登录
1 [2024 眉山]如图①所示为在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角形拼成。若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形按如图②所示的方法摆放，则图②中大正方形的面积为 （
A.24
B.36
C.40
D.44
D
）A.24
B.36
C.40
D.44
答案
1. D 【解析】设题图中的直角三角形的两直角边的长分别为a,b(a＞b),斜边长为c.
∵ 题图①中大正方形的面积是24，
∴ $a^2+b^2=c^2=24$.
∵ 题图①中小正方形的面积是4，
∴ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=4$,
∴ $ab=10$,
∴ 题图②中大正方形的面积为 $c^2+4×\frac{1}{2}ab=24+2×10=44$.
∵ 题图①中大正方形的面积是24，
∴ $a^2+b^2=c^2=24$.
∵ 题图①中小正方形的面积是4，
∴ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=4$,
∴ $ab=10$,
∴ 题图②中大正方形的面积为 $c^2+4×\frac{1}{2}ab=24+2×10=44$.
解析
【分析】
解题时先设全等直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，斜边为c。首先从图①的已知条件入手：大正方形的边长是直角三角形的斜边，因此大正方形面积对应$c^2$，结合勾股定理可得$a^2+b^2$的值；小正方形的边长为两直角边的差$a-b$，因此小正方形面积对应$(a-b)^2$，展开后代入$a^2+b^2$的值即可求出ab的乘积。再分析图②的大正方形：其边长为两直角边的和$a+b$，面积可表示为$(a+b)^2$，展开后代入已求的$a^2+b^2$和ab的值即可算出结果。
【解析】
设全等直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边长为c。
1. 由图①可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边c，已知大正方形面积为24，根据勾股定理得：
$a^2 + b^2 = c^2 = 24$
2. 图①中小正方形的边长为$a-b$，已知小正方形面积为4，因此：
$(a-b)^2 = 4$
将完全平方公式展开得：$a^2 - 2ab + b^2 =4$
把$a^2 + b^2=24$代入上式：$24 - 2ab =4$，解得$2ab=20$，即$ab=10$。
3. 观察图②，大正方形的边长为$a+b$，因此其面积为：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2 + b^2=24$、$2ab=20$代入得：
$(a+b)^2=24 +20=44$
【答案】D
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查数形结合思想的应用，需要结合图形特征转化出对应的代数关系式，通过勾股定理和完全平方公式的联动运算求解，能很好地考查几何图形分析和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时先设全等直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，斜边为c。首先从图①的已知条件入手：大正方形的边长是直角三角形的斜边，因此大正方形面积对应$c^2$，结合勾股定理可得$a^2+b^2$的值；小正方形的边长为两直角边的差$a-b$，因此小正方形面积对应$(a-b)^2$，展开后代入$a^2+b^2$的值即可求出ab的乘积。再分析图②的大正方形：其边长为两直角边的和$a+b$，面积可表示为$(a+b)^2$，展开后代入已求的$a^2+b^2$和ab的值即可算出结果。
【解析】
设全等直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边长为c。
1. 由图①可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边c，已知大正方形面积为24，根据勾股定理得：
$a^2 + b^2 = c^2 = 24$
2. 图①中小正方形的边长为$a-b$，已知小正方形面积为4，因此：
$(a-b)^2 = 4$
将完全平方公式展开得：$a^2 - 2ab + b^2 =4$
把$a^2 + b^2=24$代入上式：$24 - 2ab =4$，解得$2ab=20$，即$ab=10$。
3. 观察图②，大正方形的边长为$a+b$，因此其面积为：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2 + b^2=24$、$2ab=20$代入得：
$(a+b)^2=24 +20=44$
【答案】D
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查数形结合思想的应用，需要结合图形特征转化出对应的代数关系式，通过勾股定理和完全平方公式的联动运算求解，能很好地考查几何图形分析和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
2 [2024大庆改编]如图所示为一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积为
10
.答案
2. 10
解析
【分析】
