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5 “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形. 设直角三角形的两条直角边长分别为 m,n (m＞n). 若小正方形面积为 5,且$(m+n)^2=21$,则大正方形面积为 (
A.12
B.13
C.14
D.15
B
)A.12
B.13
C.14
D.15
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先明确“赵爽弦图”的边长关系：小正方形的边长为长直角边减短直角边，即$m-n$；大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形面积等于两条直角边的平方和$m^2+n^2$。接下来结合已知的小正方形面积和$(m+n)^2$的值，利用完全平方公式展开变形，消去中间项$mn$即可求出$m^2+n^2$的值，也就是大正方形的面积。
【解析】
解：由题意可知，小正方形的边长为$m-n$，因此小正方形的面积为：
$(m-n)^2=5$
将其展开得：$m^2 - 2mn + n^2 = 5$ ①
已知$(m+n)^2=21$，展开得：$m^2 + 2mn + n^2 = 21$ ②
将①+②，可得：
$2m^2 + 2n^2 = 26$
两边同时除以2得：$m^2 + n^2 = 13$
根据勾股定理，大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形的面积等于斜边的平方，即$m^2+n^2$，所以大正方形面积为13。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，面积法
【点评】
本题是勾股定理证明相关的典型题型，结合赵爽弦图的结构特征，考查完全平方公式的变形应用，解题的核心是理清图形中各部分边长、面积的对应关系，灵活运用公式化简求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确“赵爽弦图”的边长关系：小正方形的边长为长直角边减短直角边，即$m-n$；大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形面积等于两条直角边的平方和$m^2+n^2$。接下来结合已知的小正方形面积和$(m+n)^2$的值，利用完全平方公式展开变形，消去中间项$mn$即可求出$m^2+n^2$的值，也就是大正方形的面积。
【解析】
解：由题意可知，小正方形的边长为$m-n$，因此小正方形的面积为：
$(m-n)^2=5$
将其展开得：$m^2 - 2mn + n^2 = 5$ ①
已知$(m+n)^2=21$，展开得：$m^2 + 2mn + n^2 = 21$ ②
将①+②，可得：
$2m^2 + 2n^2 = 26$
两边同时除以2得：$m^2 + n^2 = 13$
根据勾股定理，大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形的面积等于斜边的平方，即$m^2+n^2$，所以大正方形面积为13。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，面积法
【点评】
本题是勾股定理证明相关的典型题型，结合赵爽弦图的结构特征，考查完全平方公式的变形应用，解题的核心是理清图形中各部分边长、面积的对应关系，灵活运用公式化简求解。
【难度系数】
0.7
6（2025黄冈期末）夏荷在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若$EF=1$，$GH=7$，则$AB$的长为
5
。答案
6. 5
解析
【分析】
本题属于勾股定理弦图模型的应用，解题思路如下：1. 首先明确图中四个三角形为全等直角三角形，设其短直角边长为a，长直角边长为b，斜边AB长为c；2. 观察图形可得，中间小正方形的边长为长直角边减短直角边，即$b-a=EF=1$，线段GH的长度等于两条直角边的和，即$a+b=GH=7$；3. 根据勾股定理可知$AB^2=a^2+b^2$，利用完全平方公式将两个等式变形后相加，即可直接求出$a^2+b^2$的值，进而得到AB的长度，无需单独计算a、b的具体值。
【解析】
设全等直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$，斜边$AB$的长为$c$。
由图形特征可得：
$\begin{cases}b - a = EF = 1 \\a + b = GH = 7\end{cases}$
根据勾股定理，$c^2 = a^2 + b^2$。
将$b-a=1$两边平方得：$(b-a)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 1$ ①
将$a+b=7$两边平方得：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 49$ ②
①+②得：$2(a^2 + b^2) = 50$，即$a^2 + b^2 = 25$。
