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1 若$x=-1$是方程$x^2 + x + m = 0$的一个根，则此方程的另一个根是 （
A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=1$
D.$x=2$
B
）A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=1$
D.$x=2$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的相关求解，有两种常用解题思路：
思路1：根据方程根的定义，将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程即可得到另一个根；
思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），已知两根之和与其中一个根，可直接计算得到另一个根，计算更简便。
【解析】
解法1（利用根与系数的关系）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2+x+m=0$，则$a=1$，$b=1$，已知一个根$x_1=-1$，代入得：
$-1 + x_2 = -\frac{1}{1} = -1$
解得$x_2=0$。
解法2（代入求参再解方程）：
将$x=-1$代入方程$x^2+x+m=0$得：
$(-1)^2 + (-1) + m = 0$
计算得$1-1+m=0$，解得$m=0$。
则原方程为$x^2+x=0$，因式分解得$x(x+1)=0$，
所以方程的根为$x=0$或$x=-1$，即另一个根为0。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义、根与系数的关系、解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，两种解法都属于常规解题方法，熟练运用根与系数的关系可以简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的相关求解，有两种常用解题思路：
思路1：根据方程根的定义，将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程即可得到另一个根；
思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），已知两根之和与其中一个根，可直接计算得到另一个根，计算更简便。
【解析】
解法1（利用根与系数的关系）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2+x+m=0$，则$a=1$，$b=1$，已知一个根$x_1=-1$，代入得：
$-1 + x_2 = -\frac{1}{1} = -1$
解得$x_2=0$。
解法2（代入求参再解方程）：
将$x=-1$代入方程$x^2+x+m=0$得：
$(-1)^2 + (-1) + m = 0$
计算得$1-1+m=0$，解得$m=0$。
则原方程为$x^2+x=0$，因式分解得$x(x+1)=0$，
所以方程的根为$x=0$或$x=-1$，即另一个根为0。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义、根与系数的关系、解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，两种解法都属于常规解题方法，熟练运用根与系数的关系可以简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
2 若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + (m+1)x + \dfrac{1}{2} = 0 $ 的一个实数根的倒数恰是它本身，则 $ m $ 的值是（
A.$ -\dfrac{5}{2} $
B.$ \dfrac{1}{2} $
C.$ -\dfrac{5}{2} $ 或 $ \dfrac{1}{2} $
D.$ 1 $
C
）A.$ -\dfrac{5}{2} $
B.$ \dfrac{1}{2} $
C.$ -\dfrac{5}{2} $ 或 $ \dfrac{1}{2} $
D.$ 1 $
答案
2. C
解析
【分析】
解题第一步先明确“倒数恰是它本身”的实数是多少，根据倒数的性质可知只有1和-1满足，所以该方程的这个实数根为1或-1；再根据一元二次方程根的定义，将根代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，求解就能得到m的取值，注意两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
∵倒数等于它本身的实数为1和-1，
∴该方程的这个实数根是1或-1。
①当根为1时，把x=1代入原方程得：
$1^2 + (m+1)×1 + \dfrac{1}{2} = 0$
化简得：$1 + m + 1 + \dfrac{1}{2} = 0$
解得：$m = -\dfrac{5}{2}$
②当根为-1时，把x=-1代入原方程得：
$(-1)^2 + (m+1)×(-1) + \dfrac{1}{2} = 0$
化简得：$1 - m - 1 + \dfrac{1}{2} = 0$
解得：$m = \dfrac{1}{2}$
综上，m的值为$-\dfrac{5}{2}$或$\dfrac{1}{2}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.倒数的性质 2.一元二次方程根的定义 3.代入求值
【点评】
