9 易错题 若$△ ABC$的三边$a,b,c$满足$(a - c)(a^2 + b^2 - c^2)=0$，则$△ ABC$是（）

A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形

9. C

【分析】
首先观察已知等式是两个因式的乘积等于0，根据乘法的性质：若几个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，因此可以分两种情况讨论：第一种是第一个因式为0，第二种是第二个因式为0，再结合等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理分别判断三角形的形状即可，注意两种情况是“或”的关系，不需要同时满足。
【解析】
已知$(a - c)(a^2 + b^2 - c^2)=0$，根据有理数乘法的性质可得两种情况：
1. 当$a - c=0$时，即$a=c$，此时$△ ABC$有两条边相等，为等腰三角形；
2. 当$a^2 + b^2 - c^2=0$时，整理得$a^2 + b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$为直角三角形。
两种情况不需要同时满足，因此$△ ABC$是等腰三角形或直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
乘积为0的性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形判定
【点评】
本题易误选D或只选择A、B选项，解题时要注意乘积为0只需其中一个因式为0即可，两种情况独立存在，并非要求同时成立，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7

10（2025连云港赣榆期中）如果正整数$a,b,c$满足等式$a^2 + b^2 = c^2$，那么正整数$a,b,c$叫作“勾股数”，某同学将自己探究“勾股数”的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知$x+y$的值为（）

A.47
B.62
C.79
D.98
（第10题）

10. C

【分析】
解题时先观察表格中三列数的特征，首先找到规律最明显的b列是连续偶数，再结合勾股数的定义$a^2+b^2=c^2$，推导a、c和b的对应关系，再将已知的$c=65$代入规律求出b的值，进而求出a的值，最后计算$x+y$即可。
【解析】
1. 观察数表找规律：
b列：4，6，8，10……是连续偶数，设$m=\frac{b}{2}$（m为正整数），则$b=2m$；
a列：$3=2^2-1$，$8=3^2-1$，$15=4^2-1$，$24=5^2-1$……对应m分别为2、3、4、5，可得$a=m^2-1$；
c列：$5=2^2+1$，$10=3^2+1$，$17=4^2+1$，$26=5^2+1$……对应m分别为2、3、4、5，可得$c=m^2+1$。
验证：$a^2+b^2=(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4+2m^2+1=(m^2+1)^2=c^2$，符合勾股数定义，规律成立。
2. 代入求值：
已知$c=65$，代入$c=m^2+1$得：$m^2+1=65$，解得$m^2=64$，因为m是正整数，所以$m=8$。
则$y=b=2m=16$，$x=a=m^2-1=64-1=63$，因此$x+y=63+16=79$。
【答案】
C
【知识点】
勾股数、数字规律探究
【点评】
本题结合勾股数考查数字规律探究，需要学生通过观察已知数据归纳出三列数的对应关系，再代入求解，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.65

11 如图，P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC，且$PA:PB:PC=3:4:5$，以AC为边在$△ ABC$外作$△ AP'C ≌ △ APB$，连接$PP'$，则下列结论中错误的是（）

A.$△ APP'$是正三角形
B.$△ PCP'$是直角三角形
C.$∠ APB=150°$
D.$∠ APC=135°$

11. D

【分析】
解题时先结合已知全等三角形与等边△ABC的性质，判断△APP'的形状验证选项A；再根据PA:PB:PC的比例设参数表示各边长度，用勾股定理逆定理判断△PCP'的形状验证选项B；接着通过角度和差计算，结合全等对应角相等求∠APB的度数验证选项C；最后判断选项D的结论是否成立，即可选出错误选项。
【解析】
设$PA=3k$，$PB=4k$，$PC=5k$（$k＞0$）。
1. 验证选项A：
∵$△ AP'C ≌ △ APB$，
∴$AP'=AP$，$∠ CAP'=∠ BAP$，$P'C=PB=4k$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ BAC=∠ BAP+∠ PAC=60°$，
∴$∠ PAP'=∠ CAP'+∠ PAC=∠ BAP+∠ PAC=60°$，
又$AP'=AP$，
∴$△ APP'$是正三角形，A结论正确，同时可得$PP'=PA=3k$，$∠ AP'P=60°$。
2. 验证选项B：
在$△ PCP'$中，$PP'=3k$，$P'C=4k$，$PC=5k$，
∵$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，
由勾股定理的逆定理可得$△ PCP'$是直角三角形，且$∠ PP'C=90°$，B结论正确。
3. 验证选项C：
$∠ AP'C=∠ AP'P+∠ PP'C=60°+90°=150°$，
∵$△ AP'C ≌ △ APB$，
∴$∠ APB=∠ AP'C=150°$，C结论正确。
4. 判断选项D：
在$Rt△ PCP'$中，$PP'=3k≠ P'C=4k$，故$∠ P'PC≠45°$，
又$△ APP'$是正三角形，$∠ APP'=60°$，因此无法推出$∠ APC=135°$，D结论错误。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题核心是通过全等变换将分散的边、角条件集中到同一个三角形中，结合设参数量化边长的方法，用勾股逆定理判断直角三角形，是几何综合类的典型习题，能有效考查学生的转化思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

