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1 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为“弦图”.观察图形，可以验证的公式是 （
A.$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
B.$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
C.$c^2 = a^2 + b^2$
D.$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
C
）A.$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
B.$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
C.$c^2 = a^2 + b^2$
D.$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
答案
1. C
解析
【分析】
解决这类拼图验证公式的问题，核心思路是等面积法：对同一个图形，用两种不同的方式计算它的面积，得到的结果相等，据此列等式化简即可推出对应的公式。首先计算大正方形的面积，再把大正方形拆分为4个全等的直角三角形和1个小正方形，分别计算各部分面积求和，最后联立两个面积表达式化简即可。
【解析】
1. 计算大正方形的面积：
大正方形的边长为$ c $，因此面积为$ S_{大正方形}=c^2 $。
2. 计算各部分面积之和：
每个直角三角形的两条直角边为$ a、b $，单个直角三角形的面积为$ \frac{1}{2}ab $，4个全等直角三角形的总面积为$ 4×\frac{1}{2}ab=2ab $；
中间小正方形的边长为$ b-a $，因此小正方形的面积为$ S_{小正方形}=(b-a)^2=a^2-2ab+b^2 $；
因此大正方形的面积也可以表示为：$ S_{大正方形}=2ab + (a^2-2ab + b^2) = a^2 + b^2 $。
3. 联立两个面积表达式：
两种方式计算的都是大正方形的面积，因此$ c^2 = a^2 + b^2 $，对应勾股定理公式。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的证明；等面积法；整式运算
【点评】
本题是利用弦图验证勾股定理的经典题型，核心考查等面积法的应用，通过两种形式表示同一图形的面积建立等量关系，即可推导得到对应公式，掌握等面积法是解决这类拼图验证公式题的关键。
【难度系数】
0.8
解决这类拼图验证公式的问题，核心思路是等面积法：对同一个图形，用两种不同的方式计算它的面积，得到的结果相等，据此列等式化简即可推出对应的公式。首先计算大正方形的面积，再把大正方形拆分为4个全等的直角三角形和1个小正方形，分别计算各部分面积求和，最后联立两个面积表达式化简即可。
【解析】
1. 计算大正方形的面积：
大正方形的边长为$ c $，因此面积为$ S_{大正方形}=c^2 $。
2. 计算各部分面积之和：
每个直角三角形的两条直角边为$ a、b $，单个直角三角形的面积为$ \frac{1}{2}ab $，4个全等直角三角形的总面积为$ 4×\frac{1}{2}ab=2ab $；
中间小正方形的边长为$ b-a $，因此小正方形的面积为$ S_{小正方形}=(b-a)^2=a^2-2ab+b^2 $；
因此大正方形的面积也可以表示为：$ S_{大正方形}=2ab + (a^2-2ab + b^2) = a^2 + b^2 $。
3. 联立两个面积表达式：
两种方式计算的都是大正方形的面积，因此$ c^2 = a^2 + b^2 $，对应勾股定理公式。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的证明；等面积法；整式运算
【点评】
本题是利用弦图验证勾股定理的经典题型，核心考查等面积法的应用，通过两种形式表示同一图形的面积建立等量关系，即可推导得到对应公式，掌握等面积法是解决这类拼图验证公式题的关键。
【难度系数】
0.8
2 如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边和较长直角边的乘积ab的值是
6
.答案
2. 6
解析
【分析】
解题时可先结合正方形面积与勾股定理得到直角边平方和的关系，再根据小正方形边长与直角三角形两直角边的关系得到第二个等式，最后利用完全平方公式变形即可求出ab的值。具体思路：①由大正方形面积结合勾股定理，得出$a^2+b^2$的值；②由小正方形面积得出其边长的平方，即$(b-a)^2$的值；③展开$(b-a)^2$，将$a^2+b^2$的值代入，即可计算得到ab的结果。
【解析】
解：
∵大正方形的面积为13，直角三角形的斜边为大正方形的边长，
∴根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = 13$。
∵小正方形的面积为1，小正方形的边长为较长直角边减较短直角边，即$b - a$，
∴$(b - a)^2 = 1$。
将该式展开得：$b^2 - 2ab + a^2 = 1$，
把$a^2 + b^2 = 13$代入上式得：$13 - 2ab = 1$，
移项计算得：$2ab = 12$，即$ab = 6$。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；正方形面积计算
【点评】
