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9 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形的顶点上,线段AB,CD交于点F.若$∠ CFB=α$,则$∠ ABE$的度数为 (
A.$180° -α$
B.$180° -2α$
C.$90° +α$
D.$90° +2α$
C
)A.$180° -α$
B.$180° -2α$
C.$90° +α$
D.$90° +2α$
答案
9. C 【解析】如图,过点 B 作 $BG// CD$,连接 EG. 由 $BG// CD$,得$∠ ABG=∠ CFB=α$. 根据勾股定理,得 $BG^2=17,BE^2=17,EG^2=34$, 则 $BG^2 + BE^2 = EG^2,\therefore ∠ GBE = 90°$,
$\therefore ∠ ABE=∠ GBE+∠ ABG=90°+α$.
解析
【分析】
要求∠ABE的度数，已知∠CFB=α，可先通过作平行线将已知角α转移到与∠ABE相关的位置：过点B作BG//CD，根据平行线的同位角相等性质，可得∠ABG=∠CFB=α，接下来只需计算∠GBE的度数即可。结合网格特点，我们可以通过勾股定理计算BG、BE、EG的长度的平方，再利用勾股定理的逆定理判断△GBE是否为直角三角形，若能得到∠GBE=90°，即可求出∠ABE的度数。
【解析】
如图，过点B作$BG// CD$，连接EG。
∵ $BG// CD$，根据两直线平行，同位角相等，得$∠ABG=∠CFB=α$。
根据勾股定理计算各边长度的平方：
$BG^2=1^2+4^2=17$，$BE^2=1^2+4^2=17$，$EG^2=3^2+5^2=34$，
∴ $BG^2 + BE^2 = 17+17=34=EG^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ GBE$是直角三角形，且$∠GBE = 90°$，
∴ $∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题以正方形网格为载体，综合考查了平行线的性质、勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是通过作平行线实现已知角的转移，再结合网格特征用勾股逆定理判定直角三角形，对学生的辅助线构造能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求∠ABE的度数，已知∠CFB=α，可先通过作平行线将已知角α转移到与∠ABE相关的位置：过点B作BG//CD，根据平行线的同位角相等性质，可得∠ABG=∠CFB=α，接下来只需计算∠GBE的度数即可。结合网格特点，我们可以通过勾股定理计算BG、BE、EG的长度的平方，再利用勾股定理的逆定理判断△GBE是否为直角三角形，若能得到∠GBE=90°，即可求出∠ABE的度数。
【解析】
如图，过点B作$BG// CD$，连接EG。
∵ $BG// CD$，根据两直线平行，同位角相等，得$∠ABG=∠CFB=α$。
根据勾股定理计算各边长度的平方：
$BG^2=1^2+4^2=17$，$BE^2=1^2+4^2=17$，$EG^2=3^2+5^2=34$，
∴ $BG^2 + BE^2 = 17+17=34=EG^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ GBE$是直角三角形，且$∠GBE = 90°$，
∴ $∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题以正方形网格为载体，综合考查了平行线的性质、勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是通过作平行线实现已知角的转移，再结合网格特征用勾股逆定理判定直角三角形，对学生的辅助线构造能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10 如图，在$△ ABC$中，$AB=10$，$AC=8$，$BC=6$，$DE$是$AC$的垂直平分线，$DE$交$AB$于点$D$，连接$CD$，则$CD$的长为
5
。答案
10. 5
解析
【分析】
首先观察△ABC的三边长，可先通过勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，得到∠ACB为直角；再结合DE是AC垂直平分线的性质，可得AD=CD，进而通过角度互余的关系推导得到CD=BD，即可得出CD是直角三角形斜边AB的中线，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AC=8，BC=6，AB=10
∴$AC^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100$，$AB^2=10^2=100$
∴$AC^2+BC^2=AB^2$
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$
∴$∠ A+∠ B=90°$，$∠ ACD+∠ BCD=90°$
∵DE是AC的垂直平分线
∴$AD=CD$
∴$∠ A=∠ ACD$
∴$∠ B=∠ BCD$（等角的余角相等）
∴$CD=BD$
∴$AD=BD=CD$，即CD是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AB的中线
∴$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先判定三角形为直角三角形，再结合垂直平分线的性质和角度关系推导出CD为斜边中线，熟练掌握相关基础性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
