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5 某水果商店销售一种进价为 40 元/kg 的优质水果.若售价为 50 元/kg,则一个月可售出 500 kg;若售价在 50 元/kg 的基础上每涨价 1 元/kg,则月销售量就减少 10 kg.设这种水果的售价为 x 元/kg.若要使月利润为 8750 元,则可列方程为
$x^2-140x+4\ 875=0$
(结果化为一般形式).答案
5. $x^2-140x+4\ 875=0$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆销售利润问题的核心等量关系：月总利润=每千克水果的利润×月销售量。我们分两步找对应的量：第一步，先计算每千克的利润，用售价减去进价即可；第二步，计算对应售价下的月销售量，根据“售价每涨1元，月销量减10kg”，结合原价50元时的销量500kg，就能得到售价为x时的销量。最后将两个量相乘等于总利润8750，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
1. 计算每千克水果的利润：
已知进价为40元/kg，售价为x元/kg，因此每千克利润为$(x-40)$元。
2. 计算售价为x元/kg时的月销售量：
售价为50元/kg时销量为500kg，售价每涨1元，销量减少10kg，因此售价为x元时，相比50元上涨了$(x-50)$元，减少的销量为$10(x-50)$kg，实际月销售量为：
$500 - 10(x-50) = 1000 - 10x$（kg）
3. 根据总利润列方程并化简：
由月总利润为8750元，可得：
$(x-40)(1000-10x)=8750$
展开左边：$1000x - 10x^2 - 40000 + 400x = 8750$
合并同类项：$-10x^2 + 1400x - 40000 = 8750$
移项后两边同时除以$-10$整理为一般形式：$x^2 - 140x + 4875 = 0$
【答案】
$x^2-140x+4875=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 销售利润问题等量关系
【点评】
本题属于销售类方程基础应用题，解题核心是准确梳理单价、销量、利润三者之间的对应关系，列方程后注意按照一元二次方程一般形式的要求化简，计算过程中要注意符号问题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆销售利润问题的核心等量关系：月总利润=每千克水果的利润×月销售量。我们分两步找对应的量：第一步，先计算每千克的利润，用售价减去进价即可；第二步，计算对应售价下的月销售量，根据“售价每涨1元，月销量减10kg”，结合原价50元时的销量500kg，就能得到售价为x时的销量。最后将两个量相乘等于总利润8750，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
1. 计算每千克水果的利润：
已知进价为40元/kg，售价为x元/kg，因此每千克利润为$(x-40)$元。
2. 计算售价为x元/kg时的月销售量：
售价为50元/kg时销量为500kg，售价每涨1元，销量减少10kg，因此售价为x元时，相比50元上涨了$(x-50)$元，减少的销量为$10(x-50)$kg，实际月销售量为：
$500 - 10(x-50) = 1000 - 10x$（kg）
3. 根据总利润列方程并化简：
由月总利润为8750元，可得：
$(x-40)(1000-10x)=8750$
展开左边：$1000x - 10x^2 - 40000 + 400x = 8750$
合并同类项：$-10x^2 + 1400x - 40000 = 8750$
移项后两边同时除以$-10$整理为一般形式：$x^2 - 140x + 4875 = 0$
【答案】
$x^2-140x+4875=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 销售利润问题等量关系
【点评】
本题属于销售类方程基础应用题，解题核心是准确梳理单价、销量、利润三者之间的对应关系，列方程后注意按照一元二次方程一般形式的要求化简，计算过程中要注意符号问题。
【难度系数】
0.7
6 一批小型西瓜以2元/kg的价格购进，以3元/kg的价格售出，每天可售出200 kg.某经营户决定降价促销，经调查发现，当每降价0.1元/kg时，每天可多售出40 kg.另外，每天的房租等固定成本为24元.若该经营户要想每天盈利200元，则小型西瓜应降价
0.2或0.3
元/kg.答案
6. 0.2或0.3
【解析】设小型西瓜应降价x元/kg.根据题意,得$[(3-2)-x](200+\frac{40x}{0.1})-24=200,$即$50x^2-25x+3=0,$解得$x_1=0.2,x_2=0.3.$
∴ 小型西瓜应降价0.2元/kg或0.3元/kg.
