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9（易错题）[2025广元]若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 + (a-1)x - \frac{1}{2}=0$有两个相等的实数根，则a的值为
$-1$
。答案
9. $-1$
【易错分析】
解答本题时容易忽视一元二次方程的二次项系数不能为0这一隐含条件.
【易错分析】
解答本题时容易忽视一元二次方程的二次项系数不能为0这一隐含条件.
解析
【分析】
要解决本题，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个要点思考：① 题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是隐含前提；② 方程有两个相等的实数根，说明根的判别式Δ=0。先根据这两个条件分别列关系式，再求解参数a，最后排除不符合前提的解即可。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2 + (a-1)x - \frac{1}{2}=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a-1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$a-1$，常数项为$-\frac{1}{2}$
代入得：
$\Delta = (a-1)^2 - 4 × (a-1) × (-\frac{1}{2}) = 0$
化简得：
$(a-1)^2 + 2(a-1) = 0$
提取公因式$(a-1)$得：
$(a-1)(a-1 + 2) = 0$
即$(a-1)(a+1) = 0$
解得$a=1$或$a=-1$
结合前提$a ≠ 1$，舍去$a=1$
∴ $a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式、因式分解解方程
【点评】
本题属于易错题，解题时不能仅根据判别式等于0求解参数，要注意一元二次方程的二次项系数不为0这一隐含条件，求出参数后代入检验是否符合前提，避免出现增根。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个要点思考：① 题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是隐含前提；② 方程有两个相等的实数根，说明根的判别式Δ=0。先根据这两个条件分别列关系式，再求解参数a，最后排除不符合前提的解即可。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2 + (a-1)x - \frac{1}{2}=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a-1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$a-1$，常数项为$-\frac{1}{2}$
代入得：
$\Delta = (a-1)^2 - 4 × (a-1) × (-\frac{1}{2}) = 0$
化简得：
$(a-1)^2 + 2(a-1) = 0$
提取公因式$(a-1)$得：
$(a-1)(a-1 + 2) = 0$
即$(a-1)(a+1) = 0$
解得$a=1$或$a=-1$
结合前提$a ≠ 1$，舍去$a=1$
∴ $a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式、因式分解解方程
【点评】
本题属于易错题，解题时不能仅根据判别式等于0求解参数，要注意一元二次方程的二次项系数不为0这一隐含条件，求出参数后代入检验是否符合前提，避免出现增根。
【难度系数】
0.5
10 [2024 泸州]已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的两个实数根，则$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2$的值是
$14$
.答案
10. 14 【解析】$∵ x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-3x-5=0$的两个实数根，$∴ x_1+x_2=3,x_1x_2=-5,∴ (x_1-x_2)^2+3x_1x_2=x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-x_1x_2=3^2-(-5)=14$.
解析
【分析】
遇到一元二次方程两根的代数式求值问题，优先用根与系数的关系（韦达定理）求解。第一步先根据方程求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$的值；第二步利用完全平方公式对待求式变形，转化为只含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步代入数值计算即可得到结果。
【解析】
$\because x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的两个实数根，
$\therefore$根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-5$，
对待求式变形：
$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + 3x_1x_2 = x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2$
再结合完全平方公式变形得：$x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - x_1x_2$，
代入数值计算：$3^2 - (-5) = 9 +5 =14$。
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是基础常考题，核心考查根与系数关系的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的常见变形，无需解方程求根即可快速求解，能有效考查代数式恒等变形的能力。
【难度系数】
0.8
遇到一元二次方程两根的代数式求值问题，优先用根与系数的关系（韦达定理）求解。第一步先根据方程求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$的值；第二步利用完全平方公式对待求式变形，转化为只含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步代入数值计算即可得到结果。
【解析】
$\because x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的两个实数根，
$\therefore$根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-5$，
对待求式变形：
$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + 3x_1x_2 = x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2$
再结合完全平方公式变形得：$x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - x_1x_2$，
代入数值计算：$3^2 - (-5) = 9 +5 =14$。
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是基础常考题，核心考查根与系数关系的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的常见变形，无需解方程求根即可快速求解，能有效考查代数式恒等变形的能力。
【难度系数】
0.8
11 [2025 泸州]若一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为$α,β$,则$2α^2 -3α +3β$的值为
$10$
.答案
11. 10 【解析】将$x=α$代入，得$2α^2-6α-1=0,∴ 2α^2-6α=1$.