首先观察△ABC的三边长，可先通过勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，得到∠ACB为直角；再结合DE是AC垂直平分线的性质，可得AD=CD，进而通过角度互余的关系推导得到CD=BD，即可得出CD是直角三角形斜边AB的中线，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AC=8，BC=6，AB=10
∴$AC^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100$，$AB^2=10^2=100$
∴$AC^2+BC^2=AB^2$
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$
∴$∠ A+∠ B=90°$，$∠ ACD+∠ BCD=90°$
∵DE是AC的垂直平分线
∴$AD=CD$
∴$∠ A=∠ ACD$
∴$∠ B=∠ BCD$（等角的余角相等）
∴$CD=BD$
∴$AD=BD=CD$，即CD是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AB的中线
∴$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先判定三角形为直角三角形，再结合垂直平分线的性质和角度关系推导出CD为斜边中线，熟练掌握相关基础性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
11 新情境 数学文化 [2025 扬州]清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:① 3,4,5;② 5,12,13;③ 7,24,25;④ 9,40,41;….根据上述规律，第⑤组勾股数为
11,60,61
.答案
11. 11,60,61 【解析】通过观察,根据前 4 组勾股数的规律,可设第⑤组勾股数为 $11,x,x+1$,由 $11^2+x^2=(x+1)^2$,得 $x=60$,因此第⑤组勾股数为 11,60,61.
解析
【分析】
先观察给出的4组勾股数的特征：首先每组第一个数依次是3、5、7、9，为连续的奇数，相邻两组的第一个数相差2，由此可推出第⑤组勾股数的第一个数是11；再看每组的后两个数，均为相差1的正整数，且最大的数为斜边。因此我们可以设第⑤组勾股数的第二个数为x，第三个数为x+1，再根据勾股定理列方程求解即可得到x的值，进而得到完整的第⑤组勾股数。
【解析】
步骤1：确定第⑤组勾股数的第一个数
观察前4组勾股数的第一个数：3，5，7，9，是从3开始的连续奇数，每一组比前一组大2，因此第⑤组勾股数的第一个数为$9+2=11$。
步骤2：分析后两个数的关系
观察每组后两个数：4和5、12和13、24和25、40和41，均为相差1的正整数，且较大数为斜边。设第⑤组勾股数的第二个数为$x$，则第三个数为$x+1$。
步骤3：根据勾股定理列方程求解
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$11^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开等号右侧得：$121 + x^2 = x^2 + 2x + 1$
两边同时消去$x^2$得：$121 = 2x + 1$
移项计算得：$2x = 120$，解得$x=60$
则第三个数为$60+1=61$。
【答案】
11,60,61
【知识点】
1. 勾股数的概念
2. 勾股定理
3. 数字规律探究
【点评】
本题结合中国传统数学文化考查规律探究与勾股定理的应用，解题核心是先从已知勾股数中总结数字变化的共同特征，再利用勾股定理建立方程求解，既考查了知识应用能力，也能让学生了解我国古代数学的研究成果。
【难度系数】
0.8
先观察给出的4组勾股数的特征：首先每组第一个数依次是3、5、7、9，为连续的奇数，相邻两组的第一个数相差2，由此可推出第⑤组勾股数的第一个数是11；再看每组的后两个数，均为相差1的正整数，且最大的数为斜边。因此我们可以设第⑤组勾股数的第二个数为x，第三个数为x+1，再根据勾股定理列方程求解即可得到x的值，进而得到完整的第⑤组勾股数。
【解析】
步骤1：确定第⑤组勾股数的第一个数
观察前4组勾股数的第一个数：3，5，7，9，是从3开始的连续奇数，每一组比前一组大2，因此第⑤组勾股数的第一个数为$9+2=11$。
步骤2：分析后两个数的关系
观察每组后两个数：4和5、12和13、24和25、40和41，均为相差1的正整数，且较大数为斜边。设第⑤组勾股数的第二个数为$x$，则第三个数为$x+1$。
步骤3：根据勾股定理列方程求解
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$11^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开等号右侧得：$121 + x^2 = x^2 + 2x + 1$
两边同时消去$x^2$得：$121 = 2x + 1$
移项计算得：$2x = 120$，解得$x=60$
则第三个数为$60+1=61$。
【答案】
11,60,61
【知识点】
1. 勾股数的概念
2. 勾股定理
3. 数字规律探究
【点评】
本题结合中国传统数学文化考查规律探究与勾股定理的应用，解题核心是先从已知勾股数中总结数字变化的共同特征，再利用勾股定理建立方程求解，既考查了知识应用能力，也能让学生了解我国古代数学的研究成果。
【难度系数】
0.8
