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1 有一根垂直于地面的竹竿，要从竹竿上离地面3 m处向地面拉一根长5 m的绳子，绳子绷紧且末端刚好固定在地面上（固定处损耗忽略不计），则地面上绳子的固定点与竹竿底部之间的距离应为
（
A.2 m
B.4 m
C.3 m
D.5 m
（
B
）A.2 m
B.4 m
C.3 m
D.5 m
答案
1. B
解析
【分析】
首先从题目描述的实际场景中抽象出直角三角形模型：垂直地面的竹竿、地面上绳子固定点到竹竿底部的线段、拉紧的绳子刚好构成直角三角形，竹竿与地面的夹角为直角，因此3m高的竹竿段和待求的地面距离是两条直角边，5m长的绳子是斜边。已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边，直接用勾股定理计算即可。
【解析】
解：由题意可知，竹竿、地面、绳子构成直角三角形，其中绳子为斜边，长度为5m，离地面3m的竹竿段为其中一条直角边。
设地面上绳子的固定点与竹竿底部之间的距离为$ x $ m，根据勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）可得：
$ x^2 + 3^2 = 5^2 $
计算得：$ x^2 = 25 - 9 = 16 $
因为距离为正数，所以$ x = \sqrt{16} = 4 $
即地面固定点与竹竿底部的距离为4m，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在生活实际中的基础应用，解题关键是准确从实际场景中提取出直角三角形模型，明确各边对应的长度，再代入勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.8
首先从题目描述的实际场景中抽象出直角三角形模型：垂直地面的竹竿、地面上绳子固定点到竹竿底部的线段、拉紧的绳子刚好构成直角三角形，竹竿与地面的夹角为直角，因此3m高的竹竿段和待求的地面距离是两条直角边，5m长的绳子是斜边。已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边，直接用勾股定理计算即可。
【解析】
解：由题意可知，竹竿、地面、绳子构成直角三角形，其中绳子为斜边，长度为5m，离地面3m的竹竿段为其中一条直角边。
设地面上绳子的固定点与竹竿底部之间的距离为$ x $ m，根据勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）可得：
$ x^2 + 3^2 = 5^2 $
计算得：$ x^2 = 25 - 9 = 16 $
因为距离为正数，所以$ x = \sqrt{16} = 4 $
即地面固定点与竹竿底部的距离为4m，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在生活实际中的基础应用，解题关键是准确从实际场景中提取出直角三角形模型，明确各边对应的长度，再代入勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.8
2 小明要用铁杆制作一个直角三角形天线，要求最短边的长为8 cm，最长边的长为17 cm，则小明需要铁杆的总长度为 （
A.42 cm
B.40 cm
C.35 cm
D.25 cm
B
）A.42 cm
B.40 cm
C.35 cm
D.25 cm
答案
2. B
解析
【分析】
首先明确直角三角形中最长边为斜边，因此本题中斜边长为17 cm，已知一条直角边长为8 cm，要求铁杆总长度即求直角三角形的周长，需先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，再将三边长度相加即可得到总长度。
【解析】
∵ 直角三角形的最长边为斜边
∴ 该直角三角形的斜边长$c=17\ \mathrm{cm}$，最短直角边长$a=8\ \mathrm{cm}$
设另一条直角边长为$b$，根据勾股定理得：
$b^2 = c^2 - a^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$
∵ 边长为正数，
∴ $b = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{cm}$
∴ 铁杆总长度为三边之和：$8 + 15 + 17 = 40\ \mathrm{cm}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 勾股定理
2. 三角形周长计算
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是先判断出直角三角形的斜边长度，再结合勾股定理求出未知边的长度，最后计算周长得到结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先明确直角三角形中最长边为斜边，因此本题中斜边长为17 cm，已知一条直角边长为8 cm，要求铁杆总长度即求直角三角形的周长，需先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，再将三边长度相加即可得到总长度。
【解析】
∵ 直角三角形的最长边为斜边