本题以我国古代“赵爽弦图”为载体，考查数形结合思想的应用，解题的核心是挖掘图形中直角三角形边长与两个正方形边长的数量关系，是勾股定理相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时可先结合正方形面积与勾股定理得到直角边平方和的关系，再根据小正方形边长与直角三角形两直角边的关系得到第二个等式，最后利用完全平方公式变形即可求出ab的值。具体思路：①由大正方形面积结合勾股定理，得出$a^2+b^2$的值；②由小正方形面积得出其边长的平方，即$(b-a)^2$的值；③展开$(b-a)^2$，将$a^2+b^2$的值代入，即可计算得到ab的结果。
【解析】
解：
∵大正方形的面积为13，直角三角形的斜边为大正方形的边长，
∴根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = 13$。
∵小正方形的面积为1，小正方形的边长为较长直角边减较短直角边，即$b - a$，
∴$(b - a)^2 = 1$。
将该式展开得：$b^2 - 2ab + a^2 = 1$，
把$a^2 + b^2 = 13$代入上式得：$13 - 2ab = 1$，
移项计算得：$2ab = 12$，即$ab = 6$。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；正方形面积计算
【点评】
本题以我国古代“赵爽弦图”为载体，考查数形结合思想的应用，解题的核心是挖掘图形中直角三角形边长与两个正方形边长的数量关系，是勾股定理相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3 如图，对任意符合条件的$Rt△ ABC$，绕其锐角顶点A逆时针旋转$90°$得到$Rt△ AED$($∠ BAE=90°$)，连接BE，延长DE，BC，交于点F，易知四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，四边形ABFE的面积等于$Rt△ BAE$和$Rt△ BFE$的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法。
答案
3. 解:由题意,得 $S_{正方形ACFD}=b^{2}$,
且 $S_{四边形ABFE}=S_{△ABE}+S_{△BEF}=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}(a+b)(b-a)$
$=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}.$
因为 $S_{正方形ACFD}=S_{四边形ABFE}$，
所以$\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}=b^{2},$
整理,得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
且 $S_{四边形ABFE}=S_{△ABE}+S_{△BEF}=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}(a+b)(b-a)$
$=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}.$
因为 $S_{正方形ACFD}=S_{四边形ABFE}$，
所以$\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}=b^{2},$
整理,得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
解析
【分析】
要证明勾股定理即推导直角三角形三边$a、b、c$的关系$a^2+b^2=c^2$，可利用题目给出的等量关系$S_{正方形ACFD}=S_{四边形ABFE}$求解。首先分别计算两个图形的面积：正方形ACFD边长为$b$，可直接求面积；四边形ABFE可拆为$Rt△BAE$和$Rt△BEF$两个直角三角形，分别根据三角形面积公式计算两者面积后求和，再根据面积相等列等式，最后化简整理即可得到勾股定理。
【解析】
解：由题意得，四边形ACFD是边长为$b$的正方形，因此：
$S_{正方形ACFD}=b^2$
已知四边形ABFE的面积等于$Rt△BAE$和$Rt△BEF$的面积之和：
1. $Rt△BAE$中，$∠ BAE=90°$，$AB=AE=c$，因此$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· AE=\frac{1}{2}c^2$
2. $Rt△BEF$中，直角边$BF=BC+CF=a+b$，直角边$EF=DF-DE=b-a$，因此$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}BF· EF=\frac{1}{2}(a+b)(b-a)$
因此$S_{四边形ABFE}=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(a+b)(b-a)=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2$
根据$S_{正方形ACFD}=S_{四边形ABFE}$，代入得：
$\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2=b^2$
等式两边同乘2消去分母得：$c^2+b^2-a^2=2b^2$
移项整理得：$a^2+b^2=c^2$
【答案】
$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