12 [2025苏州工业园区段考]如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=16，CD=15，AD=9，AC⊥BC。求AC的长和四边形ABCD的面积。
答案
12. $\because AC⊥ BC,\therefore △ ABC$ 是直角三角形. $\because AB=20,BC=16,\therefore AC = \sqrt{AB^2-BC^2} = \sqrt{20^2-16^2} = 12. \because CD = 15,AD=9,\therefore CD^2 = AC^2 + AD^2,\therefore △ ACD$ 是直角三角形,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· BC+\frac{1}{2}AC· AD=\frac{1}{2}×12×16+\frac{1}{2}×12×9=150,\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积为 150
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· BC+\frac{1}{2}AC· AD=\frac{1}{2}×12×16+\frac{1}{2}×12×9=150,\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积为 150
解析
【分析】
解题时先看已知条件，AC⊥BC说明△ABC是直角三角形，已知该直角三角形的斜边AB和直角边BC的长度，可直接用勾股定理求出AC的长度；得到AC的长度后，观察△ACD的三边长，通过勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形，四边形ABCD的面积就可以转化为两个直角三角形的面积之和计算。
【解析】
解：$\because AC⊥ BC$，$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=20$，$BC=16$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2-BC^2} = \sqrt{20^2-16^2} = \sqrt{400-256} = \sqrt{144}=12$。
在$△ ACD$中，$AD=9$，$AC=12$，$CD=15$，
$\because AD^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225$，$CD^2=15^2=225$，
$\therefore AD^2+AC^2=CD^2$，
$\therefore △ ACD$是直角三角形，且$∠ CAD=90°$。
$\therefore$ 四边形ABCD的面积为两个直角三角形的面积和：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× BC+\frac{1}{2}× AC× AD$
$=\frac{1}{2}×12×16+\frac{1}{2}×12×9=96+54=150$。
【答案】
AC的长为12，四边形ABCD的面积为150
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型综合应用题，解题核心是将不规则四边形的面积转化为两个直角三角形的面积和求解，注意要先通过逆定理验证△ACD为直角三角形，再计算其面积，不要直接默认其为直角三角形。
【难度系数】
0.7
解题时先看已知条件，AC⊥BC说明△ABC是直角三角形，已知该直角三角形的斜边AB和直角边BC的长度，可直接用勾股定理求出AC的长度；得到AC的长度后，观察△ACD的三边长，通过勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形，四边形ABCD的面积就可以转化为两个直角三角形的面积之和计算。
【解析】
解：$\because AC⊥ BC$，$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=20$，$BC=16$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2-BC^2} = \sqrt{20^2-16^2} = \sqrt{400-256} = \sqrt{144}=12$。
在$△ ACD$中，$AD=9$，$AC=12$，$CD=15$，
$\because AD^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225$，$CD^2=15^2=225$，
$\therefore AD^2+AC^2=CD^2$，
$\therefore △ ACD$是直角三角形，且$∠ CAD=90°$。
$\therefore$ 四边形ABCD的面积为两个直角三角形的面积和：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× BC+\frac{1}{2}× AC× AD$
$=\frac{1}{2}×12×16+\frac{1}{2}×12×9=96+54=150$。
【答案】
AC的长为12，四边形ABCD的面积为150
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型综合应用题，解题核心是将不规则四边形的面积转化为两个直角三角形的面积和求解，注意要先通过逆定理验证△ACD为直角三角形，再计算其面积，不要直接默认其为直角三角形。
【难度系数】
0.7
13 如图，P 是等边三角形ABC内的一点，PA=6，PB=8，PC=10.若P'是△ABC外的一点，且△P'AB≌△PAC，求点P与点P'之间的距离及∠APB的度数.