∴ 该直角三角形的斜边长$c=17\ \mathrm{cm}$，最短直角边长$a=8\ \mathrm{cm}$
设另一条直角边长为$b$，根据勾股定理得：
$b^2 = c^2 - a^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$
∵ 边长为正数，
∴ $b = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{cm}$
∴ 铁杆总长度为三边之和：$8 + 15 + 17 = 40\ \mathrm{cm}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 勾股定理
2. 三角形周长计算
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是先判断出直角三角形的斜边长度，再结合勾股定理求出未知边的长度，最后计算周长得到结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3 如图,一个长、宽、高分别为4 cm,3 cm,12 cm 的长方体盒子能容下的木条(粗细忽略不计)最长为 (
A.11 cm
B.12 cm
C.13 cm
D.14 cm
C
)A.11 cm
B.12 cm
C.13 cm
D.14 cm
答案
3. C
解析
【分析】
要解决长方体盒子能容纳的最长木条长度的问题，首先要明确长方体内最长的线段是体对角线。解题时分两步完成：第一步先利用勾股定理算出长方体底面长方形的对角线长度，第二步将底面对角线和长方体的高作为直角边，再次利用勾股定理算出体对角线的长度，该长度就是最长木条的长度。
【解析】
首先计算长方体底面的对角线长度：
已知底面长为4cm，宽为3cm，根据勾股定理，底面对角线长度的平方为$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，因此底面对角线长为$\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$。
接下来计算长方体的体对角线长度：
将底面对角线5cm和长方体的高12cm作为直角三角形的两条直角边，体对角线为斜边，根据勾股定理，体对角线长度的平方为$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，因此体对角线长为$\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$。
即盒子能容下的木条最长为13cm。
【答案】
C
【知识点】
1.勾股定理 2.长方体体对角线计算
【点评】
本题是勾股定理在立体图形中的典型应用，解题的关键是明确长方体内最长线段为体对角线，通过两次运用勾股定理即可求出结果，属于对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
要解决长方体盒子能容纳的最长木条长度的问题，首先要明确长方体内最长的线段是体对角线。解题时分两步完成：第一步先利用勾股定理算出长方体底面长方形的对角线长度，第二步将底面对角线和长方体的高作为直角边，再次利用勾股定理算出体对角线的长度，该长度就是最长木条的长度。
【解析】
首先计算长方体底面的对角线长度：
已知底面长为4cm，宽为3cm，根据勾股定理，底面对角线长度的平方为$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，因此底面对角线长为$\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$。
接下来计算长方体的体对角线长度：
将底面对角线5cm和长方体的高12cm作为直角三角形的两条直角边，体对角线为斜边，根据勾股定理，体对角线长度的平方为$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，因此体对角线长为$\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$。
即盒子能容下的木条最长为13cm。
【答案】
C
【知识点】
1.勾股定理 2.长方体体对角线计算
【点评】
本题是勾股定理在立体图形中的典型应用，解题的关键是明确长方体内最长线段为体对角线，通过两次运用勾股定理即可求出结果，属于对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
4 新情境 数学文化 [2024 吉林]有一首古算诗:波平如镜一湖面,半尺高处生红莲.亭亭多姿湖中立,突遭狂风吹一边.离开原处两尺远,花贴湖面像睡莲.根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图所示,其中$AB=AB'$,$AB ⊥ B'C$于点$C$,$BC=0.5$尺,$B'C=2$尺.设$AC$的长度为$x$尺,可列方程为
$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
.答案
4. $x^2+2^2=(x+0.5)^2$
解析
【分析】
解题时首先梳理已知边和未知边的关系：由AB=AB'，可先将AB和AB'用含x的代数式表示，再观察到△ACB'是直角三角形，利用勾股定理建立"两条直角边的平方和等于斜边平方"的等量关系，即可列出方程。
【解析】
设AC的长度为x尺，