【解析】设小型西瓜应降价x元/kg.根据题意,得$[(3-2)-x](200+\frac{40x}{0.1})-24=200,$即$50x^2-25x+3=0,$解得$x_1=0.2,x_2=0.3.$
∴ 小型西瓜应降价0.2元/kg或0.3元/kg.
解析
【分析】
本题属于利润类实际应用问题，解题核心是抓住“总盈利=每千克利润×销售总量 - 固定成本”这一等量关系。首先设降价x元/kg：第一步求降价后的每千克利润，原本每千克利润为3-2=1元，降价x元后每千克利润为(1-x)元；第二步求降价后的销售总量，每降价0.1元多售40kg，降价x元后多售出的重量为$\frac{x}{0.1}×40$kg，加上原本的200kg即为总销售量；第三步结合固定成本24元、目标盈利200元，代入等量关系列一元二次方程，最后解方程并验证解是否符合实际情况即可。
【解析】
设小型西瓜应降价x元/kg，根据题意列方程：
$[(3-2)-x](200+\frac{40x}{0.1})-24=200$
化简得：
$(1-x)(200+400x)-24=200$
展开整理：
$200+200x-400x^2-24=200$
移项合并同类项得：
$50x^2-25x+3=0$
解方程得：
$x_1=0.2，x_2=0.3$
经检验，两个解均符合降价的实际要求，均成立。
【答案】
0.2或0.3
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 利润问题计算
【点评】
本题是典型的市场营销类利润应用题，解题关键是找准总利润的等量关系，正确表示出降价后的单位利润和销售总量，求解后要注意验证解是否符合实际意义，本题两个解均满足实际要求，需全部保留。
【难度系数】
0.6
本题属于利润类实际应用问题，解题核心是抓住“总盈利=每千克利润×销售总量 - 固定成本”这一等量关系。首先设降价x元/kg：第一步求降价后的每千克利润，原本每千克利润为3-2=1元，降价x元后每千克利润为(1-x)元；第二步求降价后的销售总量，每降价0.1元多售40kg，降价x元后多售出的重量为$\frac{x}{0.1}×40$kg，加上原本的200kg即为总销售量；第三步结合固定成本24元、目标盈利200元，代入等量关系列一元二次方程，最后解方程并验证解是否符合实际情况即可。
【解析】
设小型西瓜应降价x元/kg，根据题意列方程：
$[(3-2)-x](200+\frac{40x}{0.1})-24=200$
化简得：
$(1-x)(200+400x)-24=200$
展开整理：
$200+200x-400x^2-24=200$
移项合并同类项得：
$50x^2-25x+3=0$
解方程得：
$x_1=0.2，x_2=0.3$
经检验，两个解均符合降价的实际要求，均成立。
【答案】
0.2或0.3
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 利润问题计算
【点评】
本题是典型的市场营销类利润应用题，解题关键是找准总利润的等量关系，正确表示出降价后的单位利润和销售总量，求解后要注意验证解是否符合实际意义，本题两个解均满足实际要求，需全部保留。
【难度系数】
0.6
7 某烘焙店生产的蛋糕分为六个档次，第一档次（即最低档次）的蛋糕每天生产76件，每件的利润为10元. 经调查表明：每生产高一个档次的蛋糕，该蛋糕每件的利润增加2元.
