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7（2025苏州姑苏期中）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为1 cm，则此吸管的总长度为 （
A.12 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.15 cm
C
）A.12 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.15 cm
答案
7. C
解析
【分析】要计算吸管总长度，首先要明确插入盒内的吸管最大长度就是长方体的体对角线，这是长方体内最长的线段。计算时可分两步：第一步先用勾股定理算出底面长方形的对角线长度，第二步将底面对角线和长方体的高作为直角边，再次运用勾股定理算出体对角线的长度，最后加上露在盒外的1cm就是吸管的总长度。
【解析】
1. 计算底面长方形的对角线长度：
已知底面长为4cm，宽为3cm，设底面对角线长为$a$，根据勾股定理可得：
$a^2=4^2+3^2=16+9=25$，因为长度为正，所以$a=5\mathrm{cm}$。
2. 计算盒内吸管的最大长度（即长方体体对角线长度）：
已知长方体高为12cm，设盒内吸管长度为$l$，底面对角线和高构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$l^2=5^2+12^2=25+144=169$，因为长度为正，所以$l=13\mathrm{cm}$。
3. 计算吸管总长度：
露在外面的吸管长度为1cm，因此总长度为$13+1=14\mathrm{cm}$。
【答案】C
【知识点】勾股定理，长方体对角线计算
【点评】本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题关键是找准长方体内的最长线段为体对角线，只需两次运用勾股定理即可求解，计算时注意不要遗漏露在盒外的吸管长度。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 计算底面长方形的对角线长度：
已知底面长为4cm，宽为3cm，设底面对角线长为$a$，根据勾股定理可得：
$a^2=4^2+3^2=16+9=25$，因为长度为正，所以$a=5\mathrm{cm}$。
2. 计算盒内吸管的最大长度（即长方体体对角线长度）：
已知长方体高为12cm，设盒内吸管长度为$l$，底面对角线和高构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$l^2=5^2+12^2=25+144=169$，因为长度为正，所以$l=13\mathrm{cm}$。
3. 计算吸管总长度：
露在外面的吸管长度为1cm，因此总长度为$13+1=14\mathrm{cm}$。
【答案】C
【知识点】勾股定理，长方体对角线计算
【点评】本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题关键是找准长方体内的最长线段为体对角线，只需两次运用勾股定理即可求解，计算时注意不要遗漏露在盒外的吸管长度。
【难度系数】0.7
8（2025盐城东台期中）如图，高速公路上有A，B两点相距10 km，C，D为两村庄，已知$DA=4\ \mathrm{km}$，$CB=6\ \mathrm{km}$，$DA⊥ AB$于点A，$CB⊥ AB$于点B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（
A.4 km
B.5 km
C.6 km
D.$\sqrt{20}\ \mathrm{km}$
C
）A.4 km
B.5 km
C.6 km
D.$\sqrt{20}\ \mathrm{km}$
答案
8. C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用“两村庄到E站距离相等”这一条件，结合勾股定理列方程求解。首先观察到△DAE和△EBC都是直角三角形，我们可以设AE的长度为未知数，用含未知数的式子表示出BE的长度，再分别用勾股定理表示出$DE^2$和$CE^2$，根据$DE=CE$则$DE^2=CE^2$建立方程，解方程即可得到AE的长度。
【解析】
解：设$EA=x\ \mathrm{km}$，则$EB=(10-x)\ \mathrm{km}$。
$\because DA⊥ AB$，$CB⊥ AB$，
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，根据勾股定理得：$DE^2=AD^2+AE^2=4^2+x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，根据勾股定理得：$CE^2=BC^2+BE^2=6^2+(10-x)^2$。
由题意可知$DE=CE$，因此$DE^2=CE^2$，即：
$4^2+x^2=6^2+(10-x)^2$
展开得：$16+x^2=36+100-20x+x^2$，
消去$x^2$后整理得：$20x=120$，
解得：$x=6$，即$EA=6\ \mathrm{km}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；方程思想；垂直的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用题型，解题的核心是抓住距离相等的条件，结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，只要熟练掌握勾股定理的应用，就能顺利解答此类问题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以利用“两村庄到E站距离相等”这一条件，结合勾股定理列方程求解。首先观察到△DAE和△EBC都是直角三角形，我们可以设AE的长度为未知数，用含未知数的式子表示出BE的长度，再分别用勾股定理表示出$DE^2$和$CE^2$，根据$DE=CE$则$DE^2=CE^2$建立方程，解方程即可得到AE的长度。