$∵$ 一元二次方程$2x^2-6x-1=0$的两根为$α,β,∴ α+β=3$，
$∴ 2α^2-3α+3β=(2α^2-6α)+3(α+β)=1+3×3=10$.
$∵$ 一元二次方程$2x^2-6x-1=0$的两根为$α,β,∴ α+β=3$，
$∴ 2α^2-3α+3β=(2α^2-6α)+3(α+β)=1+3×3=10$.
解析
【分析】
拿到题目后，首先观察所求代数式包含α的二次项和α、β的一次项，可按以下思路解题：第一步，利用一元二次方程根的定义，将α代入原方程得到关于α的二次式与一次式的关系，实现降次；第二步，因为代数式同时出现两根α、β，结合根与系数的关系求出α+β的值；第三步，将所求代数式合理拆分，凑出已知的“2α²-6α”和“α+β”的形式，整体代入计算即可，无需算出α、β的具体值，简化运算。
【解析】
∵α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根，
∴将$x=α$代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，即$2α^2 -6α=1$。
又
∵α、β是方程$2x^2 -6x -1=0$的两根，根据根与系数的关系可得：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{2}=3$。
对所求代数式变形：
$2α^2 -3α +3β = (2α^2 -6α) + 3α + 3β = (2α^2 -6α) + 3(α+β)$
将$2α^2 -6α=1$，$α+β=3$代入上式得：
原式$=1 + 3×3 = 1+9=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式变形求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，解题核心是通过根的定义降次、结合根与系数的关系，用整体代入的方法求值，规避了直接求解方程根的繁琐运算，技巧性较强但解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
拿到题目后，首先观察所求代数式包含α的二次项和α、β的一次项，可按以下思路解题：第一步，利用一元二次方程根的定义，将α代入原方程得到关于α的二次式与一次式的关系，实现降次；第二步，因为代数式同时出现两根α、β，结合根与系数的关系求出α+β的值；第三步，将所求代数式合理拆分，凑出已知的“2α²-6α”和“α+β”的形式，整体代入计算即可，无需算出α、β的具体值，简化运算。
【解析】
∵α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根，
∴将$x=α$代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，即$2α^2 -6α=1$。
又
∵α、β是方程$2x^2 -6x -1=0$的两根，根据根与系数的关系可得：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{2}=3$。
对所求代数式变形：
$2α^2 -3α +3β = (2α^2 -6α) + 3α + 3β = (2α^2 -6α) + 3(α+β)$
将$2α^2 -6α=1$，$α+β=3$代入上式得：
原式$=1 + 3×3 = 1+9=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式变形求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，解题核心是通过根的定义降次、结合根与系数的关系，用整体代入的方法求值，规避了直接求解方程根的繁琐运算，技巧性较强但解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
12 已知关于x的一元二次方程$x^2 - 6x + m + 4 = 0$有两个实数根$x_1, x_2$.
（1）求m的取值范围；
（2）若$x_1, x_2$满足$3x_1 = |x_2| + 2$，求m的值.
（1）求m的取值范围；
（2）若$x_1, x_2$满足$3x_1 = |x_2| + 2$，求m的值.