（1）若生产的某批次蛋糕每件的利润为14元，则此批次蛋糕属于第几档次蛋糕？
（2）由于生产工序的不同，蛋糕每提高一个档次，一天的产量会减少4件. 若生产的某档次蛋糕一天的总利润为1080元，则该烘焙店生产的是第几档次的蛋糕？
（1）若生产的某批次蛋糕每件的利润为14元，则此批次蛋糕属于第几档次蛋糕？
（2）由于生产工序的不同，蛋糕每提高一个档次，一天的产量会减少4件. 若生产的某档次蛋糕一天的总利润为1080元，则该烘焙店生产的是第几档次的蛋糕？
答案
7. (1) $(14-10)÷2+1=3$(档次).答:此批次蛋糕属于第三档次蛋糕
(2) 设该烘焙店生产的是第x档次的蛋糕.根据题意,得$[2(x-1)+10]×[76-4(x-1)]=1\ 080,$解得$x_1=5,x_2=11$(不合题意,舍去).答:该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕
(2) 设该烘焙店生产的是第x档次的蛋糕.根据题意,得$[2(x-1)+10]×[76-4(x-1)]=1\ 080,$解得$x_1=5,x_2=11$(不合题意,舍去).答:该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕
解析
【分析】
（1）首先明确档次与单件利润的对应规律：第1档次（最低档）单件利润10元，每提升1个档次，单件利润增加2元。要计算单件利润14元对应的档次，先算出比最低档多出的利润，再除以每档增加的2元得到提升的档数，最后加1（从第1档起算）即可得到对应档次。
（2）总利润的核心等量关系为：总利润=单件利润×当日产量。设该批次为第x档次的蛋糕，先分别用含x的代数式表示该档次的单件利润和日产量：单件利润在10元基础上每高1档加2元，即$10+2(x-1)$；日产量在76件基础上每高1档减4件，即$76-4(x-1)$。代入总利润1080元列一元二次方程求解，注意蛋糕总共只有6个档次，超出范围的解要舍去。
【解析】
（1）该批次蛋糕比最低档多的利润为：$14-10=4$元
每提升1档利润增加2元，提升的档数为：$4÷2=2$档
对应档次为：$2+1=3$（档次）
答：此批次蛋糕属于第三档次蛋糕。
（2）设该烘焙店生产的是第x档次的蛋糕，根据题意列方程：
$[2(x-1)+10]×[76-4(x-1)]=1080$
整理化简得：$x^2-16x+55=0$
因式分解得：$(x-5)(x-11)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=11$
由于蛋糕共6个档次，$x_2=11＞6$，不符合题意，舍去。
答：该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕。
【答案】
（1）第三档次；（2）第五档次
【知识点】
利润问题计算，一元二次方程应用，实际解的取舍
【点评】
本题结合经营场景命题，是利润类应用题的典型考法，解题核心是准确梳理档次、单件利润、产量之间的数量关系，找准等量关系列方程，同时要注意结合题干给定的限制条件舍去不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确档次与单件利润的对应规律：第1档次（最低档）单件利润10元，每提升1个档次，单件利润增加2元。要计算单件利润14元对应的档次，先算出比最低档多出的利润，再除以每档增加的2元得到提升的档数，最后加1（从第1档起算）即可得到对应档次。
（2）总利润的核心等量关系为：总利润=单件利润×当日产量。设该批次为第x档次的蛋糕，先分别用含x的代数式表示该档次的单件利润和日产量：单件利润在10元基础上每高1档加2元，即$10+2(x-1)$；日产量在76件基础上每高1档减4件，即$76-4(x-1)$。代入总利润1080元列一元二次方程求解，注意蛋糕总共只有6个档次，超出范围的解要舍去。
【解析】
（1）该批次蛋糕比最低档多的利润为：$14-10=4$元
每提升1档利润增加2元，提升的档数为：$4÷2=2$档
对应档次为：$2+1=3$（档次）
答：此批次蛋糕属于第三档次蛋糕。
（2）设该烘焙店生产的是第x档次的蛋糕，根据题意列方程：
$[2(x-1)+10]×[76-4(x-1)]=1080$
整理化简得：$x^2-16x+55=0$
因式分解得：$(x-5)(x-11)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=11$
由于蛋糕共6个档次，$x_2=11＞6$，不符合题意，舍去。
答：该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕。
【答案】
（1）第三档次；（2）第五档次
【知识点】
利润问题计算，一元二次方程应用，实际解的取舍
【点评】
本题结合经营场景命题，是利润类应用题的典型考法，解题核心是准确梳理档次、单件利润、产量之间的数量关系，找准等量关系列方程，同时要注意结合题干给定的限制条件舍去不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
8 某电商在网上对一款成本为每件40元的商品进行销售，如果按每件60元的价格销售，那么每天可售出20件。通过市场调查发现，每件商品的售价每降低5元，日销售量就增加10件。