本题是基础概念结合的题型，解题的核心是先确定符合条件的根的取值，再代入方程求解，易错点是容易遗漏根为-1的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题第一步先明确“倒数恰是它本身”的实数是多少，根据倒数的性质可知只有1和-1满足，所以该方程的这个实数根为1或-1；再根据一元二次方程根的定义，将根代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，求解就能得到m的取值，注意两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
∵倒数等于它本身的实数为1和-1，
∴该方程的这个实数根是1或-1。
①当根为1时，把x=1代入原方程得：
$1^2 + (m+1)×1 + \dfrac{1}{2} = 0$
化简得：$1 + m + 1 + \dfrac{1}{2} = 0$
解得：$m = -\dfrac{5}{2}$
②当根为-1时，把x=-1代入原方程得：
$(-1)^2 + (m+1)×(-1) + \dfrac{1}{2} = 0$
化简得：$1 - m - 1 + \dfrac{1}{2} = 0$
解得：$m = \dfrac{1}{2}$
综上，m的值为$-\dfrac{5}{2}$或$\dfrac{1}{2}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.倒数的性质 2.一元二次方程根的定义 3.代入求值
【点评】
本题是基础概念结合的题型，解题的核心是先确定符合条件的根的取值，再代入方程求解，易错点是容易遗漏根为-1的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
方程$(2x - 1)(3x + 1)=x^2 + 2$化为一般形式$(a＞0)$为
$5x^2 - x - 3=0$
.答案
3. $5x^2 - x - 3=0$
解析
【分析】
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a＞0$），首先需要利用多项式乘多项式法则展开等号左侧的乘积，再将等号右侧的项全部移到左侧，最后合并同类项，保证二次项系数为正即可。
【解析】
第一步：展开等号左侧的多项式乘积：
$\begin{aligned}(2x-1)(3x+1)&=2x·3x + 2x·1 - 1·3x - 1×1\\&=6x^2 + 2x - 3x - 1\\&=6x^2 - x - 1\end{aligned}$
此时原方程化为：$6x^2 - x - 1 = x^2 + 2$
第二步：移项，将右侧所有项移到左侧，移项注意变号：
$6x^2 - x - 1 - x^2 - 2 = 0$
第三步：合并同类项：
$(6x^2 - x^2) - x + (-1 - 2) = 0$
即$5x^2 - x - 3 = 0$，二次项系数$5＞0$，符合要求。
【答案】
$5x^2 - x - 3=0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，多项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的化简，解题时要注意多项式展开不要漏乘项，移项时记得变号，合并同类项时系数计算要准确。
【难度系数】
0.8
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a＞0$），首先需要利用多项式乘多项式法则展开等号左侧的乘积，再将等号右侧的项全部移到左侧，最后合并同类项，保证二次项系数为正即可。
【解析】
第一步：展开等号左侧的多项式乘积：
$\begin{aligned}(2x-1)(3x+1)&=2x·3x + 2x·1 - 1·3x - 1×1\\&=6x^2 + 2x - 3x - 1\\&=6x^2 - x - 1\end{aligned}$
此时原方程化为：$6x^2 - x - 1 = x^2 + 2$
第二步：移项，将右侧所有项移到左侧，移项注意变号：
$6x^2 - x - 1 - x^2 - 2 = 0$
第三步：合并同类项：
$(6x^2 - x^2) - x + (-1 - 2) = 0$
即$5x^2 - x - 3 = 0$，二次项系数$5＞0$，符合要求。
【答案】
$5x^2 - x - 3=0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，多项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的化简，解题时要注意多项式展开不要漏乘项，移项时记得变号，合并同类项时系数计算要准确。
【难度系数】
0.8
4 若一元二次方程$(x-2)^2=3$的两根为$a,b$，且$a＞b$，则$2a+b$的值为
$6+\sqrt{3}$
。答案
4. $6+\sqrt{3}$ 【解析】解方程$(x-2)^2=3$,得$x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$.由$a＞b$,得$a=2+\sqrt{3},b=2-\sqrt{3},∴ 2a+b=2×(2+\sqrt{3})+2-\sqrt{3}=6+\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题可分三步求解：第一步观察方程形式为完全平方式等于正数，优先选用直接开平方法解一元二次方程，快速得到两个根；第二步根据题目给出的$a＞b$的大小关系，确定$a$、$b$分别对应的根；第三步将确定好的$a$、$b$代入代数式$2a+b$，按照二次根式的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解方程$(x-2)^2=3$，
两边直接开平方得：$x-2=\pm\sqrt{3}$，
移项可得方程的两根：$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$，
∵方程的两根为$a,b$且$a＞b$，
∴$a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$，
将$a$、$b$代入$2a+b$得：