答案
12. (1) 由题意，得$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4(m+4)=20-4m≥0$,解得$m≤5.∴ m$的取值范围是$m≤5$
(2) 根据题意，得$x_1+x_2=6①$，$x_1x_2=m+4②.∵ 3x_1=|x_2|+2,∴$ 当$x_2≥0$时，有$3x_1=x_2+2③$。
联立①③，解得$x_1=2,x_2=4$.代入②，得$2×4=m+4$,解得$m=4$.当$x_2＜0$时，有$3x_1=-x_2+2④$.联立①④，解得$x_1=-2,x_2=8$(不合题意，舍去).综上所述，$m$的值为4
(2) 根据题意，得$x_1+x_2=6①$，$x_1x_2=m+4②.∵ 3x_1=|x_2|+2,∴$ 当$x_2≥0$时，有$3x_1=x_2+2③$。
联立①③，解得$x_1=2,x_2=4$.代入②，得$2×4=m+4$,解得$m=4$.当$x_2＜0$时，有$3x_1=-x_2+2④$.联立①④，解得$x_1=-2,x_2=8$(不合题意，舍去).综上所述，$m$的值为4
解析
【分析】
（1）一元二次方程有两个实数根的核心判定依据是根的判别式Δ≥0，解题时先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式公式列出关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围。
（2）已知两根的数量关系且含绝对值，首先利用根与系数的关系得到两根之和的固定值，再针对绝对值的取值分$x_2≥0$和$x_2＜0$两种情况去掉绝对值符号，分别和两根之和的等式联立求解两根的值，代入两根之积的表达式求出m后，验证是否符合分类前提和第一问的取值范围，舍去不合理解即可。
【解析】
(1) 已知一元二次方程$x^2 - 6x + m + 4 = 0$有两个实数根，因此根的判别式$\Delta ≥ 0$。
其中$a=1$，$b=-6$，$c=m+4$，代入判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×1×(m+4) = 36 - 4m - 16 = 20 - 4m$
令$\Delta ≥ 0$，即$20 - 4m ≥ 0$，解得$m ≤ 5$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 6$ ①，$x_1x_2 = m + 4$ ②
已知$3x_1 = |x_2| + 2$，分两种情况讨论：
①当$x_2 ≥ 0$时，$|x_2|=x_2$，等式化为$3x_1 = x_2 + 2$ ③
联立①③，将$x_2 = 6 - x_1$代入③，得$3x_1 = 6 - x_1 + 2$，解得$x_1=2$，$x_2=4$
代入②得$2×4 = m + 4$，解得$m=4$，符合$m ≤ 5$的要求。
②当$x_2 ＜ 0$时，$|x_2|=-x_2$，等式化为$3x_1 = -x_2 + 2$ ④
联立①④，将$x_2 = 6 - x_1$代入④，得$3x_1 = -(6 - x_1) + 2$，解得$x_1=-2$，$x_2=8$
此时$x_2=8＞0$，与$x_2＜0$的前提矛盾，该组解舍去。
综上，m的值为4。
【答案】
(1) $m≤5$；(2) $m=4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 绝对值分类讨论
【点评】
本题综合考察一元二次方程的核心性质，解题时要注意以方程有实根为前提，处理带绝对值的表达式时需全面分类，得出结果后要验证是否符合条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
（1）一元二次方程有两个实数根的核心判定依据是根的判别式Δ≥0，解题时先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式公式列出关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围。
（2）已知两根的数量关系且含绝对值，首先利用根与系数的关系得到两根之和的固定值，再针对绝对值的取值分$x_2≥0$和$x_2＜0$两种情况去掉绝对值符号，分别和两根之和的等式联立求解两根的值，代入两根之积的表达式求出m后，验证是否符合分类前提和第一问的取值范围，舍去不合理解即可。
【解析】
(1) 已知一元二次方程$x^2 - 6x + m + 4 = 0$有两个实数根，因此根的判别式$\Delta ≥ 0$。
其中$a=1$，$b=-6$，$c=m+4$，代入判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×1×(m+4) = 36 - 4m - 16 = 20 - 4m$
令$\Delta ≥ 0$，即$20 - 4m ≥ 0$，解得$m ≤ 5$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 6$ ①，$x_1x_2 = m + 4$ ②
已知$3x_1 = |x_2| + 2$，分两种情况讨论：
①当$x_2 ≥ 0$时，$|x_2|=x_2$，等式化为$3x_1 = x_2 + 2$ ③