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件商品的售价应定为多少元？
（2）张叔叔的线下实体商店也销售同款商品，标价为每件62.5元。为提高市场竞争力，促进线下销售，张叔叔决定对该款商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该款商品至少需打几折销售？
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件商品的售价应定为多少元？
（2）张叔叔的线下实体商店也销售同款商品，标价为每件62.5元。为提高市场竞争力，促进线下销售，张叔叔决定对该款商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该款商品至少需打几折销售？
答案
8. (1) 设每件商品的售价定为x元,则每件商品的利润为$(x-40)$元,日销售量为$20+\frac{10(60-x)}{5}=(140-2x)$件.根据题意,得$(x-40)(140-2x)=(60-40)×20.$整理,得$x^2-110x+3\ 000=0,$解得$x_1=50,x_2=60.$
∵ 商家想尽快销售完该款商品,$\therefore x=50.$答:每件商品的售价应定为50元
(2) 设该款商品打a折销售.根据题意,得$62.5×\frac{a}{10}≤50,$解得$a≤8.$答:该款商品至少需打8折销售
∵ 商家想尽快销售完该款商品,$\therefore x=50.$答:每件商品的售价应定为50元
(2) 设该款商品打a折销售.根据题意,得$62.5×\frac{a}{10}≤50,$解得$a≤8.$答:该款商品至少需打8折销售
解析
【分析】
本题属于销售类实际应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问核心是利用“总利润=单件利润×销售量”的等量关系求解。首先计算原售价下的日总利润，再设降价后的售价为x元，分别表示出降价后的单件利润、日销售量，结合日利润不变列一元二次方程，最后根据“尽快销售完商品”（即销量尽可能大，对应售价尽可能低）的要求筛选合适的解即可。
2. 第(2)问核心是找准不等关系：打折后售价≤(1)中所求售价。明确打折计算规则（实际售价=标价×折扣数/10），列一元一次不等式求解即可得到最低折扣要求。
【解析】
(1) 设每件商品的售价定为x元，则每件商品的利润为$(x-40)$元，日销售量为$20+\frac{10(60-x)}{5}=(140-2x)$件。
原售价下的日利润为$(60-40)×20=400$元，根据日利润保持不变，列方程得：
$(x-40)(140-2x)=400$
整理，得$x^2-110x+3000=0$
解得$x_1=50,x_2=60$
∵ 商家想尽快销售完该款商品，售价越低日销量越高，
∴ 舍去$x=60$，取$x=50$。
(2) 设该款商品打a折销售，根据销售价格不超过50元，列不等式得：
$62.5×\frac{a}{10}≤50$
解得$a≤8$，即最低折扣为8折。
【答案】
(1) 每件商品的售价应定为50元；(2) 该款商品至少需打8折销售。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，销售利润问题
【点评】
本题是常见的销售类应用题，既考查了方程和不等式的列式求解能力，也要求结合实际场景对解的合理性进行判断，贴合生活实际，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题属于销售类实际应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问核心是利用“总利润=单件利润×销售量”的等量关系求解。首先计算原售价下的日总利润，再设降价后的售价为x元，分别表示出降价后的单件利润、日销售量，结合日利润不变列一元二次方程，最后根据“尽快销售完商品”（即销量尽可能大，对应售价尽可能低）的要求筛选合适的解即可。
2. 第(2)问核心是找准不等关系：打折后售价≤(1)中所求售价。明确打折计算规则（实际售价=标价×折扣数/10），列一元一次不等式求解即可得到最低折扣要求。
【解析】
(1) 设每件商品的售价定为x元，则每件商品的利润为$(x-40)$元，日销售量为$20+\frac{10(60-x)}{5}=(140-2x)$件。
原售价下的日利润为$(60-40)×20=400$元，根据日利润保持不变，列方程得：
$(x-40)(140-2x)=400$
整理，得$x^2-110x+3000=0$
解得$x_1=50,x_2=60$
∵ 商家想尽快销售完该款商品，售价越低日销量越高，
∴ 舍去$x=60$，取$x=50$。
(2) 设该款商品打a折销售，根据销售价格不超过50元，列不等式得：
$62.5×\frac{a}{10}≤50$
解得$a≤8$，即最低折扣为8折。
【答案】
(1) 每件商品的售价应定为50元；(2) 该款商品至少需打8折销售。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，销售利润问题
【点评】
本题是常见的销售类应用题，既考查了方程和不等式的列式求解能力，也要求结合实际场景对解的合理性进行判断，贴合生活实际，难度适中。
【难度系数】
0.7