面积法证明勾股定理，图形面积计算，整式化简
【点评】
本题是勾股定理的经典证明题型，通过建立几何图形面积的等量关系，结合代数运算推导结论，体现了数形结合的数学思想，能帮助理解勾股定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
要证明勾股定理即推导直角三角形三边$a、b、c$的关系$a^2+b^2=c^2$，可利用题目给出的等量关系$S_{正方形ACFD}=S_{四边形ABFE}$求解。首先分别计算两个图形的面积：正方形ACFD边长为$b$，可直接求面积；四边形ABFE可拆为$Rt△BAE$和$Rt△BEF$两个直角三角形，分别根据三角形面积公式计算两者面积后求和，再根据面积相等列等式，最后化简整理即可得到勾股定理。
【解析】
解：由题意得，四边形ACFD是边长为$b$的正方形，因此：
$S_{正方形ACFD}=b^2$
已知四边形ABFE的面积等于$Rt△BAE$和$Rt△BEF$的面积之和：
1. $Rt△BAE$中，$∠ BAE=90°$，$AB=AE=c$，因此$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· AE=\frac{1}{2}c^2$
2. $Rt△BEF$中，直角边$BF=BC+CF=a+b$，直角边$EF=DF-DE=b-a$，因此$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}BF· EF=\frac{1}{2}(a+b)(b-a)$
因此$S_{四边形ABFE}=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(a+b)(b-a)=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2$
根据$S_{正方形ACFD}=S_{四边形ABFE}$，代入得：
$\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2=b^2$
等式两边同乘2消去分母得：$c^2+b^2-a^2=2b^2$
移项整理得：$a^2+b^2=c^2$
【答案】
$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
面积法证明勾股定理，图形面积计算，整式化简
【点评】
本题是勾股定理的经典证明题型，通过建立几何图形面积的等量关系，结合代数运算推导结论，体现了数形结合的数学思想，能帮助理解勾股定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
4 教材P91习题T4·变式（2025镇江句容期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a,b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状。用两种不同的方法计算整个组合图形ABEFG的面积，可以证明勾股定理。
（1）写出你的证明过程；
（2）当a=3,b=4时，求空白部分的面积。
（1）写出你的证明过程；
（2）当a=3,b=4时，求空白部分的面积。
答案
4.（1）证明: 五边形 ABEFG 的面积拆分为 $△CEF$ 与$△ABC$、正方形 ACFG 的面积和，
即 $S_{五边形ABEFG}=S_{矩形ACFG}+S_{△CEF}+S_{△ABC}=c^{2}+ab.$
五边形 ABEFG 的面积也拆分为正方形 ABDH 与$△IFG$、正方形 IDEF、$△AGH$ 的面积和，
即 $S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDH}+S_{正方形IDEF}+S_{△AGH}+S_{△IFG}=a^{2}+b^{2}+ab.$
因为两种方法表示的面积相等，
所以 $c^{2}+ab=a^{2}+b^{2}+ab,$
两边消去 ab,得 $c^{2}=a^{2}+b^{2},$ 即勾股定理得证.
（2）解:空白部分的面积为 $S_{正方形ACFG}-S_{△AGH}-S_{△IFG}=c^{2}-ab,$
由(1),得 $c^{2}=a^{2}+b^{2},$ 代入,得空白部分面积为 $a^{2}+b^{2}-ab,$
当 $a=3,b=4$ 时,$a^{2}+b^{2}-ab=3^{2}+4^{2}-3×4=9+16-12=13,$ 所以空白部分的面积为 13.
即 $S_{五边形ABEFG}=S_{矩形ACFG}+S_{△CEF}+S_{△ABC}=c^{2}+ab.$
五边形 ABEFG 的面积也拆分为正方形 ABDH 与$△IFG$、正方形 IDEF、$△AGH$ 的面积和，
即 $S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDH}+S_{正方形IDEF}+S_{△AGH}+S_{△IFG}=a^{2}+b^{2}+ab.$
因为两种方法表示的面积相等，
所以 $c^{2}+ab=a^{2}+b^{2}+ab,$
两边消去 ab,得 $c^{2}=a^{2}+b^{2},$ 即勾股定理得证.
（2）解:空白部分的面积为 $S_{正方形ACFG}-S_{△AGH}-S_{△IFG}=c^{2}-ab,$
由(1),得 $c^{2}=a^{2}+b^{2},$ 代入,得空白部分面积为 $a^{2}+b^{2}-ab,$
当 $a=3,b=4$ 时,$a^{2}+b^{2}-ab=3^{2}+4^{2}-3×4=9+16-12=13,$ 所以空白部分的面积为 13.