本题可利用勾股定理的几何意义求解：在直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。首先计算正方形A、B的面积和，得到二者下方直角三角形斜边对应的正方形面积；再计算正方形C、D的面积和，得到二者下方直角三角形斜边对应的正方形面积；最后将这两个中间正方形的面积相加，即可得到最大正方形E的面积。
【解析】
根据勾股定理的几何意义：
1. 正方形A、B的面积和等于其下方直角三角形斜边对应的正方形面积，即$S_1 = S_A + S_B = 2 + 5 = 7$；
2. 正方形C、D的面积和等于其下方直角三角形斜边对应的正方形面积，即$S_2 = S_C + S_D = 1 + 2 = 3$；
3. 上述两个中间正方形的面积和等于最大正方形E的面积，即$S_E = S_1 + S_2 = 7 + 3 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何应用的典型题型，以勾股树为载体，考察学生对勾股定理本质的理解，解题关键是明确直角三角形三边对应的正方形面积的等量关系，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
本题可利用勾股定理的几何意义求解：在直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。首先计算正方形A、B的面积和，得到二者下方直角三角形斜边对应的正方形面积；再计算正方形C、D的面积和，得到二者下方直角三角形斜边对应的正方形面积；最后将这两个中间正方形的面积相加，即可得到最大正方形E的面积。
【解析】
根据勾股定理的几何意义：
1. 正方形A、B的面积和等于其下方直角三角形斜边对应的正方形面积，即$S_1 = S_A + S_B = 2 + 5 = 7$；
2. 正方形C、D的面积和等于其下方直角三角形斜边对应的正方形面积，即$S_2 = S_C + S_D = 1 + 2 = 3$；
3. 上述两个中间正方形的面积和等于最大正方形E的面积，即$S_E = S_1 + S_2 = 7 + 3 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何应用的典型题型，以勾股树为载体，考察学生对勾股定理本质的理解，解题关键是明确直角三角形三边对应的正方形面积的等量关系，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
3 [2025西宁改编]如图所示为“赵爽弦图”，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF，△BCG，△CDH，△DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2，DE=8，则AB的长为
10
.答案
3. 10
解析
【分析】
解题时首先结合赵爽弦图的结构特征分析：图形由4个全等的直角三角形和1个中间的小正方形组成。第一步先利用全等三角形的性质，得到直角三角形的长直角边长度等于DE=8；第二步结合小正方形边长EF=2，推出直角三角形的短直角边长度为长直角边减去小正方形边长，即8-2=6；最后AB是直角三角形的斜边，直接用勾股定理计算即可。
【解析】
解：
∵△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形
∴AF=DE=8，BF=AE
∵四边形EFGH是正方形，EF=2
∴BF=AE=AF-EF=8-2=6
在Rt△ABF中，根据勾股定理：
$AB^2=AF^2+BF^2=8^2+6^2=64+36=100$
∵AB为边长，长度为正
∴$AB=\sqrt{100}=10$
【答案】
10
【知识点】
全等三角形的性质、正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为命题背景，属于勾股定理相关的基础应用题，解题核心是通过全等和正方形的性质确定直角三角形的两条直角边长度，再结合勾股定理求斜边，能很好地考查学生对几何图形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合赵爽弦图的结构特征分析：图形由4个全等的直角三角形和1个中间的小正方形组成。第一步先利用全等三角形的性质，得到直角三角形的长直角边长度等于DE=8；第二步结合小正方形边长EF=2，推出直角三角形的短直角边长度为长直角边减去小正方形边长，即8-2=6；最后AB是直角三角形的斜边，直接用勾股定理计算即可。
【解析】
解：
∵△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形
∴AF=DE=8，BF=AE
∵四边形EFGH是正方形，EF=2
∴BF=AE=AF-EF=8-2=6
在Rt△ABF中，根据勾股定理：
$AB^2=AF^2+BF^2=8^2+6^2=64+36=100$
∵AB为边长，长度为正
∴$AB=\sqrt{100}=10$
【答案】
10
【知识点】
全等三角形的性质、正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为命题背景，属于勾股定理相关的基础应用题，解题核心是通过全等和正方形的性质确定直角三角形的两条直角边长度，再结合勾股定理求斜边，能很好地考查学生对几何图形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
4（1）如图①所示的图形是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的长之和是5，求中间小正方形的面积.