【解析】
解：设$EA=x\ \mathrm{km}$，则$EB=(10-x)\ \mathrm{km}$。
$\because DA⊥ AB$，$CB⊥ AB$，
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，根据勾股定理得：$DE^2=AD^2+AE^2=4^2+x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，根据勾股定理得：$CE^2=BC^2+BE^2=6^2+(10-x)^2$。
由题意可知$DE=CE$，因此$DE^2=CE^2$，即：
$4^2+x^2=6^2+(10-x)^2$
展开得：$16+x^2=36+100-20x+x^2$，
消去$x^2$后整理得：$20x=120$，
解得：$x=6$，即$EA=6\ \mathrm{km}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；方程思想；垂直的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用题型，解题的核心是抓住距离相等的条件，结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，只要熟练掌握勾股定理的应用，就能顺利解答此类问题。
【难度系数】
0.7
9 易错题《九章算术》“勾股”章中记载了这样一个问题：“今有开门去阃(kǔn)一尺不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门(AD和BC)，门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺(1尺=10寸)，两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为
101
寸。答案
9. 101
解析
【分析】
解题时首先要将实际问题转化为几何模型，先统一单位，再设单扇门的宽度为未知数，结合已知条件找到直角三角形的三条边长：单扇门宽度为斜边，门边沿到门槛的距离为一条直角边，另一条直角边为单扇门宽度减去间隙的一半，最后利用勾股定理列方程求解即可得到门槛长度。
【解析】
首先统一单位：1尺=10寸。
设单扇门的宽度为$ x $寸，则门槛$ AB = 2x $寸。
过点D作AB的垂线，垂足为E，由题意得：$ DE = 10 $寸，两扇门间隙CD=2寸，因此E点到AB中点O的距离为$ 2÷2=1 $寸，故$ AE = AO - EO = x - 1 $寸。
在$ Rt△ ADE $中，由勾股定理得：
$ AE^2 + DE^2 = AD^2 $
代入边长得：
$ (x-1)^2 + 10^2 = x^2 $
展开计算：
$ x^2 - 2x + 1 + 100 = x^2 $
化简得：$ -2x + 101 = 0 $，解得$ x = 50.5 $
因此门槛$ AB = 2x = 2×50.5 = 101 $寸。
【答案】
101
【知识点】
勾股定理应用，单位换算，方程思想
【点评】
本题取材于古代数学著作，解题核心是将实际开门问题抽象为直角三角形模型，找准各边的数量关系列方程求解，解题时需注意先统一单位，避免因单位不一致出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先要将实际问题转化为几何模型，先统一单位，再设单扇门的宽度为未知数，结合已知条件找到直角三角形的三条边长：单扇门宽度为斜边，门边沿到门槛的距离为一条直角边，另一条直角边为单扇门宽度减去间隙的一半，最后利用勾股定理列方程求解即可得到门槛长度。
【解析】
首先统一单位：1尺=10寸。
设单扇门的宽度为$ x $寸，则门槛$ AB = 2x $寸。
过点D作AB的垂线，垂足为E，由题意得：$ DE = 10 $寸，两扇门间隙CD=2寸，因此E点到AB中点O的距离为$ 2÷2=1 $寸，故$ AE = AO - EO = x - 1 $寸。
在$ Rt△ ADE $中，由勾股定理得：
$ AE^2 + DE^2 = AD^2 $
代入边长得：
$ (x-1)^2 + 10^2 = x^2 $
展开计算：
$ x^2 - 2x + 1 + 100 = x^2 $
化简得：$ -2x + 101 = 0 $，解得$ x = 50.5 $
因此门槛$ AB = 2x = 2×50.5 = 101 $寸。
【答案】
101
【知识点】
勾股定理应用，单位换算，方程思想
【点评】
本题取材于古代数学著作，解题核心是将实际开门问题抽象为直角三角形模型，找准各边的数量关系列方程求解，解题时需注意先统一单位，避免因单位不一致出错。
【难度系数】
0.6
10 如图,某小区有两个喷泉A,B,两个喷泉的距离长为250 m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上,供水点M到AB的距离MN的长为120 m,BM的长为150 m.求:
(1) 供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长;
(2) 喷泉B到小路AC的最短距离.