12 如图,在$△ ABC$中,$AC=6,BC=8,AB=10,AD$为$△ ABC$的角平分线,则$CD$的长为.

12. 3

【分析】
首先观察△ABC的三边长，可通过勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，∠C=90°。已知AD是角平分线，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AB的垂线构造全等三角形，得到相等的线段，再设CD的长度为未知数，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$，
∴$AC^2+BC^2=6^2+8^2=100=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$。
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
∵AD是$∠ BAC$的角平分线，$∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，
∴$CD=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中，
$\begin{cases}AD=AD \\CD=DE\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ AED$（HL），
∴$AE=AC=6$，
∴$BE=AB-AE=10-6=4$。
设$CD=x$，则$DE=x$，$BD=BC-CD=8-x$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$DE^2+BE^2=BD^2$，
即$x^2+4^2=(8-x)^2$，
展开得：$x^2+16=64-16x+x^2$，
化简得：$16x=48$，
解得$x=3$，即$CD=3$。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理逆定理；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是先判定直角三角形，再结合角平分线的性质作辅助线构造全等与直角三角形，利用方程思想结合勾股定理求解线段长度，很好地考查了几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6

13（2025盐城盐都期中）如图，校园里有一块四边形ABCD的空地，AB=20 m，BC=24 m，CD=15 m，AD=25 m，过点A修一条小路AE，E是BC的中点，且AE=16 m.
（1）求证：AE⊥BC；
（2）求这块空地的面积.

13. （1）证明:因为E是BC的中点，
所以$BE=CE=\frac{1}{2} BC=\frac{1}{2}×24=12(\mathrm{m})$.
因为$AE^2+BE^2=16^2+12^2=400,AB^2=20^2=400$,
所以$AB^2=AE^2+BE^2$,即$△ABE$是直角三角形,且$∠AEB=90°$,所以$AE⊥BC$.
（2）解:连接AC. 由(1),得$AE⊥BC$.
因为E是BC的中点,所以AE垂直平分BC，
所以$AC=AB=20\ \mathrm{m}$.
因为$AC^2+CD^2=20^2+15^2=625,AD^2=25^2=625$,
所以$AC^2+CD^2=AD^2$,即$△ACD$是直角三角形,且$∠ACD=90°$.
故这块空地的面积$=S_{△ABC}+S_{△ACD}=\frac{1}{2} AE·BC+\frac{1}{2} AC·CD=\frac{1}{2}×16×24+\frac{1}{2}×20×15=342(\mathrm{m}^2)$.