（2）现有一张长为6.5、宽为2的长方形纸片，如图②，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形（要求：先在图②中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）.
（2）现有一张长为6.5、宽为2的长方形纸片，如图②，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形（要求：先在图②中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）.
答案
4.（1）设直角三角形的两条直角边的长分别为a,b(a＞b).由题意，得$\begin{cases}a+b=5,\\a^2+b^2=13,\end{cases}$
∴ $(a+b)^2=25=a^2+b^2+2ab$,
∴ $ab=6$,
∴ $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=1$,
∴ 中间小正方形的面积为$(a-b)^2=1$ （2）如图所示(画分割线不唯一)
解析
【分析】
（1）要计算中间小正方形的面积，观察图形可知小正方形的边长等于直角三角形两条直角边的差，因此只需计算两条直角边差的平方即可。已知两直角边的和为5，大正方形面积为13，由勾股定理可得两直角边的平方和等于大正方形的面积，结合完全平方公式先求出两直角边的乘积，再推导两直角边差的平方，即可得到小正方形的面积。
（2）首先计算长方形的面积，可知拼成的正方形面积与长方形面积相等，由此求出正方形的边长。结合（1）的结论可知，正方形边长是直角边为3和2的直角三角形的斜边，因此可参照赵爽弦图的结构对长方形进行分割，得到4个符合要求的直角三角形和1个小正方形，拼合后得到目标正方形。
【解析】
（1）设直角三角形的两条直角边的长分别为$a,b(a＞b)$。
由题意得：$\begin{cases}a+b=5\\a^2+b^2=13\end{cases}$
对$a+b=5$两边平方，得$(a+b)^2=25$，展开得$a^2+2ab+b^2=25$。
将$a^2+b^2=13$代入上式，得$13+2ab=25$，解得$ab=6$。
小正方形的边长为$a-b$，因此小正方形的面积为：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=25-4×6=1$
（2）先计算长方形面积：$6.5×2=13$，因此拼合后的正方形面积为13，边长为$\sqrt{13}$。将长为6.5的边分为3、3、0.5三段，沿分割线得到2个长3宽2的长方形、1个长0.5宽2的小长方形；把2个长3宽2的长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角边为3和2的直角三角形；再把长0.5宽2的小长方形分割拼合成边长为1的小正方形，将4个直角三角形的斜边作为正方形的边，中间放入边长为1的小正方形，即可得到目标正方形。
【答案】
（1）$\boxed{1}$
（2）如图所示(画分割线不唯一)
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，图形剪拼
【点评】
本题将代数运算与几何操作相结合，既考查了完全平方公式和勾股定理的综合运用，又考查了空间想象和动手操作能力，两问前后关联性强，可借助第一问的结论快速找到第二问的剪拼思路。
【难度系数】
0.7
（1）要计算中间小正方形的面积，观察图形可知小正方形的边长等于直角三角形两条直角边的差，因此只需计算两条直角边差的平方即可。已知两直角边的和为5，大正方形面积为13，由勾股定理可得两直角边的平方和等于大正方形的面积，结合完全平方公式先求出两直角边的乘积，再推导两直角边差的平方，即可得到小正方形的面积。
（2）首先计算长方形的面积，可知拼成的正方形面积与长方形面积相等，由此求出正方形的边长。结合（1）的结论可知，正方形边长是直角边为3和2的直角三角形的斜边，因此可参照赵爽弦图的结构对长方形进行分割，得到4个符合要求的直角三角形和1个小正方形，拼合后得到目标正方形。
【解析】
（1）设直角三角形的两条直角边的长分别为$a,b(a＞b)$。
由题意得：$\begin{cases}a+b=5\\a^2+b^2=13\end{cases}$
对$a+b=5$两边平方，得$(a+b)^2=25$，展开得$a^2+2ab+b^2=25$。
将$a^2+b^2=13$代入上式，得$13+2ab=25$，解得$ab=6$。
小正方形的边长为$a-b$，因此小正方形的面积为：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=25-4×6=1$
（2）先计算长方形面积：$6.5×2=13$，因此拼合后的正方形面积为13，边长为$\sqrt{13}$。将长为6.5的边分为3、3、0.5三段，沿分割线得到2个长3宽2的长方形、1个长0.5宽2的小长方形；把2个长3宽2的长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角边为3和2的直角三角形；再把长0.5宽2的小长方形分割拼合成边长为1的小正方形，将4个直角三角形的斜边作为正方形的边，中间放入边长为1的小正方形，即可得到目标正方形。