(1) 供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长;
(2) 喷泉B到小路AC的最短距离.
答案
10. 解:(1) 在$\mathrm{Rt}△ MNB$中,$BN^2=BM^2-MN^2$,得$BN=90(\mathrm{m})$,
所以$AN=AB-BN=250-90=160(\mathrm{m})$.
在$\mathrm{Rt}△ AMN$中,$AM^2=AN^2+MN^2$,得$AM=200(\mathrm{m})$,
所以供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长$=200+150=350(\mathrm{m})$.
(2) 因为$AB=250\ \mathrm{m},AM=200\ \mathrm{m},BM=150\ \mathrm{m}$,
所以$AB^2=BM^2+AM^2$,
所以$△ ABM$是直角三角形,且$BM⊥ AC$,
所以喷泉B到小路AC的最短距离是$BM=150\ \mathrm{m}$.
所以$AN=AB-BN=250-90=160(\mathrm{m})$.
在$\mathrm{Rt}△ AMN$中,$AM^2=AN^2+MN^2$,得$AM=200(\mathrm{m})$,
所以供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长$=200+150=350(\mathrm{m})$.
(2) 因为$AB=250\ \mathrm{m},AM=200\ \mathrm{m},BM=150\ \mathrm{m}$,
所以$AB^2=BM^2+AM^2$,
所以$△ ABM$是直角三角形,且$BM⊥ AC$,
所以喷泉B到小路AC的最短距离是$BM=150\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1) 要求供水点M到A、B的管道总长，即求AM+BM的和，已知BM长度，只需算出AM即可。由图可知MN垂直AB，因此△MNB和△AMN都是直角三角形，首先在Rt△MNB中用勾股定理求出BN的长度，再结合AB的总长求出AN的长度，最后在Rt△AMN中用勾股定理算出AM，相加即可得到管道总长。
(2) 点到直线的最短距离是该点到直线的垂线段长度，因此要先判断BM是否垂直AC。先明确△ABM的三边长，用勾股定理的逆定理验证三边的平方关系，若能得出∠AMB是直角，即可确定BM就是B到AC的最短距离。
【解析】
(1) 由题意得MN⊥AB，即∠MNB=∠MNA=90°。
在$\mathrm{Rt}△ MNB$中，根据勾股定理$BN^2=BM^2-MN^2$，代入BM=150m，MN=120m，得：
$BN=\sqrt{150^2-120^2}=\sqrt{8100}=90(\mathrm{m})$
已知AB=250m，因此$AN=AB-BN=250-90=160(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ AMN$中，根据勾股定理$AM^2=AN^2+MN^2$，代入数值计算得：
$AM=\sqrt{160^2+120^2}=\sqrt{40000}=200(\mathrm{m})$
因此管道总长为$AM+BM=200+150=350(\mathrm{m})$。
(2) 在△ABM中，AB=250m，AM=200m，BM=150m，验证三边平方关系：
$AM^2+BM^2=200^2+150^2=62500$，$AB^2=250^2=62500$
即$AM^2+BM^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知△ABM是直角三角形，且∠AMB=90°，即BM⊥AC。
根据点到直线的最短距离为垂线段长度，可知喷泉B到小路AC的最短距离为BM的长度，即150m。
【答案】
(1) 350 m；(2) 150 m
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，点到直线的距离
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是从图形中找到直角三角形，利用勾股定理计算未知边长，再通过勾股定理逆定理判断垂直关系，能够很好地锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求供水点M到A、B的管道总长，即求AM+BM的和，已知BM长度，只需算出AM即可。由图可知MN垂直AB，因此△MNB和△AMN都是直角三角形，首先在Rt△MNB中用勾股定理求出BN的长度，再结合AB的总长求出AN的长度，最后在Rt△AMN中用勾股定理算出AM，相加即可得到管道总长。
