1（2025徐州鼓楼期中）下列各式中，属于勾股数的一组是 （）

A.$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$
B.$3,4,5$
C.$6,7,8$
D.$0.3,0.4,0.5$

1. B

【分析】
要判断一组数是否为勾股数，需紧扣勾股数的两个核心判定条件：一是三个数都必须是正整数；二是两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时可先根据“正整数”的要求排除不符合的选项，再对剩余选项验证平方和关系即可得出结果。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数$a、b、c$叫做勾股数，据此逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{2}、\sqrt{3}$不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
选项B：3、4、5均为正整数，且$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，满足勾股数的条件，符合要求；
选项C：6、7、8均为正整数，但$6^2+7^2=36+49=85$，$8^2=64$，$85≠64$，不满足平方和关系，排除；
选项D：0.3、0.4、0.5是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理的逆定理
【点评】
本题重点考查勾股数的概念，易错点是容易忽略“勾股数必须为正整数”这一前提，仅验证平方和关系而错选其他选项。
【难度系数】
0.9

2（2025苏州工业园区期中）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是 （）

A.∠A=∠B+∠C
B.a:b:c=5:12:13
C.a²=(b+c)(b−c)
D.∠A:∠B:∠C=3:4:5

2. D

【分析】
要判断一个三角形是否为直角三角形，可从两个角度分析：一是利用三角形内角和为180°，验证是否存在度数为90°的内角；二是利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足“两条较短边的平方和等于最长边的平方”，我们只需对每个选项逐一验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，代入∠A=∠B+∠C，可得2∠A=180°，解得∠A=90°，能判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
B选项：设三边长分别为a=5k，b=12k，c=13k（k＞0），计算得a²+b²=(5k)²+(12k)²=25k²+144k²=169k²，而c²=(13k)²=169k²，即a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理，能判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
C选项：对等式a²=(b+c)(b−c)展开整理，得a²=b²−c²，移项后可得a²+c²=b²，满足勾股定理的逆定理，能判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
D选项：设三个角分别为∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，根据内角和为180°，可得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，因此三个角的度数分别为45°、60°、75°，不存在直角，不能判定△ABC是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的判定；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于直角三角形判定的基础题型，同时考查了角和边两种判定思路，解题时要注意区分角的比例和边的比例的不同应用，掌握平方差公式的变形对判断边的关系有很大帮助。
【难度系数】
0.8

3 (2025泰州靖江期中)如图,在$△ ABC$中,$BC=10$,$AC=6$,$AD=4$,$D$是$AB$的中点,连接$CD$,则$CD$的长为。

3. $2\sqrt{13}$

【分析】
解题时首先根据D是AB中点的条件求出AB的长度，再通过勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，确定∠A为直角后，在Rt△ACD中直接运用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵D是AB的中点，AD=4，
∴AB=2AD=8，
在△ABC中，AC=6，AB=8，BC=10，
∵AC²+AB²=6²+8²=36+64=100，BC²=10²=100，
∴AC²+AB²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
CD=√(AD²+AC²)=√(4²+6²)=√(16+36)=√52=2√13。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，线段中点的性质
【点评】
本题是勾股定理及逆定理的典型应用类题目，解题的突破口是先通过三边关系判断出△ABC为直角三角形，再结合勾股定理计算所求线段长度，解题时注意勾股定理适用的前提是在直角三角形中。
【难度系数】
0.7

4 教材P95练习T3·变式 若一个三角形三边长的比为3:4:5，且其周长为36 cm，B C 则其面积为 cm²。

4. 54

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据三边长的比例关系设未知数，结合周长已知的条件求出三边的具体长度；第二步，观察三边长度符合3:4:5的比例，联想到勾股定理的逆定理，判断该三角形是否为直角三角形；第三步，若为直角三角形，用两条直角边的乘积除以2即可求出面积。
【解析】
解：设该三角形的三边长分别为$3x\ \mathrm{cm}$、$4x\ \mathrm{cm}$、$5x\ \mathrm{cm}$。
根据周长为36cm，可列方程：
$3x + 4x + 5x = 36$
合并同类项得$12x = 36$，解得$x = 3$。
因此三边长分别为：$3×3=9\ \mathrm{cm}$，$4×3=12\ \mathrm{cm}$，$5×3=15\ \mathrm{cm}$。
验证：$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，$15^2 = 225$，即$9^2 + 12^2 = 15^2$。
根据勾股定理的逆定理，可知该三角形是直角三角形，且两条直角边长为9cm和12cm。
所以三角形面积为：$\frac{1}{2}×9×12 = 54\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
54
【知识点】
勾股定理的逆定理；按比例分配；直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题的核心是先利用边长比例和周长求出三边长度，再通过逆定理判定三角形为直角三角形，进而计算面积，解题时需注意直角边的判断，避免用斜边参与面积计算。
【难度系数】
0.8

5 (2025 徐州期中)若一个三角形的三边长为$2,3,\sqrt{13}$,则该三角形的面积为.