联立①③，将$x_2 = 6 - x_1$代入③，得$3x_1 = 6 - x_1 + 2$，解得$x_1=2$，$x_2=4$
代入②得$2×4 = m + 4$，解得$m=4$，符合$m ≤ 5$的要求。
②当$x_2 ＜ 0$时，$|x_2|=-x_2$，等式化为$3x_1 = -x_2 + 2$ ④
联立①④，将$x_2 = 6 - x_1$代入④，得$3x_1 = -(6 - x_1) + 2$，解得$x_1=-2$，$x_2=8$
此时$x_2=8＞0$，与$x_2＜0$的前提矛盾，该组解舍去。
综上，m的值为4。
【答案】
(1) $m≤5$；(2) $m=4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 绝对值分类讨论
【点评】
本题综合考察一元二次方程的核心性质，解题时要注意以方程有实根为前提，处理带绝对值的表达式时需全面分类，得出结果后要验证是否符合条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
13 [2024绵阳]超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元/盒.因销量持续攀升，超市在3月提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月售价的基础上，4，5月按照相同的降价率r连续降价.已知5月礼盒的售价为486元/盒，则r的值为
$10\%$
.答案
13. $10\%$
解析
【分析】
解题时首先明确每次价格调整的基数：第一步先计算3月提价后的售价，提价20%是在原价500元的基础上上涨，因此3月售价为原价乘(1+20%)；第二步4、5月是在3月售价的基础上连续两次降价，降价率均为r，因此连续两次降价后的售价为3月售价乘(1-r)²，结合5月售价为486元的已知条件列一元二次方程求解即可，最后要注意降价率需符合实际意义，舍去不合理的解。
【解析】
1. 计算3月提价后的售价：
$500×(1+20\%)=600$（元/盒）
2. 根据连续两次降价的规律列方程：
$600(1-r)^2=486$
3. 解方程：
两边同时除以600得：$(1-r)^2=0.81$
开平方得：$1-r=\pm0.9$
结合实际意义，降价率$0＜r＜1$，因此$1-r＞0$，取正根：
$1-r=0.9$
解得：$r=0.1=10\%$
舍去$1-r=-0.9$（此时$r=1.9$不符合降价率的实际范围）
【答案】
$10\%$
【知识点】
1. 降价率问题
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的连续变化率类应用题，解题核心是找准每次价格调整的基准量，按照变化规律正确列方程，同时要注意结合实际情境对方程的解进行取舍，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确每次价格调整的基数：第一步先计算3月提价后的售价，提价20%是在原价500元的基础上上涨，因此3月售价为原价乘(1+20%)；第二步4、5月是在3月售价的基础上连续两次降价，降价率均为r，因此连续两次降价后的售价为3月售价乘(1-r)²，结合5月售价为486元的已知条件列一元二次方程求解即可，最后要注意降价率需符合实际意义，舍去不合理的解。
【解析】
1. 计算3月提价后的售价：
$500×(1+20\%)=600$（元/盒）
2. 根据连续两次降价的规律列方程：
$600(1-r)^2=486$
3. 解方程：
两边同时除以600得：$(1-r)^2=0.81$
开平方得：$1-r=\pm0.9$
结合实际意义，降价率$0＜r＜1$，因此$1-r＞0$，取正根：
$1-r=0.9$
解得：$r=0.1=10\%$
舍去$1-r=-0.9$（此时$r=1.9$不符合降价率的实际范围）
【答案】
$10\%$
【知识点】
1. 降价率问题
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的连续变化率类应用题，解题核心是找准每次价格调整的基准量，按照变化规律正确列方程，同时要注意结合实际情境对方程的解进行取舍，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
14 新考向 探究题 某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形.如图，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程$l$(cm)与时间$t$(s)满足关系：$l=\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t(t≥0)$，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆弧的长度为21 cm.
（1）求甲运动4 s的路程.
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了多长时间？
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇，它们运动了多长时间？
（1）求甲运动4 s的路程.