$\begin{aligned}2a+b&=2×(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})\\&=4+2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}\\&=6+\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$6+\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；代数式求值；实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算题型，核心考查一元二次方程的解法和二次根式的运算，解题关键是正确求出方程的两根，代入计算时注意合并同类二次根式，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
本题可分三步求解：第一步观察方程形式为完全平方式等于正数，优先选用直接开平方法解一元二次方程，快速得到两个根；第二步根据题目给出的$a＞b$的大小关系，确定$a$、$b$分别对应的根；第三步将确定好的$a$、$b$代入代数式$2a+b$，按照二次根式的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解方程$(x-2)^2=3$，
两边直接开平方得：$x-2=\pm\sqrt{3}$，
移项可得方程的两根：$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$，
∵方程的两根为$a,b$且$a＞b$，
∴$a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$，
将$a$、$b$代入$2a+b$得：
$\begin{aligned}2a+b&=2×(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})\\&=4+2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}\\&=6+\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$6+\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；代数式求值；实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算题型，核心考查一元二次方程的解法和二次根式的运算，解题关键是正确求出方程的两根，代入计算时注意合并同类二次根式，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
5 用适当的方法解下列方程：
(1) $(x-2)^2=16$；
(2) $x(x-7)=8(7-x)$；
(3) $5x^2 -5x +1=0$；
(4) $9(x-2)^2-(2x+3)^2=0$。
(1) $(x-2)^2=16$；
(2) $x(x-7)=8(7-x)$；
(3) $5x^2 -5x +1=0$；
(4) $9(x-2)^2-(2x+3)^2=0$。
答案
5. (1) $x_1=-2,x_2=6$ (2) $x_1=7,x_2=-8$ (3) $x_1=\dfrac{5+\sqrt{5}}{10},x_2=\dfrac{5-\sqrt{5}}{10}$ (4) $x_1=\dfrac{3}{5},x_2=9$
解析
【分析】
解一元二次方程需先观察方程结构特征选择最优解法：1. 方程(1)左边是完全平方式，右边是非负常数，适合用直接开平方法，两边开平方转化为两个一元一次方程求解即可；2. 方程(2)左右两边含互为相反数的因式$(x-7)$和$(7-x)$，移项后提取公因式$(x-7)$，用因式分解法求解更简便；3. 方程(3)各项系数为整数且不易因式分解，用公式法求解，先算判别式再代入求根公式计算；4. 方程(4)是两个平方项的差的结构，符合平方差公式特征，利用平方差公式因式分解后求解。
【解析】
(1) 两边直接开平方，得$x-2=\pm4$
即$x-2=4$或$x-2=-4$
解得$x_1=6$，$x_2=-2$
(2) 移项，得$x(x-7)+8(x-7)=0$
提取公因式$(x-7)$，得$(x-7)(x+8)=0$
则$x-7=0$或$x+8=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-8$
(3) 由方程得$a=5$，$b=-5$，$c=1$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×5×1=5＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2×5}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{10}$
即$x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{10}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{10}$
(4) 原方程变形为$[3(x-2)]^2-(2x+3)^2=0$
由平方差公式因式分解，得$[3(x-2)+(2x+3)][3(x-2)-(2x+3)]=0$
化简得$(5x-3)(x-9)=0$
则$5x-3=0$或$x-9=0$
解得$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=9$
【答案】
(1) $x_1=-2,x_2=6$ (2) $x_1=7,x_2=-8$ (3) $x_1=\dfrac{5+\sqrt{5}}{10},x_2=\dfrac{5-\sqrt{5}}{10}$ (4) $x_1=\dfrac{3}{5},x_2=9$
【知识点】