解析
【分析】
（1）证明勾股定理可采用面积法：同一个图形的面积用两种不同的拆分方式计算，结果必然相等。首先把五边形ABEFG拆成边长为c的正方形加2个直角三角形，写出第一个面积表达式；再把五边形拆成边长分别为a、b的两个小正方形加2个直角三角形，写出第二个面积表达式；联立两个等式消去相同的项，即可得到a、b、c的关系，完成勾股定理的证明。
（2）求空白部分面积时，观察图形可知空白面积等于边长为c的正方形面积减去2个阴影直角三角形的面积，先写出空白面积的代数式，再结合（1）中得到的勾股定理结论，代入a=3、b=4计算即可得到结果。
【解析】
（1）证明：
方法1：五边形ABEFG的面积 = 正方形ACFG的面积 + △ABC的面积 + △CEF的面积
已知直角三角形直角边为a、b，正方形ACFG边长为c，可得：
$S_{五边形ABEFG}=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^2+ab$
方法2：五边形ABEFG的面积 = 边长为b的正方形ABDH的面积 + 边长为a的正方形IDEF的面积 + △AGH的面积 + △IFG的面积
可得：
$S_{五边形ABEFG}=b^2+a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$
因为两种方法计算的是同一个图形的面积，所以两式相等：
$c^2+ab=a^2+b^2+ab$
两边同时减去ab，得$c^2=a^2+b^2$，勾股定理得证。
（2）解：空白部分的面积 = 正方形ACFG的面积 - 2个阴影直角三角形的面积
即$S_{空白}=c^2-\frac{1}{2}ab×2=c^2-ab$
由（1）的结论$c^2=a^2+b^2$，代入得：
$S_{空白}=a^2+b^2-ab$
将a=3，b=4代入上式：
$S_{空白}=3^2+4^2-3×4=9+16-12=13$
【答案】
（1）勾股定理$c^2=a^2+b^2$得证；（2）$\boxed{13}$
【知识点】
面积法证明勾股定理，割补法求面积，代数式求值
【点评】
本题是勾股定理证明的常规题型，通过对同一图形的不同面积拆分建立等式，将几何图形关系转化为代数运算，既考查了组合图形面积的计算能力，也体现了数形结合的核心数学思想。
【难度系数】
0.7
（1）证明勾股定理可采用面积法：同一个图形的面积用两种不同的拆分方式计算，结果必然相等。首先把五边形ABEFG拆成边长为c的正方形加2个直角三角形，写出第一个面积表达式；再把五边形拆成边长分别为a、b的两个小正方形加2个直角三角形，写出第二个面积表达式；联立两个等式消去相同的项，即可得到a、b、c的关系，完成勾股定理的证明。
（2）求空白部分面积时，观察图形可知空白面积等于边长为c的正方形面积减去2个阴影直角三角形的面积，先写出空白面积的代数式，再结合（1）中得到的勾股定理结论，代入a=3、b=4计算即可得到结果。
【解析】
（1）证明：
方法1：五边形ABEFG的面积 = 正方形ACFG的面积 + △ABC的面积 + △CEF的面积
已知直角三角形直角边为a、b，正方形ACFG边长为c，可得：
$S_{五边形ABEFG}=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^2+ab$
方法2：五边形ABEFG的面积 = 边长为b的正方形ABDH的面积 + 边长为a的正方形IDEF的面积 + △AGH的面积 + △IFG的面积
可得：
$S_{五边形ABEFG}=b^2+a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$
因为两种方法计算的是同一个图形的面积，所以两式相等：
$c^2+ab=a^2+b^2+ab$
两边同时减去ab，得$c^2=a^2+b^2$，勾股定理得证。
（2）解：空白部分的面积 = 正方形ACFG的面积 - 2个阴影直角三角形的面积
即$S_{空白}=c^2-\frac{1}{2}ab×2=c^2-ab$
由（1）的结论$c^2=a^2+b^2$，代入得：
$S_{空白}=a^2+b^2-ab$
将a=3，b=4代入上式：
$S_{空白}=3^2+4^2-3×4=9+16-12=13$
【答案】
（1）勾股定理$c^2=a^2+b^2$得证；（2）$\boxed{13}$
【知识点】
面积法证明勾股定理，割补法求面积，代数式求值
【点评】
本题是勾股定理证明的常规题型，通过对同一图形的不同面积拆分建立等式，将几何图形关系转化为代数运算，既考查了组合图形面积的计算能力，也体现了数形结合的核心数学思想。
【难度系数】
0.7
