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8 [2025苏州改编]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=40\ \mathrm{m}$,$BC=30\ \mathrm{m}$.若直线$BD$平分$△ ABC$的面积,点$D$在边$AC$上,则线段$BD$的长为 (
A.$23\ \mathrm{m}$
B.$25\ \mathrm{m}$
C.$28\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{120}{5}\ \mathrm{m}$
(第8题)
B
)A.$23\ \mathrm{m}$
B.$25\ \mathrm{m}$
C.$28\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{120}{5}\ \mathrm{m}$
(第8题)答案
8. B
解析
【分析】
要使BD平分△ABC的面积，且D在AC上，△ABD和△CBD以AD、DC为底时高相同（均为点B到AC的距离），根据三角形面积公式，面积相等则底相等，可推出D是AC的中点。接下来利用勾股定理求出Rt△ABC斜边AC的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出BD的长。
【解析】
1. 计算斜边AC的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=40\ \mathrm{m}$，$BC=30\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50\ \mathrm{m}$
2. 确定点D的位置：
∵ BD平分$△ ABC$的面积，$△ ABD$与$△ CBD$同高，
∴ 两三角形底相等，即$AD=DC$，D为AC的中点。
3. 计算BD的长度：
根据直角三角形斜边中线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此：
$BD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×50=25\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题解题的核心是通过面积相等的条件推导出D是AC的中点，再结合直角三角形的特殊性质快速求解，很好地融合了三角形面积与直角三角形的基础知识点，解题时避免了不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.7
要使BD平分△ABC的面积，且D在AC上，△ABD和△CBD以AD、DC为底时高相同（均为点B到AC的距离），根据三角形面积公式，面积相等则底相等，可推出D是AC的中点。接下来利用勾股定理求出Rt△ABC斜边AC的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出BD的长。
【解析】
1. 计算斜边AC的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=40\ \mathrm{m}$，$BC=30\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50\ \mathrm{m}$
2. 确定点D的位置：
∵ BD平分$△ ABC$的面积，$△ ABD$与$△ CBD$同高，
∴ 两三角形底相等，即$AD=DC$，D为AC的中点。
3. 计算BD的长度：
根据直角三角形斜边中线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此：
$BD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×50=25\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题解题的核心是通过面积相等的条件推导出D是AC的中点，再结合直角三角形的特殊性质快速求解，很好地融合了三角形面积与直角三角形的基础知识点，解题时避免了不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.7
9 数形结合思想 [2025 苏州工业园区期中]如图,在$△ ABC$中,$AC⊥ BC$,AC边在数轴上,点A表示的数为1,点C表示的数为2,BC的长为2个单位长度,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,与数轴交于点D,点D在点A的左侧,则点D表示的数为 (
A.$-1-\sqrt{3}$
B.$1-\sqrt{3}$
C.$-1-\sqrt{5}$
D.$1-\sqrt{5}$
D
)A.$-1-\sqrt{3}$
B.$1-\sqrt{3}$
C.$-1-\sqrt{5}$
D.$1-\sqrt{5}$
答案
9. D
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据数轴上点A、C的位置求出线段AC的长度；再结合AC⊥BC的条件，可知△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出斜边AB的长度；接着根据圆的性质，半径相等可得AD=AB；最后结合点D在点A左侧的位置特征，用点A表示的数减去AD的长度，即可得到点D表示的数。
【解析】
第一步：计算AC的长度
已知点A表示的数为1，点C表示的数为2，因此$AC=2-1=1$。
第二步：利用勾股定理求AB的长度
∵$AC⊥BC$，
∴$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
根据勾股定理：$AB^2=AC^2+BC^2$，代入$AC=1$，$BC=2$得：
$AB^2=1^2+2^2=1+4=5$，
∴$AB=\sqrt{5}$（线段长度为正，舍去负根）。
第三步：求点D表示的数
∵以A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于D，
∴$AD=AB=\sqrt{5}$。
又
∵点D在点A左侧，点A表示的数为1，
∴点D表示的数为$1-\sqrt{5}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；数轴的应用；圆的半径相等
【点评】
本题是数形结合的典型习题，将数轴实数表示与几何计算结合，解题核心是先通过勾股定理求出半径长度，再结合数轴上点的位置特征计算对应数值，注重基础应用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据数轴上点A、C的位置求出线段AC的长度；再结合AC⊥BC的条件，可知△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出斜边AB的长度；接着根据圆的性质，半径相等可得AD=AB；最后结合点D在点A左侧的位置特征，用点A表示的数减去AD的长度，即可得到点D表示的数。
【解析】
第一步：计算AC的长度
已知点A表示的数为1，点C表示的数为2，因此$AC=2-1=1$。
第二步：利用勾股定理求AB的长度
∵$AC⊥BC$，
∴$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