(2) 点到直线的最短距离是该点到直线的垂线段长度，因此要先判断BM是否垂直AC。先明确△ABM的三边长，用勾股定理的逆定理验证三边的平方关系，若能得出∠AMB是直角，即可确定BM就是B到AC的最短距离。
【解析】
(1) 由题意得MN⊥AB，即∠MNB=∠MNA=90°。
在$\mathrm{Rt}△ MNB$中，根据勾股定理$BN^2=BM^2-MN^2$，代入BM=150m，MN=120m，得：
$BN=\sqrt{150^2-120^2}=\sqrt{8100}=90(\mathrm{m})$
已知AB=250m，因此$AN=AB-BN=250-90=160(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ AMN$中，根据勾股定理$AM^2=AN^2+MN^2$，代入数值计算得：
$AM=\sqrt{160^2+120^2}=\sqrt{40000}=200(\mathrm{m})$
因此管道总长为$AM+BM=200+150=350(\mathrm{m})$。
(2) 在△ABM中，AB=250m，AM=200m，BM=150m，验证三边平方关系：
$AM^2+BM^2=200^2+150^2=62500$，$AB^2=250^2=62500$
即$AM^2+BM^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知△ABM是直角三角形，且∠AMB=90°，即BM⊥AC。
根据点到直线的最短距离为垂线段长度，可知喷泉B到小路AC的最短距离为BM的长度，即150m。
【答案】
(1) 350 m；(2) 150 m
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，点到直线的距离
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是从图形中找到直角三角形，利用勾股定理计算未知边长，再通过勾股定理逆定理判断垂直关系，能够很好地锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
11 新趋势 情境素材 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向，由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离CA，CB分别为300 km，400 km. AB=500 km，以台风中心为圆心，周围250 km以内为受影响区域.
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）如果台风中心移动的速度为20 km/h，那么台风影响海港C的持续时间有多长？
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）如果台风中心移动的速度为20 km/h，那么台风影响海港C的持续时间有多长？
答案
11. 解:(1) 海港C受台风影响.理由如下：
如图,过点C作$CD⊥ AB$于点D.
因为$AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km}$,
所以$AC^2+BC^2=AB^2$,即$△ ABC$是直角三角形,
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× CD× AB$,
即$CD=\frac{300× 400}{500}=240(\mathrm{km})$.
因为以台风中心为圆心,周围250 km以内为受影响区域,
所以海港C受台风影响.
(2) 当$EC=250\ \mathrm{km},FC=250\ \mathrm{km}$时,正好影响C海港,
因为$ED=\sqrt{EC^2-CD^2}=70(\mathrm{km})$,
所以$EF=140\ \mathrm{km}$.
因为台风中心移动的速度为$20\ \mathrm{km/h}$,
所以$140÷ 20=7(\mathrm{h})$,
即台风影响海港C的持续时间为7 h.
