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1（2025南京鼓楼期中）如图，长为16 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6 cm至点D，则橡皮筋被拉长了（
A.6 cm
B.5 cm
C.4 cm
D.2 cm
（第1题）
C
）A.6 cm
B.5 cm
C.4 cm
D.2 cm
（第1题）答案
1. C
解析
【分析】
我们要求橡皮筋拉长的长度，只需要算出拉长后橡皮筋的总长度，减去原来的长度即可。首先根据AB的总长度和C是AB中点，可求出AC的长度；再结合CD垂直AB的条件，可知△ACD是直角三角形，用勾股定理就能求出AD的长度，BD和AD长度相等；最后计算拉长后总长度与原长的差，就是拉长的长度。
【解析】
解：
∵橡皮筋原长AB=16cm，C是AB的中点，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\mathrm{cm}$，
由题意得CD⊥AB，CD=6cm，
在Rt△ACD中，根据勾股定理：
$AD^2=AC^2+CD^2=8^2+6^2=64+36=100$，
∴$AD=10\mathrm{cm}$，同理可得$BD=10\mathrm{cm}$，
∴拉长后橡皮筋总长度为$AD+BD=10+10=20\mathrm{cm}$，
∴橡皮筋被拉长了$20-16=4\mathrm{cm}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，线段中点的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用，解题核心是从实际情境中抽象出直角三角形，结合已知条件用勾股定理计算未知边长，再通过长度差得到结果。
【难度系数】
0.8
我们要求橡皮筋拉长的长度，只需要算出拉长后橡皮筋的总长度，减去原来的长度即可。首先根据AB的总长度和C是AB中点，可求出AC的长度；再结合CD垂直AB的条件，可知△ACD是直角三角形，用勾股定理就能求出AD的长度，BD和AD长度相等；最后计算拉长后总长度与原长的差，就是拉长的长度。
【解析】
解：
∵橡皮筋原长AB=16cm，C是AB的中点，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\mathrm{cm}$，
由题意得CD⊥AB，CD=6cm，
在Rt△ACD中，根据勾股定理：
$AD^2=AC^2+CD^2=8^2+6^2=64+36=100$，
∴$AD=10\mathrm{cm}$，同理可得$BD=10\mathrm{cm}$，
∴拉长后橡皮筋总长度为$AD+BD=10+10=20\mathrm{cm}$，
∴橡皮筋被拉长了$20-16=4\mathrm{cm}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，线段中点的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用，解题核心是从实际情境中抽象出直角三角形，结合已知条件用勾股定理计算未知边长，再通过长度差得到结果。
【难度系数】
0.8
2 新趋势 数学文化（2025宿迁沭阳月考）“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.如图，$AC=5$，$DC=1$，$BD=BA$，则$BC$的长为（
A.8
B.10
C.12
D.13
C
）A.8
B.10
C.12
D.13
答案
2. C
解析
【分析】
这是一道勾股定理的实际应用题，解题思路如下：首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，已知AC=5，要求BC的长；由题可知BD=BA，且BD=BC+DC，DC=1，因此我们可以设BC的长度为x，用含x的式子表示出AB的长度，再代入勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设BC的长为$x$，
∵$BD=BA$，$BD=BC+CD$，$CD=1$，
∴$AB=BD=x+1$。
又
∵△ABC是直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
将$AC=5$代入得：
$5^2 + x^2 = (x+1)^2$，
展开等式右边得：$25 + x^2 = x^2 + 2x + 1$，
消去$x^2$后移项化简得：$2x=24$，
解得$x=12$，即BC的长为12。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；列方程解几何问题
【点评】
本题以我国古代经典数学问题为背景，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是抓住线段相等的关系，合理设未知数，利用勾股定理建立方程求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
这是一道勾股定理的实际应用题，解题思路如下：首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，已知AC=5，要求BC的长；由题可知BD=BA，且BD=BC+DC，DC=1，因此我们可以设BC的长度为x，用含x的式子表示出AB的长度，再代入勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设BC的长为$x$，
∵$BD=BA$，$BD=BC+CD$，$CD=1$，
∴$AB=BD=x+1$。
又
∵△ABC是直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
将$AC=5$代入得：
$5^2 + x^2 = (x+1)^2$，
展开等式右边得：$25 + x^2 = x^2 + 2x + 1$，
消去$x^2$后移项化简得：$2x=24$，
解得$x=12$，即BC的长为12。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；列方程解几何问题
【点评】
本题以我国古代经典数学问题为背景，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是抓住线段相等的关系，合理设未知数，利用勾股定理建立方程求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