根据勾股定理：$AB^2=AC^2+BC^2$，代入$AC=1$，$BC=2$得：
$AB^2=1^2+2^2=1+4=5$，
∴$AB=\sqrt{5}$（线段长度为正，舍去负根）。
第三步：求点D表示的数
∵以A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于D，
∴$AD=AB=\sqrt{5}$。
又
∵点D在点A左侧，点A表示的数为1，
∴点D表示的数为$1-\sqrt{5}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；数轴的应用；圆的半径相等
【点评】
本题是数形结合的典型习题，将数轴实数表示与几何计算结合，解题核心是先通过勾股定理求出半径长度，再结合数轴上点的位置特征计算对应数值，注重基础应用。
【难度系数】
0.7
10 [2025 苏州工业园区期中]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$DE$垂直平分斜边$AC$,交$AB$于点$D$,$E$为垂足,连接$CD$.若$BD=1$,$BC=\sqrt{3}$,则$AC^2$的值是（
A.12
B.32
C.48
D.16
A
）A.12
B.32
C.48
D.16
答案
10. A
解析
【分析】
解题时先观察题干条件：首先看到DE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质可得CD=AD；其次△BCD是直角三角形，可先用勾股定理求出CD的长度，即可得到AD的长度，进而求出AB的总长度；最后在大的Rt△ABC中再次运用勾股定理即可求出AC²的值。
【解析】
解：
∵ ∠B=90°，BD=1，BC=√3
∴ 在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CD^2 = BC^2 + BD^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$
∴ CD=2（线段长度为正）
∵ DE垂直平分AC，点D在DE上
∴ CD=AD = 2
∴ AB = BD + AD = 1 + 2 = 3
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = BC^2 + AB^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 = 3 + 9 = 12$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础的几何综合计算题，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到相等线段，再结合勾股定理分步计算，解题思路清晰，逻辑连贯。
【难度系数】
0.7
解题时先观察题干条件：首先看到DE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质可得CD=AD；其次△BCD是直角三角形，可先用勾股定理求出CD的长度，即可得到AD的长度，进而求出AB的总长度；最后在大的Rt△ABC中再次运用勾股定理即可求出AC²的值。
【解析】
解：
∵ ∠B=90°，BD=1，BC=√3
∴ 在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CD^2 = BC^2 + BD^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$
∴ CD=2（线段长度为正）
∵ DE垂直平分AC，点D在DE上
∴ CD=AD = 2
∴ AB = BD + AD = 1 + 2 = 3
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = BC^2 + AB^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 = 3 + 9 = 12$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础的几何综合计算题，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到相等线段，再结合勾股定理分步计算，解题思路清晰，逻辑连贯。
【难度系数】
0.7
11 如图，在$△ ABC$中，按尺规作图的痕迹作直线$MN$，交边$AB$于点$E$.若$AC=5$，$BE=4$，$∠ B=45°$，则$AB$的长为________.
答案
11. 7
解析
【分析】
首先识别尺规作图痕迹，判断直线MN是线段BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得EC=BE=4；结合∠B=45°，可推出△BEC是等腰直角三角形，得到∠AEC=90°；再在Rt△AEC中利用勾股定理求出AE的长度，最后根据AB=AE+BE即可求出AB的长。
【解析】
由尺规作图的痕迹可知，直线MN是线段BC的垂直平分线。
∵点E在MN上，
∴EC=BE=4。
∵∠B=45°，
∴∠ECB=∠B=45°，
∴∠BEC=180°-∠B-∠ECB=180°-45°-45°=90°，
∴∠AEC=180°-∠BEC=90°，即△AEC是直角三角形。
在Rt△AEC中，AC=5，EC=4，根据勾股定理：
$AE=\sqrt{AC^2-EC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$，
∴$AB=AE+BE=3+4=7$。
【答案】
7
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合了尺规作图识别、几何性质与勾股定理的应用，解题的关键是先判断出MN为BC的垂直平分线，再逐步推导得到直角三角形，结合勾股定理计算线段长度，是几何基础综合类题目。
【难度系数】
0.7
首先识别尺规作图痕迹，判断直线MN是线段BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得EC=BE=4；结合∠B=45°，可推出△BEC是等腰直角三角形，得到∠AEC=90°；再在Rt△AEC中利用勾股定理求出AE的长度，最后根据AB=AE+BE即可求出AB的长。
【解析】
由尺规作图的痕迹可知，直线MN是线段BC的垂直平分线。
∵点E在MN上，
∴EC=BE=4。
∵∠B=45°，
∴∠ECB=∠B=45°，
∴∠BEC=180°-∠B-∠ECB=180°-45°-45°=90°，
∴∠AEC=180°-∠BEC=90°，即△AEC是直角三角形。
在Rt△AEC中，AC=5，EC=4，根据勾股定理：
$AE=\sqrt{AC^2-EC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$，
∴$AB=AE+BE=3+4=7$。
【答案】
7
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合了尺规作图识别、几何性质与勾股定理的应用，解题的关键是先判断出MN为BC的垂直平分线，再逐步推导得到直角三角形，结合勾股定理计算线段长度，是几何基础综合类题目。
【难度系数】
0.7
12 [2024 陕西]如图,在网格中,每个小正方形的边长均为 1,$△ ABC$ 和$△ DFE$ 的顶点都在格点上. 求证:$∠ ABC=∠ EFD$.