∵ BC=0.5尺，
∴ AB=AC+BC=(x+0.5)尺，
又
∵ AB=AB'，
∴ AB'=(x+0.5)尺，
∵ AB⊥B'C，
∴ ∠ACB'=90°，即△ACB'为直角三角形，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AC^2 + B'C^2 = AB'^2$，
代入AC=x，B'C=2，AB'=x+0.5，
得：$x^2 + 2^2 = (x+0.5)^2$。
【答案】
$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 列方程解实际问题
【点评】
本题以古算诗为情境，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是抓住AB=AB'的等量关系，将实际问题转化为直角三角形的数学模型，再结合勾股定理列方程，能够很好地考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理已知边和未知边的关系：由AB=AB'，可先将AB和AB'用含x的代数式表示，再观察到△ACB'是直角三角形，利用勾股定理建立"两条直角边的平方和等于斜边平方"的等量关系，即可列出方程。
【解析】
设AC的长度为x尺，
∵ BC=0.5尺，
∴ AB=AC+BC=(x+0.5)尺，
又
∵ AB=AB'，
∴ AB'=(x+0.5)尺，
∵ AB⊥B'C，
∴ ∠ACB'=90°，即△ACB'为直角三角形，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AC^2 + B'C^2 = AB'^2$，
代入AC=x，B'C=2，AB'=x+0.5，
得：$x^2 + 2^2 = (x+0.5)^2$。
【答案】
$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 列方程解实际问题
【点评】
本题以古算诗为情境，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是抓住AB=AB'的等量关系，将实际问题转化为直角三角形的数学模型，再结合勾股定理列方程，能够很好地考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
5 [2025苏州期末]如图，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根12 m处，折断处的高度AB为5 m，则这棵树折断前高
18
m.答案
5. 18
解析
【分析】首先观察图形可知，AB垂直地面BC，因此△ABC是直角三角形，已知两条直角边AB=5m、BC=12m，我们可以先利用勾股定理求出折断部分AC的长度，树折断前的总高度就是直立部分AB的长度加上折断部分AC的长度，按这个思路逐步计算即可。
【解析】解：由题意得AB⊥BC，即∠B=90°，△ABC为直角三角形。
在Rt△ABC中，AB=5m，BC=12m，根据勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$
所以$AC=\sqrt{169}=13$（m，长度取正值）
则树折断前的高度为$AB+AC=5+13=18$（m）
【答案】18
【知识点】勾股定理，实际问题建模
【点评】本题是勾股定理在实际生活中的基础应用，解题的核心是将树折断的场景转化为直角三角形的计算问题，只需准确代入勾股公式求解斜边，再求和即可得到结果，解题时注意不要漏加直立部分的高度。
【难度系数】0.8
【解析】解：由题意得AB⊥BC，即∠B=90°，△ABC为直角三角形。
在Rt△ABC中，AB=5m，BC=12m，根据勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$
所以$AC=\sqrt{169}=13$（m，长度取正值）
则树折断前的高度为$AB+AC=5+13=18$（m）
【答案】18
【知识点】勾股定理，实际问题建模
【点评】本题是勾股定理在实际生活中的基础应用，解题的核心是将树折断的场景转化为直角三角形的计算问题，只需准确代入勾股公式求解斜边，再求和即可得到结果，解题时注意不要漏加直立部分的高度。
【难度系数】0.8
6 校园有长方形花圃，师生都爱护花草、自觉文明绕行。如图，拐角两条路分别长 3 m，4 m（假设 2 步为 1 m）。若横穿花圃走“捷径”，只比正常绕行仅少走
4
步，却踩伤了花草。答案
6. 4
解析
【分析】
解决这道题我们可以分三步思考：第一步先计算正常绕行拐角的总路程，也就是长方形两条直角边的长度和；第二步利用勾股定理计算横穿花圃的“捷径”长度，这条“路”是直角三角形的斜边，两条直角边分别为3m和4m；第三步算出两种走法的路程差，再按照“2步为1m”的规则换算成步数，就能得到少走的步数。
【解析】
1. 计算绕行总路程：绕行需要走两条直角边的和，即 $ 3+4=7\,\mathrm{m} $。
2. 计算横穿“捷径”的长度：根据勾股定理，直角三角形斜边长度 $ c=\sqrt{a^2+b^2} $，代入直角边长度 $ a=3\,\mathrm{m} $、$ b=4\,\mathrm{m} $，可得捷径长度为 $ \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\,\mathrm{m} $。