直接开平方法、因式分解法、公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时需根据方程结构特点灵活选择最简便的解法，减少计算量、提升准确率，注意不要随意约去含未知数的公因式，避免出现漏根的问题。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程需先观察方程结构特征选择最优解法：1. 方程(1)左边是完全平方式，右边是非负常数，适合用直接开平方法，两边开平方转化为两个一元一次方程求解即可；2. 方程(2)左右两边含互为相反数的因式$(x-7)$和$(7-x)$，移项后提取公因式$(x-7)$，用因式分解法求解更简便；3. 方程(3)各项系数为整数且不易因式分解，用公式法求解，先算判别式再代入求根公式计算；4. 方程(4)是两个平方项的差的结构，符合平方差公式特征，利用平方差公式因式分解后求解。
【解析】
(1) 两边直接开平方，得$x-2=\pm4$
即$x-2=4$或$x-2=-4$
解得$x_1=6$，$x_2=-2$
(2) 移项，得$x(x-7)+8(x-7)=0$
提取公因式$(x-7)$，得$(x-7)(x+8)=0$
则$x-7=0$或$x+8=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-8$
(3) 由方程得$a=5$，$b=-5$，$c=1$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×5×1=5＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2×5}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{10}$
即$x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{10}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{10}$
(4) 原方程变形为$[3(x-2)]^2-(2x+3)^2=0$
由平方差公式因式分解，得$[3(x-2)+(2x+3)][3(x-2)-(2x+3)]=0$
化简得$(5x-3)(x-9)=0$
则$5x-3=0$或$x-9=0$
解得$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=9$
【答案】
(1) $x_1=-2,x_2=6$ (2) $x_1=7,x_2=-8$ (3) $x_1=\dfrac{5+\sqrt{5}}{10},x_2=\dfrac{5-\sqrt{5}}{10}$ (4) $x_1=\dfrac{3}{5},x_2=9$
【知识点】
直接开平方法、因式分解法、公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时需根据方程结构特点灵活选择最简便的解法，减少计算量、提升准确率，注意不要随意约去含未知数的公因式，避免出现漏根的问题。
【难度系数】
0.7
6 若关于$x$的一元二次方程$3x^2 -2x +m=0$有两个根，其中一个根为$x=1$，则这两根之积为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$1$
D.$-\frac{1}{3}$
D
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$1$
D.$-\frac{1}{3}$
答案
6. D
解析
【分析】
解题可分两步进行：第一步，根据一元二次方程根的定义，已知的根必然满足方程，将x=1代入原方程即可求出参数m的值；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项除以二次项系数，代入对应数值就能得到结果，该方法比先求另一个根再计算乘积更简便。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$3x^2 -2x +m=0$的根，
∴将x=1代入方程得：$3×1^2 -2×1 +m=0$，
计算得：$3-2+m=0$，解得$m=-1$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，
本题中$a=3$，常数项$c=m=-1$，
∴两根之积为$\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，考查核心性质的直接应用，熟练掌握方程根的含义和韦达定理即可快速完成求解。
【难度系数】
0.8
解题可分两步进行：第一步，根据一元二次方程根的定义，已知的根必然满足方程，将x=1代入原方程即可求出参数m的值；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项除以二次项系数，代入对应数值就能得到结果，该方法比先求另一个根再计算乘积更简便。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$3x^2 -2x +m=0$的根，
∴将x=1代入方程得：$3×1^2 -2×1 +m=0$，
计算得：$3-2+m=0$，解得$m=-1$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，
本题中$a=3$，常数项$c=m=-1$，
∴两根之积为$\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，考查核心性质的直接应用，熟练掌握方程根的含义和韦达定理即可快速完成求解。
【难度系数】
0.8
7 [2025 内江]若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + 2x + 1 = 0$有实数根，则实数$a$的取值范围是（
A.$a ≤ 2$
B.$a ＜ 2$
C.$a ≤ 2$且$a ≠ 1$
D.$a ＜ 2$且$a ≠ 1$
C
）A.$a ≤ 2$
B.$a ＜ 2$
C.$a ≤ 2$且$a ≠ 1$
D.$a ＜ 2$且$a ≠ 1$
答案
7. C
解析
【分析】