因此$c^2=25$，结合边长为正数，得$c=5$，即$AB=5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，全等三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理证明相关的典型题型，将几何图形特征与代数恒等变形结合，解题关键是找准线段长度与直角三角形边长的对应关系，灵活运用完全平方公式简化计算，无需单独求解两个直角边的长度即可得到答案。
【难度系数】
0.7
本题属于勾股定理弦图模型的应用，解题思路如下：1. 首先明确图中四个三角形为全等直角三角形，设其短直角边长为a，长直角边长为b，斜边AB长为c；2. 观察图形可得，中间小正方形的边长为长直角边减短直角边，即$b-a=EF=1$，线段GH的长度等于两条直角边的和，即$a+b=GH=7$；3. 根据勾股定理可知$AB^2=a^2+b^2$，利用完全平方公式将两个等式变形后相加，即可直接求出$a^2+b^2$的值，进而得到AB的长度，无需单独计算a、b的具体值。
【解析】
设全等直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$，斜边$AB$的长为$c$。
由图形特征可得：
$\begin{cases}b - a = EF = 1 \\a + b = GH = 7\end{cases}$
根据勾股定理，$c^2 = a^2 + b^2$。
将$b-a=1$两边平方得：$(b-a)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 1$ ①
将$a+b=7$两边平方得：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 49$ ②
①+②得：$2(a^2 + b^2) = 50$，即$a^2 + b^2 = 25$。
因此$c^2=25$，结合边长为正数，得$c=5$，即$AB=5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，全等三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理证明相关的典型题型，将几何图形特征与代数恒等变形结合，解题关键是找准线段长度与直角三角形边长的对应关系，灵活运用完全平方公式简化计算，无需单独求解两个直角边的长度即可得到答案。
【难度系数】
0.7
7 新趋势 数学文化 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法. 证法如下:把两个全等的直角三角形(Rt△ABC≌Rt△DAE)按如图所示的方式放置，∠DAB=∠B=90°，点E在边AB上，现设Rt△ABC的两直角边长分别为CB=b，AB=a，斜边长为AC=c.
(1)求证:AC⊥DE；
(2)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理.
(1)求证:AC⊥DE；
(2)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理.
答案
7. 证明:(1) 因为 $Rt△ABC≌Rt△DAE,$
所以$∠ACB=∠DEA.$
因为$∠B=90°,$所以$∠ACB+∠BAC=90°,$
所以$∠DEA+∠BAC=90°,$
所以$∠AFE=180°-∠BAC-∠DEA=90°,$
即 $AC⊥DE.$
(2) 由题意,得 $S_{梯形ABCD}=\frac{BC+AD}{2}·AB=\frac{a+b}{2}·a=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab,$
且$S_{△CBE}=\frac{1}{2}BE·BC=\frac{1}{2}b(a-b)=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}.$
因为 $Rt△ABC≌Rt△DAE,$ 所以 $DE=AC=c,$
所以 $S_{四边形AECD}=S_{△ADE}+S_{△CDE}=\frac{1}{2}AF·DE+\frac{1}{2}CF·DE=\frac{1}{2}AC·DE=\frac{1}{2}c^{2},$
所以$\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab,$
整理,得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
所以$∠ACB=∠DEA.$
因为$∠B=90°,$所以$∠ACB+∠BAC=90°,$
所以$∠DEA+∠BAC=90°,$
所以$∠AFE=180°-∠BAC-∠DEA=90°,$
即 $AC⊥DE.$
(2) 由题意,得 $S_{梯形ABCD}=\frac{BC+AD}{2}·AB=\frac{a+b}{2}·a=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab,$
且$S_{△CBE}=\frac{1}{2}BE·BC=\frac{1}{2}b(a-b)=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}.$
因为 $Rt△ABC≌Rt△DAE,$ 所以 $DE=AC=c,$