答案
12. 由题意,易得$AB^2=EF^2=1^2+2^2=5, AC^2=ED^2=1^2+3^2=10, BC^2=FD^2=1^2+4^2=17. \therefore AB=EF, AC=ED, BC=FD$. 在$△ ABC$ 和$△ EFD$ 中,
$\begin{cases} AB=EF, \\ BC=FD, \\ AC=ED, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EFD$(SSS), $\therefore ∠ ABC=∠ EFD$
$\begin{cases} AB=EF, \\ BC=FD, \\ AC=ED, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EFD$(SSS), $\therefore ∠ ABC=∠ EFD$
解析
【分析】
要证明∠ABC=∠EFD，可通过证明两角所在的三角形全等来推导，全等三角形的对应角相等。观察图形可知两个三角形的顶点都在格点上，每个小正方形边长为1，因此可以先利用勾股定理计算出△ABC和△EFD各边的长度，再验证两个三角形的三边是否对应相等，若满足SSS全等判定条件，即可证明两三角形全等，进而得到对应角相等的结论。
【解析】
由勾股定理计算各边长度：
$AB^2=1^2+2^2=5$，$EF^2=1^2+2^2=5$，因此$AB=EF$；
$AC^2=1^2+3^2=10$，$ED^2=1^2+3^2=10$，因此$AC=ED$；
$BC^2=1^2+4^2=17$，$FD^2=1^2+4^2=17$，因此$BC=FD$。
在$△ ABC$和$△ EFD$中：
$\begin{cases}AB=EF \\BC=FD \\AC=ED\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EFD \mathrm{(SSS)}$
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ ABC=∠ EFD$。
【答案】
由题意,易得$AB^2=EF^2=1^2+2^2=5, AC^2=ED^2=1^2+3^2=10, BC^2=FD^2=1^2+4^2=17. \therefore AB=EF, AC=ED, BC=FD$. 在$△ ABC$ 和$△ EFD$ 中,
$\begin{cases} AB=EF, \\ BC=FD, \\ AC=ED, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EFD$(SSS), $\therefore ∠ ABC=∠ EFD$
【知识点】
勾股定理；全等三角形的SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合网格背景考查勾股定理及全等三角形的相关知识，解题关键是准确计算格点三角形的各边长度，借助三边对应相等判定三角形全等，进而得到对应角相等，属于基础类证明题，侧重对基础方法的掌握和应用。
【难度系数】
0.7
要证明∠ABC=∠EFD，可通过证明两角所在的三角形全等来推导，全等三角形的对应角相等。观察图形可知两个三角形的顶点都在格点上，每个小正方形边长为1，因此可以先利用勾股定理计算出△ABC和△EFD各边的长度，再验证两个三角形的三边是否对应相等，若满足SSS全等判定条件，即可证明两三角形全等，进而得到对应角相等的结论。
【解析】
由勾股定理计算各边长度：
$AB^2=1^2+2^2=5$，$EF^2=1^2+2^2=5$，因此$AB=EF$；
$AC^2=1^2+3^2=10$，$ED^2=1^2+3^2=10$，因此$AC=ED$；
$BC^2=1^2+4^2=17$，$FD^2=1^2+4^2=17$，因此$BC=FD$。
在$△ ABC$和$△ EFD$中：
$\begin{cases}AB=EF \\BC=FD \\AC=ED\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EFD \mathrm{(SSS)}$
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ ABC=∠ EFD$。
【答案】
由题意,易得$AB^2=EF^2=1^2+2^2=5, AC^2=ED^2=1^2+3^2=10, BC^2=FD^2=1^2+4^2=17. \therefore AB=EF, AC=ED, BC=FD$. 在$△ ABC$ 和$△ EFD$ 中,
$\begin{cases} AB=EF, \\ BC=FD, \\ AC=ED, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EFD$(SSS), $\therefore ∠ ABC=∠ EFD$
【知识点】
