9 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形的顶点上,线段AB,CD交于点F.若$∠ CFB=α$,则$∠ ABE$的度数为 ()

A.$180° -α$
B.$180° -2α$
C.$90° +α$
D.$90° +2α$

9. C 【解析】如图,过点 B 作 $BG// CD$,连接 EG. 由 $BG// CD$,得$∠ ABG=∠ CFB=α$. 根据勾股定理,得 $BG^2=17,BE^2=17,EG^2=34$, 则 $BG^2 + BE^2 = EG^2,\therefore ∠ GBE = 90°$,
$\therefore ∠ ABE=∠ GBE+∠ ABG=90°+α$.

10 如图，在$△ ABC$中，$AB=10$，$AC=8$，$BC=6$，$DE$是$AC$的垂直平分线，$DE$交$AB$于点$D$，连接$CD$，则$CD$的长为。

10. 5

11 新情境 数学文化 [2025 扬州]清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:① 3,4,5;② 5,12,13;③ 7,24,25;④ 9,40,41;….根据上述规律，第⑤组勾股数为.

11. 11,60,61 【解析】通过观察,根据前 4 组勾股数的规律,可设第⑤组勾股数为 $11,x,x+1$,由 $11^2+x^2=(x+1)^2$,得 $x=60$,因此第⑤组勾股数为 11,60,61.

12 [2025苏州工业园区段考]如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=16，CD=15，AD=9，AC⊥BC。求AC的长和四边形ABCD的面积。

12. $\because AC⊥ BC,\therefore △ ABC$ 是直角三角形. $\because AB=20,BC=16,\therefore AC = \sqrt{AB^2-BC^2} = \sqrt{20^2-16^2} = 12. \because CD = 15,AD=9,\therefore CD^2 = AC^2 + AD^2,\therefore △ ACD$ 是直角三角形,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· BC+\frac{1}{2}AC· AD=\frac{1}{2}×12×16+\frac{1}{2}×12×9=150,\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积为 150

13 如图，P 是等边三角形ABC内的一点，PA=6，PB=8，PC=10.若P'是△ABC外的一点，且△P'AB≌△PAC，求点P与点P'之间的距离及∠APB的度数.

13. 如图,连接 $PP'$. $\because △ P'AB ≌ △ PAC,\therefore ∠ BAP' = ∠ CAP,AP'=AP=6,P'B=PC=10. \because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ BAC= ∠ CAP + ∠ PAB = 60°,\therefore ∠ P'AP=∠ BAP'+∠ PAB=60°,\therefore △ P'AP$ 是等边三角形, $\therefore AP=AP'=P'P=6,∠ APP'=60°,\therefore$ 点 $P$ 与点 $P'$ 之间的距离为 6.
$\because P'P^2+PB^2=6^2+8^2=100,P'B^2=10^2=100,\therefore P'P^2+PB^2 = P'B^2,\therefore ∠ P'PB = 90°,\therefore ∠ APB = ∠ P'PB+∠ APP'=90°+60°=150°$