解析
【分析】
（1）判断海港C是否受台风影响，核心是比较点C到台风移动路线AB的最短距离与台风影响半径250km的大小，若最短距离小于250km则受影响。首先根据AC、BC、AB的长度，用勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，再利用三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、底乘高的一半）求出C到AB的垂线段CD的长度，再和250km比较即可得到结论。
（2）求台风影响的持续时间，需要先求出AB上受影响的路段长度：当台风中心到C的距离刚好为250km时，是开始影响和结束影响的临界点，设两个临界点为E、F，△CDE和△CDF都是直角三角形，用勾股定理求出ED的长度，即可得到EF的总长度，再根据“时间=路程÷速度”就能算出持续时间。
【解析】
(1) 海港C受台风影响，理由如下：
过点C作$CD⊥ AB$于点D。
已知$AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km}$，
计算得$AC^2+BC^2=300^2+400^2=250000=500^2=AB^2$，根据勾股定理逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× CD× AB$，
代入数值计算：$CD=\frac{300× 400}{500}=240(\mathrm{km})$。
因为$240\mathrm{km}＜250\mathrm{km}$，所以海港C受台风影响。
(2) 当台风中心移动到点E时$EC=250\ \mathrm{km}$，此时开始影响海港C；移动到点F时$FC=250\ \mathrm{km}$，此时结束影响海港C。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，根据勾股定理：$ED=\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{250^2-240^2}=70(\mathrm{km})$，
同理可得$FD=70\mathrm{km}$，因此影响路段总长度$EF=ED+FD=140\ \mathrm{km}$。
已知台风移动速度为$20\ \mathrm{km/h}$，则影响持续时间为$140÷20=7(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 海港C受台风影响，理由见解析；
(2) 台风影响海港C的持续时间为7 h。
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，垂线段最短
【点评】
本题结合台风灾害的实际情境，考查勾股定理相关知识的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，利用垂线段最短和勾股定理求解对应线段长度，体现了数学知识的实用价值。
【难度系数】
0.7
（1）判断海港C是否受台风影响，核心是比较点C到台风移动路线AB的最短距离与台风影响半径250km的大小，若最短距离小于250km则受影响。首先根据AC、BC、AB的长度，用勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，再利用三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、底乘高的一半）求出C到AB的垂线段CD的长度，再和250km比较即可得到结论。
（2）求台风影响的持续时间，需要先求出AB上受影响的路段长度：当台风中心到C的距离刚好为250km时，是开始影响和结束影响的临界点，设两个临界点为E、F，△CDE和△CDF都是直角三角形，用勾股定理求出ED的长度，即可得到EF的总长度，再根据“时间=路程÷速度”就能算出持续时间。
【解析】
(1) 海港C受台风影响，理由如下：
过点C作$CD⊥ AB$于点D。
已知$AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km}$，
计算得$AC^2+BC^2=300^2+400^2=250000=500^2=AB^2$，根据勾股定理逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× CD× AB$，
代入数值计算：$CD=\frac{300× 400}{500}=240(\mathrm{km})$。
因为$240\mathrm{km}＜250\mathrm{km}$，所以海港C受台风影响。
(2) 当台风中心移动到点E时$EC=250\ \mathrm{km}$，此时开始影响海港C；移动到点F时$FC=250\ \mathrm{km}$，此时结束影响海港C。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，根据勾股定理：$ED=\sqrt{EC^2-CD^2}=\sqrt{250^2-240^2}=70(\mathrm{km})$，
同理可得$FD=70\mathrm{km}$，因此影响路段总长度$EF=ED+FD=140\ \mathrm{km}$。
已知台风移动速度为$20\ \mathrm{km/h}$，则影响持续时间为$140÷20=7(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 海港C受台风影响，理由见解析；
(2) 台风影响海港C的持续时间为7 h。
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，垂线段最短
【点评】
本题结合台风灾害的实际情境，考查勾股定理相关知识的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，利用垂线段最短和勾股定理求解对应线段长度，体现了数学知识的实用价值。
【难度系数】
0.7