3. 计算路程差：两种走法的路程差为 $ 7-5=2\,\mathrm{m} $。
4. 换算为步数：已知2步对应1m，因此少走的步数为 $ 2×2=4 $ 步。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理、单位换算
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理的基础应用，解题逻辑清晰易懂，在巩固数学知识的同时也引导大家树立爱护公共环境的文明意识。
【难度系数】
0.9
解决这道题我们可以分三步思考：第一步先计算正常绕行拐角的总路程，也就是长方形两条直角边的长度和；第二步利用勾股定理计算横穿花圃的“捷径”长度，这条“路”是直角三角形的斜边，两条直角边分别为3m和4m；第三步算出两种走法的路程差，再按照“2步为1m”的规则换算成步数，就能得到少走的步数。
【解析】
1. 计算绕行总路程：绕行需要走两条直角边的和，即 $ 3+4=7\,\mathrm{m} $。
2. 计算横穿“捷径”的长度：根据勾股定理，直角三角形斜边长度 $ c=\sqrt{a^2+b^2} $，代入直角边长度 $ a=3\,\mathrm{m} $、$ b=4\,\mathrm{m} $，可得捷径长度为 $ \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\,\mathrm{m} $。
3. 计算路程差：两种走法的路程差为 $ 7-5=2\,\mathrm{m} $。
4. 换算为步数：已知2步对应1m，因此少走的步数为 $ 2×2=4 $ 步。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理、单位换算
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理的基础应用，解题逻辑清晰易懂，在巩固数学知识的同时也引导大家树立爱护公共环境的文明意识。
【难度系数】
0.9
7 新情境 生活实际 如图，小明从点A出发，先向东走1 m，然后向南走4 m，再向西走2 m，再向南走4 m，最后向东走7 m，到达点B，求出发点A到终点B的距离。
答案
7. 如图,过点 A 作AC⊥BC,垂足为 C.根据题意,得 AC=4+4=8(m),BC=7-2+1=6(m). 在 Rt△ACB 中,由勾股定理,得$AC^2+BC^2=AB^2$,$\therefore AB=10\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 出发点 A 到终点 B 的距离为 10 m
解析
【分析】
要求出发点A到终点B的直线距离，这类折线行走的距离问题，通常通过构造直角三角形求解：先算出A、B两点在南北（竖直）、东西（水平）两个方向的距离差，作为直角三角形的两条直角边，再用勾股定理计算斜边即AB的长度即可。
【解析】
解：如图，过点A作$AC⊥ BC$，垂足为C。
根据行走路线计算直角边长度：
竖直方向（南北向）：小明共向南走了$4+4=8(\mathrm{m})$，即$AC=8\ \mathrm{m}$；
水平方向（东西向）：小明向东共走$1+7=8(\mathrm{m})$，向西走$2\ \mathrm{m}$，东西方向距离差为$8-2=6(\mathrm{m})$，即$BC=6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$
代入数值计算：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10(\mathrm{m})$
【答案】
出发点A到终点B的距离为 10 m
【知识点】
勾股定理；方位距离计算；直角三角形构造
【点评】
本题结合实际行走场景考查勾股定理的应用，核心是将实际问题转化为直角三角形边长计算的数学模型，能锻炼学生的知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要求出发点A到终点B的直线距离，这类折线行走的距离问题，通常通过构造直角三角形求解：先算出A、B两点在南北（竖直）、东西（水平）两个方向的距离差，作为直角三角形的两条直角边，再用勾股定理计算斜边即AB的长度即可。
【解析】
解：如图，过点A作$AC⊥ BC$，垂足为C。
根据行走路线计算直角边长度：
竖直方向（南北向）：小明共向南走了$4+4=8(\mathrm{m})$，即$AC=8\ \mathrm{m}$；
水平方向（东西向）：小明向东共走$1+7=8(\mathrm{m})$，向西走$2\ \mathrm{m}$，东西方向距离差为$8-2=6(\mathrm{m})$，即$BC=6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$
代入数值计算：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10(\mathrm{m})$
【答案】
出发点A到终点B的距离为 10 m
【知识点】
勾股定理；方位距离计算；直角三角形构造
【点评】
本题结合实际行走场景考查勾股定理的应用，核心是将实际问题转化为直角三角形边长计算的数学模型，能锻炼学生的知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