5. 3

【分析】
已知三角形的三边长求面积，首先可先判断三角形的形状，优先验证是否为直角三角形。第一步先确定三边长中的最长边，第二步计算两条较短边的平方和，再和最长边的平方比较，若相等则符合勾股定理的逆定理，可判定为直角三角形，最后用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
首先确定该三角形的最长边为$\sqrt{13}$，
计算两条短边的平方和：$2^2+3^2=4+9=13$，
最长边的平方：$(\sqrt{13})^2=13$，
因此$2^2+3^2=(\sqrt{13})^2$，根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，且直角边为2和3，
所以该三角形的面积为：$\frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是通过三边的数量关系先判断三角形为直角三角形，再代入面积公式求解，掌握勾股定理逆定理的内容是解题的基础。
【难度系数】
0.8

6 新趋势 数学文化（2025扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…；根据上述规律，写出第⑤组勾股数为。

6. 11,60,61

【分析】
解题时可分三步思考：第一步先观察已知勾股数组的第一个数，发现是从3开始的连续奇数，相邻两组的第一个数相差2，可先推出第⑤组的第一个数；第二步观察每组后两个数的关系，可发现每组后两个数是连续的正整数，较大数比较小数大1；第三步结合勾股定理，将第一个数代入a²+b²=c²（其中c=b+1），即可求出剩下的两个数。
【解析】
1. 确定第⑤组的第一个数：
观察已知数组的第一个数：第①组为3=2×1+1，第②组为5=2×2+1，第③组为7=2×3+1，第④组为9=2×4+1，可得第n组勾股数的第一个数为2n+1。
当n=5时，第一个数为2×5+1=11。
2. 求第⑤组的后两个数：
观察可知每组后两个数为连续正整数，设第⑤组中较小的数为x，则较大的数为x+1。
根据勾股定理可得：$11^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开计算：$121 + x^2 = x^2 + 2x + 1$
消去$x^2$后得：$2x=120$，解得$x=60$，则较大的数为$60+1=61$。
【答案】
11,60,61
【知识点】
勾股数，规律探究，勾股定理的应用
【点评】
本题结合中国传统数学文化背景，考查观察归纳能力和勾股定理的基础应用，解题关键是从已知数组中提炼出数字特征，再结合勾股定理计算求解，兼具文化性和基础性。
【难度系数】
0.8

7 (2025 扬州宝应期中)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BCA=90°$,$AC=12$,$AB=13$,D是$Rt△ ABC$外一点,连接DC,DB,且$CD=4$,$BD=3$.
(1) 求证:$∠ D=90°$;
(2) 求四边形ABCD的面积.

7. 解:(1) 在$Rt△ABC$中,$∠BCA=90°,AC=12,AB=13$,
所以$BC^2=AB^2−AC^2=13^2−12^2=25$,即$BC=5$.
又因为$CD=4,BD=3$,
所以$CD^2+BD^2=4^2+3^2=25$,
即$CD^2+BD^2=BC^2$,
所以$△DBC$是直角三角形,且$∠D=90°$.
(2) 因为$S_{△DBC}=\frac{1}{2} BD·DC=\frac{1}{2}×3×4=6$,
$S_{△ABC}=\frac{1}{2} BC×AC=\frac{1}{2}×5×12=30$,
所以$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△DBC}=30+6=36$.

【分析】
(1) 要证明∠D=90°，需证明△DBC是直角三角形，可借助勾股定理的逆定理判断：首先在Rt△ABC中，已知斜边AB和直角边AC，先通过勾股定理求出BC的长度，再验证△DBC的三边是否满足两边平方和等于第三边的平方即可。
(2) 四边形ABCD可拆分为△ABC和△DBC两个直角三角形，分别计算两个三角形的面积后相加，即可得到四边形的总面积。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠BCA=90°$，$AC=12$，$AB=13$，
由勾股定理得：$BC^2=AB^2-AC^2=13^2-12^2=25$，即$BC=5$。
已知$CD=4$，$BD=3$，则$CD^2+BD^2=4^2+3^2=25$，
可得$CD^2+BD^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△DBC$是直角三角形，且$∠D=90°$。
(2) 分别计算两个三角形的面积：
$S_{△DBC}=\frac{1}{2} × BD × DC=\frac{1}{2} × 3 × 4=6$，
$S_{△ABC}=\frac{1}{2} × BC × AC=\frac{1}{2} × 5 × 12=30$，
因此$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△DBC}=30+6=36$。
【答案】
(1) ∠D=90°，得证；
(2) 36
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是先通过勾股定理求出公共边BC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，最后将不规则四边形的面积转化为两个直角三角形的面积和求解，计算难度低，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8

8 教材P100例2·变式 如图,在$△ ABC$中,$AB=10$,$AC=8$,$BC=6$,$DE$是$AB$的垂直平分线,$DE$分别交$AC$,$AB$于点$E$,$D$.求$AE$的长.

8. 解:连接BE. 在$△ABC$中,$AB=10,AC=8,BC=6$.
因为$AC^2+BC^2=8^2+6^2=10^2,AB^2=10^2$,
所以$AC^2+BC^2=AB^2$,
所以$△ABC$是直角三角形,且$∠C=90°$.
因为DE是AB的垂直平分线,所以$AE=BE$.
设$AE=BE=x$,则$EC=8−x$.
在$Rt△EBC$中,$∠ECB=90°$,所以$EC^2+BC^2=BE^2$
即$(8−x)^2+6^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{4}$,所以$AE=\frac{25}{4}$.

【分析】
解题思路如下：首先观察△ABC的三边长度，6、8、10是常见勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，得到直角；其次利用线段垂直平分线的性质，得到AE=BE，将要求的AE转化为BE，把已知线段和未知线段集中到Rt△BCE中；最后设AE的长为未知数，根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：连接BE。
在$△ABC$中，$AB=10$，$AC=8$，$BC=6$。
因为$AC^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100=10^2=AB^2$，
所以$△ABC$是直角三角形，且$∠C=90°$。
因为DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$AE=BE$。
设$AE=BE=x$，则$EC=AC-AE=8-x$。
在$Rt△EBC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得$EC^2+BC^2=BE^2$，
代入得：$(8-x)^2+6^2=x^2$，
展开计算：$64-16x+x^2+36=x^2$，
化简得：$100-16x=0$，
解得：$x=\frac{25}{4}$。
【答案】
$\frac{25}{4}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是通过垂直平分线的性质实现线段的等量转化，结合方程思想和勾股定理求解，是求线段长度的典型考法。
【难度系数】
0.7