所以 $S_{四边形AECD}=S_{△ADE}+S_{△CDE}=\frac{1}{2}AF·DE+\frac{1}{2}CF·DE=\frac{1}{2}AC·DE=\frac{1}{2}c^{2},$
所以$\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}ab,$
整理,得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
解析
【分析】
(1) 要证AC⊥DE，只需证明两直线夹角为90°。首先利用全等三角形对应角相等得到角的等量关系，再结合直角三角形两锐角互余的性质，通过代换推导得出∠AFE=90°，即可证明垂直。
(2) 采用面积法证明勾股定理，核心是用两种不同方式表示同一图形的面积，建立等量关系化简。首先用梯形面积公式直接计算梯形ABCD的面积，再将梯形ABCD拆分为△CBE和四边形AECD两部分计算面积，结合(1)的垂直结论可求出四边形AECD的面积，最后令两种面积表达式相等，化简后即可得到勾股定理公式。
【解析】
(1) 证明：
∵ $\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DAE$，
∴ $∠ACB=∠DEA$，
∵ $∠B=90°$，
∴ $∠ACB+∠BAC=90°$，
∴ $∠DEA+∠BAC=90°$，
在$△ AFE$中，$∠AFE=180°-(∠DEA+∠BAC)=90°$，
∴ $AC⊥DE$。
(2) 证明：
由梯形面积公式得：
$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}(BC+AD)·AB=\frac{1}{2}(a+b)·a=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab$，
$△ CBE$中，$BE=AB-AE=a-b$，则：
$S_{△CBE}=\frac{1}{2}BE·BC=\frac{1}{2}b(a-b)=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^2$，
∵ $\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DAE$，
∴ $DE=AC=c$，
由(1)知$AC⊥DE$，
∴ $S_{四边形AECD}=S_{△ADE}+S_{△CDE}=\frac{1}{2}·DE·AF + \frac{1}{2}·DE·CF=\frac{1}{2}DE·AC=\frac{1}{2}c^2$，
又
∵ $S_{梯形ABCD}=S_{△CBE}+S_{四边形AECD}$，
代入得：$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}c^2$，
等式两边同时乘2化简得：$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【答案】
(1) $AC⊥DE$，证明成立；
(2) 勾股定理$a^2+b^2=c^2$证明成立。
【知识点】
全等三角形的性质、垂直的判定、面积法的应用
【点评】
本题结合勾股定理的创新证法设置，既考查了全等三角形、直角三角形的基础知识点，又直观体现了面积法在几何推导中的妙用，融入数学文化背景，能帮助学生深化对勾股定理推导逻辑的理解，强化数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AC⊥DE，只需证明两直线夹角为90°。首先利用全等三角形对应角相等得到角的等量关系，再结合直角三角形两锐角互余的性质，通过代换推导得出∠AFE=90°，即可证明垂直。
(2) 采用面积法证明勾股定理，核心是用两种不同方式表示同一图形的面积，建立等量关系化简。首先用梯形面积公式直接计算梯形ABCD的面积，再将梯形ABCD拆分为△CBE和四边形AECD两部分计算面积，结合(1)的垂直结论可求出四边形AECD的面积，最后令两种面积表达式相等，化简后即可得到勾股定理公式。
【解析】
(1) 证明：
∵ $\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DAE$，
∴ $∠ACB=∠DEA$，
∵ $∠B=90°$，
∴ $∠ACB+∠BAC=90°$，
∴ $∠DEA+∠BAC=90°$，
在$△ AFE$中，$∠AFE=180°-(∠DEA+∠BAC)=90°$，
∴ $AC⊥DE$。
(2) 证明：
由梯形面积公式得：
$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}(BC+AD)·AB=\frac{1}{2}(a+b)·a=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab$，
$△ CBE$中，$BE=AB-AE=a-b$，则：
$S_{△CBE}=\frac{1}{2}BE·BC=\frac{1}{2}b(a-b)=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^2$，
∵ $\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DAE$，