勾股定理；全等三角形的SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合网格背景考查勾股定理及全等三角形的相关知识，解题关键是准确计算格点三角形的各边长度，借助三边对应相等判定三角形全等，进而得到对应角相等，属于基础类证明题，侧重对基础方法的掌握和应用。
【难度系数】
0.7
13 方程思想 如图，将长方形ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处。若点E在边AB上，AB=3，BC=5，求AE的长。
答案
13. $\because$ 四边形$ABCD$ 是长方形, $\therefore ∠ A=∠ D=90°, CD=AB=3, AD=BC=5$. $\because CE$ 是折痕, $\therefore FC=BC=5, EF=BE$. $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ CDF$ 中, $DF^2+CD^2=FC^2, \therefore DF^2=FC^2-CD^2=5^2-3^2=16, \therefore DF=4, \therefore AF=AD-DF=1$. 设$AE=x$, 则$BE=EF=3-x$. $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ AEF$ 中, $EF^2=AE^2+AF^2$,
$\therefore (3-x)^2=x^2+1^2$, 解得$x=\frac{4}{3}, \therefore AE=\frac{4}{3}$
$\therefore (3-x)^2=x^2+1^2$, 解得$x=\frac{4}{3}, \therefore AE=\frac{4}{3}$
解析
【分析】
解题时首先利用长方形的性质得到各边长度和直角条件，再根据折叠的性质得出相等线段FC=BC、EF=BE；先在Rt△CDF中用勾股定理求出DF的长度，进而得到AF的长度；最后设AE的长为x，将Rt△AEF的各边用含x的式子表示，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$ 是长方形,
$\therefore ∠ A=∠ D=90°, CD=AB=3, AD=BC=5$.
$\because CE$ 是折痕，折叠后点B落在F处,
$\therefore FC=BC=5, EF=BE$.
在$\mathrm{Rt}△ CDF$ 中, 由勾股定理得$DF^2+CD^2=FC^2$,
$\therefore DF^2=FC^2-CD^2=5^2-3^2=16$,
$\therefore DF=4$,
$\therefore AF=AD-DF=5-4=1$.
设$AE=x$, 则$BE=EF=3-x$.
在$\mathrm{Rt}△ AEF$ 中, 由勾股定理得$EF^2=AE^2+AF^2$,
$\therefore (3-x)^2=x^2+1^2$,
展开化简得$9-6x=1$,
解得$x=\frac{4}{3}$.
【答案】
$AE=\frac{4}{3}$
【知识点】
长方形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何折叠类的常规计算题，将折叠性质与勾股定理结合，运用方程思想求解未知线段长度，解题的关键是找准折叠前后相等的线段，再结合直角三角形的勾股定理建立等量关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用长方形的性质得到各边长度和直角条件，再根据折叠的性质得出相等线段FC=BC、EF=BE；先在Rt△CDF中用勾股定理求出DF的长度，进而得到AF的长度；最后设AE的长为x，将Rt△AEF的各边用含x的式子表示，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$ 是长方形,
$\therefore ∠ A=∠ D=90°, CD=AB=3, AD=BC=5$.
$\because CE$ 是折痕，折叠后点B落在F处,
$\therefore FC=BC=5, EF=BE$.
在$\mathrm{Rt}△ CDF$ 中, 由勾股定理得$DF^2+CD^2=FC^2$,
$\therefore DF^2=FC^2-CD^2=5^2-3^2=16$,
$\therefore DF=4$,
$\therefore AF=AD-DF=5-4=1$.
设$AE=x$, 则$BE=EF=3-x$.
在$\mathrm{Rt}△ AEF$ 中, 由勾股定理得$EF^2=AE^2+AF^2$,
$\therefore (3-x)^2=x^2+1^2$,
展开化简得$9-6x=1$,
解得$x=\frac{4}{3}$.
【答案】
$AE=\frac{4}{3}$
【知识点】
长方形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何折叠类的常规计算题，将折叠性质与勾股定理结合，运用方程思想求解未知线段长度，解题的关键是找准折叠前后相等的线段，再结合直角三角形的勾股定理建立等量关系。
【难度系数】
0.7
