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8 [2025苏州改编]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=40\ \mathrm{m}$,$BC=30\ \mathrm{m}$.若直线$BD$平分$△ ABC$的面积,点$D$在边$AC$上,则线段$BD$的长为 (
A.$23\ \mathrm{m}$
B.$25\ \mathrm{m}$
C.$28\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{120}{5}\ \mathrm{m}$
(第8题)
B
)A.$23\ \mathrm{m}$
B.$25\ \mathrm{m}$
C.$28\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{120}{5}\ \mathrm{m}$
(第8题)答案
8. B
9 数形结合思想 [2025 苏州工业园区期中]如图,在$△ ABC$中,$AC⊥ BC$,AC边在数轴上,点A表示的数为1,点C表示的数为2,BC的长为2个单位长度,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,与数轴交于点D,点D在点A的左侧,则点D表示的数为 (
A.$-1-\sqrt{3}$
B.$1-\sqrt{3}$
C.$-1-\sqrt{5}$
D.$1-\sqrt{5}$
D
)A.$-1-\sqrt{3}$
B.$1-\sqrt{3}$
C.$-1-\sqrt{5}$
D.$1-\sqrt{5}$
答案
9. D
10 [2025 苏州工业园区期中]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$DE$垂直平分斜边$AC$,交$AB$于点$D$,$E$为垂足,连接$CD$.若$BD=1$,$BC=\sqrt{3}$,则$AC^2$的值是（
A.12
B.32
C.48
D.16
A
）A.12
B.32
C.48
D.16
答案
10. A
11 如图，在$△ ABC$中，按尺规作图的痕迹作直线$MN$，交边$AB$于点$E$.若$AC=5$，$BE=4$，$∠ B=45°$，则$AB$的长为________.
答案
11. 7
12 [2024 陕西]如图,在网格中,每个小正方形的边长均为 1,$△ ABC$ 和$△ DFE$ 的顶点都在格点上. 求证:$∠ ABC=∠ EFD$.
答案
12. 由题意,易得$AB^2=EF^2=1^2+2^2=5, AC^2=ED^2=1^2+3^2=10, BC^2=FD^2=1^2+4^2=17. \therefore AB=EF, AC=ED, BC=FD$. 在$△ ABC$ 和$△ EFD$ 中,
$\begin{cases} AB=EF, \\ BC=FD, \\ AC=ED, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EFD$(SSS), $\therefore ∠ ABC=∠ EFD$
$\begin{cases} AB=EF, \\ BC=FD, \\ AC=ED, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EFD$(SSS), $\therefore ∠ ABC=∠ EFD$
13 方程思想 如图，将长方形ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处。若点E在边AB上，AB=3，BC=5，求AE的长。
答案
13. $\because$ 四边形$ABCD$ 是长方形, $\therefore ∠ A=∠ D=90°, CD=AB=3, AD=BC=5$. $\because CE$ 是折痕, $\therefore FC=BC=5, EF=BE$. $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ CDF$ 中, $DF^2+CD^2=FC^2, \therefore DF^2=FC^2-CD^2=5^2-3^2=16, \therefore DF=4, \therefore AF=AD-DF=1$. 设$AE=x$, 则$BE=EF=3-x$. $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ AEF$ 中, $EF^2=AE^2+AF^2$,
$\therefore (3-x)^2=x^2+1^2$, 解得$x=\frac{4}{3}, \therefore AE=\frac{4}{3}$
$\therefore (3-x)^2=x^2+1^2$, 解得$x=\frac{4}{3}, \therefore AE=\frac{4}{3}$