∴ $DE=AC=c$，
由(1)知$AC⊥DE$，
∴ $S_{四边形AECD}=S_{△ADE}+S_{△CDE}=\frac{1}{2}·DE·AF + \frac{1}{2}·DE·CF=\frac{1}{2}DE·AC=\frac{1}{2}c^2$，
又
∵ $S_{梯形ABCD}=S_{△CBE}+S_{四边形AECD}$，
代入得：$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}c^2$，
等式两边同时乘2化简得：$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【答案】
(1) $AC⊥DE$，证明成立；
(2) 勾股定理$a^2+b^2=c^2$证明成立。
【知识点】
全等三角形的性质、垂直的判定、面积法的应用
【点评】
本题结合勾股定理的创新证法设置，既考查了全等三角形、直角三角形的基础知识点，又直观体现了面积法在几何推导中的妙用，融入数学文化背景，能帮助学生深化对勾股定理推导逻辑的理解，强化数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7
8 如图，在$△ ABD$中，$AC\bot BD$于点$C$，$E$为$AC$上的一点，连接$BE$，$DE$，$DE$的延长线交$AB$于点$F$。已知$DE=AB$，$∠ CAD=45°$。
（1）求证：$DF\bot AB$；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明。如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，求证：$a^2+b^2=c^2$。
（1）求证：$DF\bot AB$；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明。如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，求证：$a^2+b^2=c^2$。
答案
8. 证明:(1) 因为 $AC⊥BD,∠CAD=45°,$
所以 $AC=DC,∠ACB=∠DCE=90°.$
在 $Rt△ABC$ 与 $Rt△DEC$ 中,$\begin{cases} AC=DC,\\ AB=DE, \end{cases}$
所以 $Rt△ABC≌Rt△DEC(HL),$ 所以$∠BAC=∠EDC.$
因为$∠EDC+∠CED=90°,∠CED=∠AEF,$
所以$∠AEF+∠BAC=90°,$
所以$∠AFE=90°,$ 即 $DF⊥AB.$
(2) 因为 $S_{△BCE}+S_{△ACD}=S_{△ABD}-S_{△ABE},$
所以$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}c·DF-\frac{1}{2}c·EF=\frac{1}{2}c·(DF-EF)=\frac{1}{2}c·DE=\frac{1}{2}c^{2},$ 整理,得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
所以 $AC=DC,∠ACB=∠DCE=90°.$
在 $Rt△ABC$ 与 $Rt△DEC$ 中,$\begin{cases} AC=DC,\\ AB=DE, \end{cases}$
所以 $Rt△ABC≌Rt△DEC(HL),$ 所以$∠BAC=∠EDC.$
因为$∠EDC+∠CED=90°,∠CED=∠AEF,$
所以$∠AEF+∠BAC=90°,$
所以$∠AFE=90°,$ 即 $DF⊥AB.$
(2) 因为 $S_{△BCE}+S_{△ACD}=S_{△ABD}-S_{△ABE},$
所以$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}c·DF-\frac{1}{2}c·EF=\frac{1}{2}c·(DF-EF)=\frac{1}{2}c·DE=\frac{1}{2}c^{2},$ 整理,得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
解析
【分析】
（1）要证$DF\bot AB$，即需证$∠ AFE=90°$。首先由$AC\bot BD$，$∠ CAD=45°$可得$△ ACD$为等腰直角三角形，推出$AC=DC$；结合已知$DE=AB$，可通过HL判定证明$Rt△ ABC≌Rt△ DEC$，得到$∠ BAC=∠ EDC$；再利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，推导得出$∠ BAC+∠ AEF=90°$，即可得到$∠ AFE=90°$，证得垂直。
（2）要证明勾股定理，利用阴影部分面积的两种表示方法建立等量关系：一是两个阴影三角形面积之和，即$S_{△ BCE}+S_{△ ACD}$；二是整体面积减空白面积，即$S_{△ ABD}-S_{△ ABE}$。将各三角形面积用$a、b、c$表示，结合（1）中全等得到的$DE=AB=c$，代入化简后即可得到$a^2+b^2=c^2$。
【解析】
（1）证明：