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了多长时间？
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇，它们运动了多长时间？
答案
14. (1) 当$t=4$时，$l=\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t=8+6=14,∴$ 甲运动4 s的路程是14 cm
(2) 由题图，可知甲、乙从开始运动到第一次相遇，运动的路程和为21 cm，则$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=21$,解得$t_1=3,t_2=-14$(不合题意，舍去).答:甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了3 s
(3) 由题图，可知甲、乙从开始运动到第二次相遇，运动的路程和为三个半圆弧的长，则$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=21×3$,解得$t_1=7,t_2=-18$(不合题意，舍去).答:甲、乙从开始运动到第二次相遇，它们运动了7 s
(2) 由题图，可知甲、乙从开始运动到第一次相遇，运动的路程和为21 cm，则$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=21$,解得$t_1=3,t_2=-14$(不合题意，舍去).答:甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了3 s
(3) 由题图，可知甲、乙从开始运动到第二次相遇，运动的路程和为三个半圆弧的长，则$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=21×3$,解得$t_1=7,t_2=-18$(不合题意，舍去).答:甲、乙从开始运动到第二次相遇，它们运动了7 s
解析
【分析】
（1）第一问已知甲运动的路程与时间的函数关系式，求t=4时的路程，直接将t=4代入关系式计算即可。
（2）甲顺时针、乙逆时针运动，初始位置在直径两端，第一次相遇时两人走过的路程之和刚好等于半圆弧的长度21cm，据此列出关于时间t的一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负根即可得到结果。
（3）第二次相遇时，两人除了走完最初的半圆弧，还共同走完了一整圈（即2个半圆弧），因此总路程和为3个半圆弧的长度，同理列方程求解，舍去负根得到答案。
【解析】
（1）将$t=4$代入甲的路程公式$l=\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t$：
$l=\frac{1}{2}×4^2+\frac{3}{2}×4=8+6=14\ (\mathrm{cm})$
（2）设第一次相遇时运动了$t$ s，由第一次相遇两人路程和为21 cm，列方程：
$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t +4t=21$
整理得$t^2+11t-42=0$，解得$t_1=3$，$t_2=-14$，时间为非负数，舍去$t_2=-14$。
（3）设第二次相遇时运动了$t$ s，第二次相遇两人路程和为$21×3=63\ \mathrm{cm}$，列方程：
$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t +4t=63$
整理得$t^2+11t-126=0$，解得$t_1=7$，$t_2=-18$，舍去不符合题意的负根$t_2=-18$。
【答案】
（1）甲运动4 s的路程是14 cm；
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了3 s；
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇，它们运动了7 s。
【知识点】
二次函数求值，一元二次方程的应用，行程相遇问题
【点评】
本题结合圆周运动的实际情境，考查了函数的基本应用和一元二次方程的求解，解题的关键是结合运动轨迹准确判断不同相遇阶段的路程和，同时注意求解出的根要符合实际运动的时间要求。
【难度系数】
0.7
（1）第一问已知甲运动的路程与时间的函数关系式，求t=4时的路程，直接将t=4代入关系式计算即可。
（2）甲顺时针、乙逆时针运动，初始位置在直径两端，第一次相遇时两人走过的路程之和刚好等于半圆弧的长度21cm，据此列出关于时间t的一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负根即可得到结果。
（3）第二次相遇时，两人除了走完最初的半圆弧，还共同走完了一整圈（即2个半圆弧），因此总路程和为3个半圆弧的长度，同理列方程求解，舍去负根得到答案。
【解析】
（1）将$t=4$代入甲的路程公式$l=\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t$：
$l=\frac{1}{2}×4^2+\frac{3}{2}×4=8+6=14\ (\mathrm{cm})$
（2）设第一次相遇时运动了$t$ s，由第一次相遇两人路程和为21 cm，列方程：
$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t +4t=21$
整理得$t^2+11t-42=0$，解得$t_1=3$，$t_2=-14$，时间为非负数，舍去$t_2=-14$。
（3）设第二次相遇时运动了$t$ s，第二次相遇两人路程和为$21×3=63\ \mathrm{cm}$，列方程：
$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t +4t=63$
整理得$t^2+11t-126=0$，解得$t_1=7$，$t_2=-18$，舍去不符合题意的负根$t_2=-18$。
【答案】
（1）甲运动4 s的路程是14 cm；
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了3 s；
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇，它们运动了7 s。
【知识点】
二次函数求值，一元二次方程的应用，行程相遇问题
【点评】
本题结合圆周运动的实际情境，考查了函数的基本应用和一元二次方程的求解，解题的关键是结合运动轨迹准确判断不同相遇阶段的路程和，同时注意求解出的根要符合实际运动的时间要求。
【难度系数】
0.7
