BK^2=BA^2+AK^2=3^2+1^2=10$,
∴ $S_{正方形BKFG}=BK^2=10$,
∴ 所画的图形是正确的
解析
【分析】
(1) 首先通过数格子确定AD长为3，要画以AD为边的正方形，可利用正方形邻边垂直且相等的性质：过A作AD的水平垂线，向左截取3个单位长度得到点B，过B作AB的垂线向上截取3个单位长度得到点C，连接CD即可得到正方形ABCD；再看DE长为2，要画以DE为斜边的等腰直角三角形，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，且直角顶点到D、E的距离相等，结合F在正方形外的要求，找到符合条件的格点F，连接DF、EF即可。
(2) 先计算已知图形的面积和：正方形ABCD面积为9，等腰直角△DEF面积为1，总和为10，因此新正方形的面积为10，边长为$\sqrt{10}$。根据勾股定理，直角边为1和3的直角三角形的斜边长为$\sqrt{10}$，因此以B为顶点，先找到长度为$\sqrt{10}$的格点线段作为新正方形的边，再依次作垂直且等长的线段，连接所有顶点即可得到符合要求的新正方形。
(3) 证明的核心是验证新正方形的面积等于两个已知图形的面积之和，只需利用勾股定理计算新正方形边长的平方，若结果为10即可证明作图正确。
【解析】
(1) 按上述分析的步骤作出正方形ABCD和等腰直角△DEF，满足顶点都在格点上，且F在正方形ABCD外；
(2) 先计算面积和确定新正方形边长为$\sqrt{10}$，再以B为顶点作出边长为$\sqrt{10}$、所有顶点都在格点上的正方形BKFG；
(3) 证明过程如下：
∵ 正方形ABCD的边长为3，$\therefore S_{正方形ABCD}=3×3=9$，
∵ △DEF是斜边长为2的等腰直角三角形，$\therefore S_{△DEF}=\frac{1}{2}×2×1=1$，
$\therefore S_{正方形ABCD}+S_{△DEF}=9+1=10$。
在Rt△ABK中，由勾股定理得：$BK^2=BA^2+AK^2=3^2+1^2=10$，
$\therefore S_{正方形BKFG}=BK^2=10$，即新正方形面积等于已知两图形面积之和，作图正确。
【答案】
（1）如图,正方形ABCD,△DEF即为所求 （2）如图,正方形BKFG即为所求 （3）
∵ $S_{正方形ABCD}=3×3=9$,$S_{△DEF}=\frac{1}{2}×2×1=1$,
∴ $S_{正方形ABCD}+S_{△DEF}=9+1=10$.
∵ $BK^2=BA^2+AK^2=3^2+1^2=10$,
∴ $S_{正方形BKFG}=BK^2=10$,
∴ 所画的图形是正确的
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将格点作图与勾股定理的应用结合，既考查了特殊图形的作图能力，又考查了利用勾股定理计算线段长度、图形面积的能力，解题的关键是结合勾股定理确定格点线段的长度。
【难度系数】
0.7
(1) 首先通过数格子确定AD长为3，要画以AD为边的正方形，可利用正方形邻边垂直且相等的性质：过A作AD的水平垂线，向左截取3个单位长度得到点B，过B作AB的垂线向上截取3个单位长度得到点C，连接CD即可得到正方形ABCD；再看DE长为2，要画以DE为斜边的等腰直角三角形，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，且直角顶点到D、E的距离相等，结合F在正方形外的要求，找到符合条件的格点F，连接DF、EF即可。
(2) 先计算已知图形的面积和：正方形ABCD面积为9，等腰直角△DEF面积为1，总和为10，因此新正方形的面积为10，边长为$\sqrt{10}$。根据勾股定理，直角边为1和3的直角三角形的斜边长为$\sqrt{10}$，因此以B为顶点，先找到长度为$\sqrt{10}$的格点线段作为新正方形的边，再依次作垂直且等长的线段，连接所有顶点即可得到符合要求的新正方形。
(3) 证明的核心是验证新正方形的面积等于两个已知图形的面积之和，只需利用勾股定理计算新正方形边长的平方，若结果为10即可证明作图正确。
【解析】
(1) 按上述分析的步骤作出正方形ABCD和等腰直角△DEF，满足顶点都在格点上，且F在正方形ABCD外；
(2) 先计算面积和确定新正方形边长为$\sqrt{10}$，再以B为顶点作出边长为$\sqrt{10}$、所有顶点都在格点上的正方形BKFG；
(3) 证明过程如下：
∵ 正方形ABCD的边长为3，$\therefore S_{正方形ABCD}=3×3=9$，
∵ △DEF是斜边长为2的等腰直角三角形，$\therefore S_{△DEF}=\frac{1}{2}×2×1=1$，
$\therefore S_{正方形ABCD}+S_{△DEF}=9+1=10$。
在Rt△ABK中，由勾股定理得：$BK^2=BA^2+AK^2=3^2+1^2=10$，
$\therefore S_{正方形BKFG}=BK^2=10$，即新正方形面积等于已知两图形面积之和，作图正确。
【答案】
（1）如图,正方形ABCD,△DEF即为所求 （2）如图,正方形BKFG即为所求
（3）∵ $S_{正方形ABCD}=3×3=9$,$S_{△DEF}=\frac{1}{2}×2×1=1$,
∴ $S_{正方形ABCD}+S_{△DEF}=9+1=10$.
∵ $BK^2=BA^2+AK^2=3^2+1^2=10$,
∴ $S_{正方形BKFG}=BK^2=10$,
∴ 所画的图形是正确的
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将格点作图与勾股定理的应用结合，既考查了特殊图形的作图能力，又考查了利用勾股定理计算线段长度、图形面积的能力，解题的关键是结合勾股定理确定格点线段的长度。
【难度系数】
0.7