$\because AC\bot BD$，$∠ CAD=45°$，
$\therefore AC=DC$，$∠ ACB=∠ DCE=90°$，
在$Rt△ ABC$与$Rt△ DEC$中，
$\begin{cases} AC=DC\\ AB=DE \end{cases}$
$\therefore Rt△ ABC≌Rt△ DEC(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EDC$，
$\because ∠ EDC+∠ CED=90°$，$∠ CED=∠ AEF$（对顶角相等），
$\therefore ∠ AEF+∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ AFE=180°-90°=90°$，即$DF\bot AB$。
（2）证明：
由图可得面积等量关系：$S_{△ BCE}+S_{△ ACD}=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}$，
由（1）中全等可得$BC=EC=a$，且$DE=AB=c$，代入面积公式：
$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c· DF-\frac{1}{2}c· EF=\frac{1}{2}c·(DF-EF)=\frac{1}{2}c· DE=\frac{1}{2}c^2$，
等式两边同乘2，整理得$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
（1）$DF\bot AB$得证；
（2）$a^2+b^2=c^2$得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，面积法证明勾股定理
【点评】
本题将全等三角形的应用与勾股定理的证明相结合，第一问通过全等转化角的关系推导垂直，第二问借助面积的不同表示方法搭建等量关系，巧妙推导勾股定理，能够很好地锻炼几何逻辑推理能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
（1）要证$DF\bot AB$，即需证$∠ AFE=90°$。首先由$AC\bot BD$，$∠ CAD=45°$可得$△ ACD$为等腰直角三角形，推出$AC=DC$；结合已知$DE=AB$，可通过HL判定证明$Rt△ ABC≌Rt△ DEC$，得到$∠ BAC=∠ EDC$；再利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，推导得出$∠ BAC+∠ AEF=90°$，即可得到$∠ AFE=90°$，证得垂直。
（2）要证明勾股定理，利用阴影部分面积的两种表示方法建立等量关系：一是两个阴影三角形面积之和，即$S_{△ BCE}+S_{△ ACD}$；二是整体面积减空白面积，即$S_{△ ABD}-S_{△ ABE}$。将各三角形面积用$a、b、c$表示，结合（1）中全等得到的$DE=AB=c$，代入化简后即可得到$a^2+b^2=c^2$。
【解析】
（1）证明：
$\because AC\bot BD$，$∠ CAD=45°$，
$\therefore AC=DC$，$∠ ACB=∠ DCE=90°$，
在$Rt△ ABC$与$Rt△ DEC$中，
$\begin{cases} AC=DC\\ AB=DE \end{cases}$
$\therefore Rt△ ABC≌Rt△ DEC(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EDC$，
$\because ∠ EDC+∠ CED=90°$，$∠ CED=∠ AEF$（对顶角相等），
$\therefore ∠ AEF+∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ AFE=180°-90°=90°$，即$DF\bot AB$。
（2）证明：
由图可得面积等量关系：$S_{△ BCE}+S_{△ ACD}=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}$，
由（1）中全等可得$BC=EC=a$，且$DE=AB=c$，代入面积公式：
$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c· DF-\frac{1}{2}c· EF=\frac{1}{2}c·(DF-EF)=\frac{1}{2}c· DE=\frac{1}{2}c^2$，
等式两边同乘2，整理得$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
（1）$DF\bot AB$得证；
（2）$a^2+b^2=c^2$得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，面积法证明勾股定理
【点评】
本题将全等三角形的应用与勾股定理的证明相结合，第一问通过全等转化角的关系推导垂直，第二问借助面积的不同表示方法搭建等量关系，巧妙推导勾股定理，能够很好地锻炼几何逻辑推理能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