3（2025宿迁宿豫期中）如图，长方形木板的长为120 cm，宽为50 cm，在木板的一角顶点A处有一只小虫，另一角顶点B处有食物，小虫沿木板表面向B处爬行觅食，则小虫爬行的最短路径长度为
130
cm.（木板厚度忽略不计）答案
3. 130
解析
【分析】
要解决小虫爬行的最短路径问题，首先依据“两点之间线段最短”的原理，可知小虫沿木板表面从A爬到B的最短路径就是A、B两点连线的长度，也就是长方形木板的对角线长度。此时对角线可看作直角三角形的斜边，两条直角边分别对应长方形的长和宽，接下来运用勾股定理计算斜边长度即可得到结果。
【解析】
根据两点之间线段最短，小虫爬行的最短路径为线段AB的长度。
已知长方形木板长为120 cm，宽为50 cm，在由长、宽和AB构成的直角三角形中，由勾股定理可得：
$AB^2 = 120^2 + 50^2 = 14400 + 2500 = 16900$
因此$AB = \sqrt{16900} = 130\ \mathrm{cm}$
【答案】
130
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理结合最短路径原理的基础应用题，解题核心是先确定最短路径对应的线段，再代入勾股定理计算即可，解题时需注意平方运算和开方运算的准确性。
【难度系数】
0.8
要解决小虫爬行的最短路径问题，首先依据“两点之间线段最短”的原理，可知小虫沿木板表面从A爬到B的最短路径就是A、B两点连线的长度，也就是长方形木板的对角线长度。此时对角线可看作直角三角形的斜边，两条直角边分别对应长方形的长和宽，接下来运用勾股定理计算斜边长度即可得到结果。
【解析】
根据两点之间线段最短，小虫爬行的最短路径为线段AB的长度。
已知长方形木板长为120 cm，宽为50 cm，在由长、宽和AB构成的直角三角形中，由勾股定理可得：
$AB^2 = 120^2 + 50^2 = 14400 + 2500 = 16900$
因此$AB = \sqrt{16900} = 130\ \mathrm{cm}$
【答案】
130
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理结合最短路径原理的基础应用题，解题核心是先确定最短路径对应的线段，再代入勾股定理计算即可，解题时需注意平方运算和开方运算的准确性。
【难度系数】
0.8
4（2025扬州江都期中）某同学想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高度是
12
m.答案
4. 12
解析
【分析】
这道题可将实际场景转化为直角三角形数学问题求解：旗杆垂直于地面，因此旗杆、绳子下端拉开后的水平距离、绳子恰好构成直角三角形，其中旗杆、水平距离为两条直角边，绳子为斜边。我们可以先设旗杆高度为未知数，根据“绳子垂到地面还多1m”表示出绳子（斜边）的长度，再利用勾股定理列方程计算即可得到旗杆高度。
【解析】
解：设旗杆的高度为$x$ m，则绳子的长度为$(x+1)$ m。
根据题意，旗杆、水平距离5m、绳子构成直角三角形，由勾股定理得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开等式右侧：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
消去等式两侧的$x^2$，整理得：
$2x = 24$
解得：$x = 12$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理，实际问题几何建模，一元一次方程求解
【点评】
本题是勾股定理实际应用的典型基础题，解题核心是把生活场景抽象为直角三角形模型，准确梳理三边的数量关系，结合勾股定理列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
这道题可将实际场景转化为直角三角形数学问题求解：旗杆垂直于地面，因此旗杆、绳子下端拉开后的水平距离、绳子恰好构成直角三角形，其中旗杆、水平距离为两条直角边，绳子为斜边。我们可以先设旗杆高度为未知数，根据“绳子垂到地面还多1m”表示出绳子（斜边）的长度，再利用勾股定理列方程计算即可得到旗杆高度。
【解析】
解：设旗杆的高度为$x$ m，则绳子的长度为$(x+1)$ m。
根据题意，旗杆、水平距离5m、绳子构成直角三角形，由勾股定理得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开等式右侧：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
消去等式两侧的$x^2$，整理得：
$2x = 24$
解得：$x = 12$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理，实际问题几何建模，一元一次方程求解
【点评】
本题是勾股定理实际应用的典型基础题，解题核心是把生活场景抽象为直角三角形模型，准确梳理三边的数量关系，结合勾股定理列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
5 教材P98练习T1·变式（2025无锡锡山期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高10 m的树顶飞到一棵高5 m的树顶上，两棵树相距12 m，则喜鹊至少要飞
13
m.答案
5. 13
解析
【分析】
要计算喜鹊的最短飞行距离，首先根据“两点之间线段最短”可知，喜鹊沿两棵树的树顶连线飞行时距离最短。接下来我们可以把这个实际问题转化为直角三角形求解问题：两棵树的高度差、两棵树的水平距离分别是直角三角形的两条直角边，树顶连线就是直角三角形的斜边，最后用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
第一步，计算两棵树的高度差：$10 - 5 = 5\ \mathrm{m}$
第二步，明确两棵树的水平距离为$12\ \mathrm{m}$，则喜鹊最短飞行距离为以$5\ \mathrm{m}$、$12\ \mathrm{m}$为直角边的直角三角形的斜边长。
根据勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），可得斜边长为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{m}$
【答案】
13
【知识点】
勾股定理的应用，最短路径判断
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题关键是将实际问题抽象为直角三角形模型，找准对应直角边的长度即可快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