答案
13. 如图,连接 $PP'$. $\because △ P'AB ≌ △ PAC,\therefore ∠ BAP' = ∠ CAP,AP'=AP=6,P'B=PC=10. \because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ BAC= ∠ CAP + ∠ PAB = 60°,\therefore ∠ P'AP=∠ BAP'+∠ PAB=60°,\therefore △ P'AP$ 是等边三角形, $\therefore AP=AP'=P'P=6,∠ APP'=60°,\therefore$ 点 $P$ 与点 $P'$ 之间的距离为 6.
$\because P'P^2+PB^2=6^2+8^2=100,P'B^2=10^2=100,\therefore P'P^2+PB^2 = P'B^2,\therefore ∠ P'PB = 90°,\therefore ∠ APB = ∠ P'PB+∠ APP'=90°+60°=150°$
解析
【分析】
解题时首先连接辅助线$PP'$，结合已知的$△ P'AB ≌ △ PAC$，可得到对应边、对应角相等的关系；再利用等边三角形$ABC$的内角为$60°$，推导$∠ P'AP$的度数，判断$△ P'AP$的形状即可求出$P$与$P'$的距离；最后结合给出的三条线段长度，利用勾股定理的逆定理判断$△ P'PB$的形状，即可求出$∠ APB$的度数。
【解析】
连接$PP'$.
$\because △ P'AB ≌ △ PAC$，$\therefore ∠ BAP' = ∠ CAP$，$AP'=AP=6$，$P'B=PC=10$.
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ BAC= ∠ CAP + ∠ PAB = 60°$，
$\therefore ∠ P'AP=∠ BAP'+∠PAB=∠CAP + ∠PAB = 60°$，
$\therefore △ P'AP$是等边三角形，
$\therefore AP=AP'=P'P=6$，$∠ APP'=60°$，即点$P$与点$P'$之间的距离为6。
$\because P'P^2+PB^2=6^2+8^2=100$，$P'B^2=10^2=100$，
$\therefore P'P^2+PB^2 = P'B^2$，
$\therefore △ P'PB$为直角三角形，$∠ P'PB = 90°$，
$\therefore ∠ APB = ∠ P'PB+∠ APP'=90°+60°=150°$。
【答案】
点P与点P'之间的距离为$\boldsymbol{6}$，$∠ APB$的度数为$\boldsymbol{150°}$。
【知识点】
全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是几何综合类典型题型，解题核心是通过作辅助线构造特殊三角形，将分散的边长条件集中到同一个三角形中，结合特殊三角形的性质与勾股定理逆定理求解，能够较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先连接辅助线$PP'$，结合已知的$△ P'AB ≌ △ PAC$，可得到对应边、对应角相等的关系；再利用等边三角形$ABC$的内角为$60°$，推导$∠ P'AP$的度数，判断$△ P'AP$的形状即可求出$P$与$P'$的距离；最后结合给出的三条线段长度，利用勾股定理的逆定理判断$△ P'PB$的形状，即可求出$∠ APB$的度数。
【解析】
连接$PP'$.
$\because △ P'AB ≌ △ PAC$，$\therefore ∠ BAP' = ∠ CAP$，$AP'=AP=6$，$P'B=PC=10$.
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ BAC= ∠ CAP + ∠ PAB = 60°$，
$\therefore ∠ P'AP=∠ BAP'+∠PAB=∠CAP + ∠PAB = 60°$，
$\therefore △ P'AP$是等边三角形，
$\therefore AP=AP'=P'P=6$，$∠ APP'=60°$，即点$P$与点$P'$之间的距离为6。
$\because P'P^2+PB^2=6^2+8^2=100$，$P'B^2=10^2=100$，
$\therefore P'P^2+PB^2 = P'B^2$，
$\therefore △ P'PB$为直角三角形，$∠ P'PB = 90°$，
$\therefore ∠ APB = ∠ P'PB+∠ APP'=90°+60°=150°$。
【答案】
点P与点P'之间的距离为$\boldsymbol{6}$，$∠ APB$的度数为$\boldsymbol{150°}$。
【知识点】
全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是几何综合类典型题型，解题核心是通过作辅助线构造特殊三角形，将分散的边长条件集中到同一个三角形中，结合特殊三角形的性质与勾股定理逆定理求解，能够较好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