【分析】
（1）要证明AE⊥BC，即需证∠AEB=90°。首先根据E是BC中点求出BE的长度，再计算△ABE三边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，若满足则△ABE为直角三角形且∠AEB是直角，即可得证。
（2）求四边形ABCD的面积，可将其拆分为△ABC和△ACD的面积之和。由（1）的结论和E是BC中点，可知AE是BC的垂直平分线，因此AC=AB；再通过勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形，分别计算两个三角形的面积相加即可得到空地的总面积。
【解析】
（1）证明：
∵E是BC的中点，
∴$BE=CE=\frac{1}{2} BC=\frac{1}{2}×24=12(\mathrm{m})$。
∵$AE^2+BE^2=16^2+12^2=256+144=400$，$AB^2=20^2=400$，
∴$AB^2=AE^2+BE^2$，即△ABE是直角三角形，且$∠AEB=90°$，
∴$AE⊥BC$。
（2）解：连接AC，由（1）得$AE⊥BC$，
∵E是BC的中点，
∴AE垂直平分BC，
∴$AC=AB=20\ \mathrm{m}$。
∵$AC^2+CD^2=20^2+15^2=400+225=625$，$AD^2=25^2=625$，
∴$AC^2+CD^2=AD^2$，即△ACD是直角三角形，且$∠ACD=90°$。
∴空地的面积$=S_{△ABC}+S_{△ACD}=\frac{1}{2} AE·BC+\frac{1}{2} AC·CD=\frac{1}{2}×16×24+\frac{1}{2}×20×15=192+150=342(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boxed{342\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查几何计算，解题核心是灵活运用勾股定理的逆定理判断直角三角形，同时通过拆分不规则四边形为三角形来求解面积，需要熟练掌握线段垂直平分线的性质并正确应用。
【难度系数】
0.7

14（2025无锡惠山期中）定义:如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形，则称M,N是线段AB的“勾股分割点”.
（1）如图，已知M,N把线段AB分割成AM,MN,BN,若AM=2,MN=3,BN=√5,则M,N是线段AB的“勾股分割点”吗？请说明理由.
（2）如图，已知M,N是线段AB的“勾股分割点”，且AM为直角边，若AM=2,AB=7,求BN的长.

14. 解:(1) M,N是线段AB的“勾股分割点”,理由如下:
因为$AM=2,MN=3,BN=\sqrt{5},2^2+(\sqrt{5})^2=3^2$,
所以$AM^2+BN^2=MN^2$,
故以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形，
所以M,N是线段AB的“勾股分割点”.
(2) 设$BN=x$,则$MN=7−2−x=5−x$.
①当BN为斜边时,$AM^2+MN^2=BN^2$,
即$2^2+(5−x)^2=x^2$,解得$x=2.9$;
②当MN为斜边时,$AM^2+BN^2=MN^2$,
即$2^2+x^2=(5−x)^2$,解得$x=2.1$.
综上,BN的长为2.9或2.1.

【分析】
（1）判断M、N是否为线段AB的“勾股分割点”，只需结合定义验证AM、MN、BN三条线段能否构成直角三角形即可：先确定三条线段中的最长边，再计算两条较短线段的平方和，判断其是否等于最长边的平方，若相等则符合定义要求。
（2）已知AM为直角边，但未明确斜边是MN还是BN，因此需要分类讨论两种情况。先设BN的长为x，通过线段和差关系表示出MN的长度，再对应两种斜边情况，根据勾股定理列方程求解，最后验证结果是否符合线段长度为正的要求。
【解析】
(1) M,N是线段AB的“勾股分割点”，理由如下：
已知$AM=2$，$MN=3$，$BN=\sqrt{5}$，其中最长边为$MN=3$。
计算得：$AM^2+BN^2=2^2+(\sqrt{5})^2=4+5=9$，$MN^2=3^2=9$，
因此$AM^2+BN^2=MN^2$，根据勾股定理的逆定理，以AM、MN、BN为边的三角形是直角三角形，满足“勾股分割点”的定义。
(2) 设$BN=x$，由线段和差关系可得$MN=AB-AM-BN=7-2-x=5-x$。
已知AM为直角边，分两种情况讨论：
①当BN为斜边时，根据勾股定理有$AM^2+MN^2=BN^2$，
代入得$2^2+(5-x)^2=x^2$，
展开化简得$29-10x=0$，解得$x=2.9$；
②当MN为斜边时，根据勾股定理有$AM^2+BN^2=MN^2$，
代入得$2^2+x^2=(5-x)^2$，
展开化简得$10x=21$，解得$x=2.1$。
两个结果均为正数，符合线段长度的实际意义。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) $\boxed{2.1}$或$\boxed{2.9}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，分类讨论思想，线段和差计算
【点评】
本题属于新定义题型，核心是将新定义转化为已学的勾股逆定理知识求解。解题时要注意，当直角三角形斜边不明确时，需分类讨论所有可能的情况，避免漏解，同时求解后要验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6