【答案】
（1）$\boxed{1}$
（2）如图所示(画分割线不唯一)
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，图形剪拼
【点评】
本题将代数运算与几何操作相结合，既考查了完全平方公式和勾股定理的综合运用，又考查了空间想象和动手操作能力，两问前后关联性强，可借助第一问的结论快速找到第二问的剪拼思路。
【难度系数】
0.7
5 如图，小明用4个全等且面积为6的直角三角形和1个小正方形刚好拼成一个面积为25的大正方形，则每个直角三角形的周长为 （
A.6
B.12
C.13
D.25
B
）A.6
B.12
C.13
D.25
答案
5. B 【解析】设直角三角形直角边的长分别a,b(a＞b),斜边长为c.根据题意,得$c^2=a^2+b^2=25$,$4×\frac{1}{2}ab=4×6=24$,即$2ab=24$,
∴ $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=25+24=49$,$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=25-24=1$,
∴ $\begin{cases}a+b=7,\\a-b=1,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}a=4,\\b=3.\end{cases}$
∵ $c=\sqrt{25}=5$,
∴ 每个直角三角形的周长为$5+4+3=12$.
∴ $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=25+24=49$,$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=25-24=1$,
∴ $\begin{cases}a+b=7,\\a-b=1,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}a=4,\\b=3.\end{cases}$
∵ $c=\sqrt{25}=5$,
∴ 每个直角三角形的周长为$5+4+3=12$.
解析
【分析】
要计算直角三角形的周长，需先确定它的两条直角边长和斜边长。首先，大正方形的边长等于直角三角形的斜边，由大正方形面积可得斜边平方（即勾股定理中$a^2+b^2$）的值；其次，根据单个直角三角形的面积可得到两条直角边乘积的关系式；最后利用完全平方公式，将$a^2+b^2$与$ab$的值结合，求出两条直角边的和，相加斜边即可得到周长。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
1. 已知大正方形面积为25，可得$c^2=a^2+b^2=25$，因此$c=\sqrt{25}=5$（边长为正数，取正根）。
2. 已知每个直角三角形面积为6，可得$\frac{1}{2}ab=6$，整理得$2ab=24$。
3. 根据完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a^2+b^2=25$、$2ab=24$，得$(a+b)^2=25+24=49$，因此$a+b=7$（边长为正数，取正根）。
4. 直角三角形的周长为$a+b+c=7+5=12$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，结合几何面积关系和代数公式解题，核心是通过图形的面积特征挖掘边长的数量关系，巧用完全平方公式可简化运算，无需单独求解两条直角边即可得到边长和。
【难度系数】
0.7
要计算直角三角形的周长，需先确定它的两条直角边长和斜边长。首先，大正方形的边长等于直角三角形的斜边，由大正方形面积可得斜边平方（即勾股定理中$a^2+b^2$）的值；其次，根据单个直角三角形的面积可得到两条直角边乘积的关系式；最后利用完全平方公式，将$a^2+b^2$与$ab$的值结合，求出两条直角边的和，相加斜边即可得到周长。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
1. 已知大正方形面积为25，可得$c^2=a^2+b^2=25$，因此$c=\sqrt{25}=5$（边长为正数，取正根）。
2. 已知每个直角三角形面积为6，可得$\frac{1}{2}ab=6$，整理得$2ab=24$。
3. 根据完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a^2+b^2=25$、$2ab=24$，得$(a+b)^2=25+24=49$，因此$a+b=7$（边长为正数，取正根）。
4. 直角三角形的周长为$a+b+c=7+5=12$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，结合几何面积关系和代数公式解题，核心是通过图形的面积特征挖掘边长的数量关系，巧用完全平方公式可简化运算，无需单独求解两条直角边即可得到边长和。
【难度系数】
0.7