要解决本题，需抓住两个核心限制条件：①题干明确该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有实数根，说明根的判别式大于等于0。我们先分别根据这两个条件列出关于a的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵关于x的方程$(a-1)x^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
∵该一元二次方程有实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 ≥ 0$
整理得：$4 - 4a + 4 ≥ 0$
即$8 - 4a ≥ 0$
解得$a ≤ 2$
综上，a的取值范围为$a ≤ 2$且$a ≠ 1$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的高频考点题型，易错点是忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含前提，仅通过判别式求解得到$a≤2$从而错选A。解题时要注意审题，抓住题干中的限定条件，避免遗漏隐含要求。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需抓住两个核心限制条件：①题干明确该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有实数根，说明根的判别式大于等于0。我们先分别根据这两个条件列出关于a的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵关于x的方程$(a-1)x^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
∵该一元二次方程有实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 ≥ 0$
整理得：$4 - 4a + 4 ≥ 0$
即$8 - 4a ≥ 0$
解得$a ≤ 2$
综上，a的取值范围为$a ≤ 2$且$a ≠ 1$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的高频考点题型，易错点是忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含前提，仅通过判别式求解得到$a≤2$从而错选A。解题时要注意审题，抓住题干中的限定条件，避免遗漏隐含要求。
【难度系数】
0.7
8 [2025宿豫段考]已知一次函数$y=kx+b$的大致图象如图所示，则关于$x$的一元二次方程$x^2 -2x -kb +1=0$的根的情况是
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.有一个根是0
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.有一个根是0
答案
8. B 【解析】根据图象可得$k＞0,b＜0,∴ kb＜0.∵ Δ=(-2)^2-4×1×(-kb+1)=4+4kb-4=4kb＜0,∴$ 方程没有实数根.
解析
【分析】
解题分两步思考：第一步先分析一次函数图象特征，图象从左下向右上倾斜说明斜率$k＞0$，图象和$y$轴交点在负半轴说明截距$b＜0$，可推出$kb＜0$；第二步回忆一元二次方程根的情况由根的判别式$\Delta$决定，计算并化简$\Delta$，结合$kb$的符号判断$\Delta$与0的大小关系，就能得到方程根的情况。
【解析】
解：根据一次函数$y=kx+b$的图象可得：
函数图象上升，因此$k＞0$；图象与$y$轴交于负半轴，因此$b＜0$，故$kb＜0$。
对于一元二次方程$x^2 -2x -kb +1=0$，其中$a=1$，一次项系数为$-2$，常数项$c=-kb+1$，
根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2)^2 - 4 × 1 × (-kb +1) \\&=4 +4kb -4 \\&=4kb\end{aligned}$
$\because kb＜0$，$\therefore \Delta=4kb＜0$，因此该一元二次方程没有实数根。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象与性质；一元二次方程根的判别式；有理数乘法符号法则
【点评】
本题属于函数与方程结合的基础题型，解题核心是先通过一次函数图象得到$k$、$b$的符号，再正确计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况即可。
【难度系数】
0.7
解题分两步思考：第一步先分析一次函数图象特征，图象从左下向右上倾斜说明斜率$k＞0$，图象和$y$轴交点在负半轴说明截距$b＜0$，可推出$kb＜0$；第二步回忆一元二次方程根的情况由根的判别式$\Delta$决定，计算并化简$\Delta$，结合$kb$的符号判断$\Delta$与0的大小关系，就能得到方程根的情况。
【解析】
解：根据一次函数$y=kx+b$的图象可得：
函数图象上升，因此$k＞0$；图象与$y$轴交于负半轴，因此$b＜0$，故$kb＜0$。
对于一元二次方程$x^2 -2x -kb +1=0$，其中$a=1$，一次项系数为$-2$，常数项$c=-kb+1$，
根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2)^2 - 4 × 1 × (-kb +1) \\&=4 +4kb -4 \\&=4kb\end{aligned}$
$\because kb＜0$，$\therefore \Delta=4kb＜0$，因此该一元二次方程没有实数根。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象与性质；一元二次方程根的判别式；有理数乘法符号法则
【点评】
本题属于函数与方程结合的基础题型，解题核心是先通过一次函数图象得到$k$、$b$的符号，再正确计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况即可。
【难度系数】
0.7