要计算喜鹊的最短飞行距离，首先根据“两点之间线段最短”可知，喜鹊沿两棵树的树顶连线飞行时距离最短。接下来我们可以把这个实际问题转化为直角三角形求解问题：两棵树的高度差、两棵树的水平距离分别是直角三角形的两条直角边，树顶连线就是直角三角形的斜边，最后用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
第一步，计算两棵树的高度差：$10 - 5 = 5\ \mathrm{m}$
第二步，明确两棵树的水平距离为$12\ \mathrm{m}$，则喜鹊最短飞行距离为以$5\ \mathrm{m}$、$12\ \mathrm{m}$为直角边的直角三角形的斜边长。
根据勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），可得斜边长为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{m}$
【答案】
13
【知识点】
勾股定理的应用，最短路径判断
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题关键是将实际问题抽象为直角三角形模型，找准对应直角边的长度即可快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
6（2025苏州工业园区期中）如图，某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7 m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4 m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5 m，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE的长度。
答案
6. 解:因为$AE=0.7\ \mathrm{m},DE=2.4\ \mathrm{m}$,
所以$AD^2=0.7^2+2.4^2=6.25$.
因为$∠ ABC=90°,BC=1.5\ \mathrm{m},AB^2+BC^2=AC^2$,
所以$AB^2+1.5^2=6.25$,
所以$AB^2=4$.
又$AB＞0$,所以$AB=2\ \mathrm{m}$.
所以$BE=AE+AB=0.7+2=2.7(\mathrm{m})$.
所以$AD^2=0.7^2+2.4^2=6.25$.
因为$∠ ABC=90°,BC=1.5\ \mathrm{m},AB^2+BC^2=AC^2$,
所以$AB^2+1.5^2=6.25$,
所以$AB^2=4$.
又$AB＞0$,所以$AB=2\ \mathrm{m}$.
所以$BE=AE+AB=0.7+2=2.7(\mathrm{m})$.
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住梯子长度不变这一隐含条件，分三步思考：首先，梯子斜靠在左墙时，可在Rt△ADE中利用勾股定理求出梯子长度的平方；其次，梯子斜靠在右墙时，梯子长度不变，可在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长度；最后，安全通道的宽BE是AE与AB的和，将两段长度相加即可得到结果。
【解析】
解：在Rt△ADE中，∠AED=90°，$AE=0.7\ \mathrm{m}$，$DE=2.4\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AD^2=AE^2+DE^2=0.7^2+2.4^2=6.25$。
因为梯子长度不变，所以$AC=AD$，即$AC^2=6.25$。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，$BC=1.5\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AB^2+BC^2=AC^2$，
代入得：$AB^2+1.5^2=6.25$，
计算得$AB^2=4$，
又$AB＞0$，所以$AB=2\ \mathrm{m}$。
因此安全通道的宽$BE=AE+AB=0.7+2=2.7(\mathrm{m})$。
【答案】
$2.7\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用题型，解题关键是挖掘出梯子长度不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，能有效锻炼学生将实际问题抽象为几何模型的能力。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住梯子长度不变这一隐含条件，分三步思考：首先，梯子斜靠在左墙时，可在Rt△ADE中利用勾股定理求出梯子长度的平方；其次，梯子斜靠在右墙时，梯子长度不变，可在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长度；最后，安全通道的宽BE是AE与AB的和，将两段长度相加即可得到结果。
【解析】
解：在Rt△ADE中，∠AED=90°，$AE=0.7\ \mathrm{m}$，$DE=2.4\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AD^2=AE^2+DE^2=0.7^2+2.4^2=6.25$。
因为梯子长度不变，所以$AC=AD$，即$AC^2=6.25$。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，$BC=1.5\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AB^2+BC^2=AC^2$，
代入得：$AB^2+1.5^2=6.25$，
计算得$AB^2=4$，
又$AB＞0$，所以$AB=2\ \mathrm{m}$。
因此安全通道的宽$BE=AE+AB=0.7+2=2.7(\mathrm{m})$。
【答案】
$2.7\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用题型，解题关键是挖掘出梯子长度不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，能有效锻炼学生将实际问题抽象为几何模型的能力。
【难度系数】
0.8
