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9（易错题）[2025广元]若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 + (a-1)x - \frac{1}{2}=0$有两个相等的实数根，则a的值为
$-1$
。答案
9. $-1$
【易错分析】
解答本题时容易忽视一元二次方程的二次项系数不能为0这一隐含条件.
【易错分析】
解答本题时容易忽视一元二次方程的二次项系数不能为0这一隐含条件.
10 [2024 泸州]已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的两个实数根，则$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2$的值是
$14$
.答案
10. 14 【解析】$∵ x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-3x-5=0$的两个实数根，$∴ x_1+x_2=3,x_1x_2=-5,∴ (x_1-x_2)^2+3x_1x_2=x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-x_1x_2=3^2-(-5)=14$.
11 [2025 泸州]若一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为$α,β$,则$2α^2 -3α +3β$的值为
$10$
.答案
11. 10 【解析】将$x=α$代入，得$2α^2-6α-1=0,∴ 2α^2-6α=1$.
$∵$ 一元二次方程$2x^2-6x-1=0$的两根为$α,β,∴ α+β=3$，
$∴ 2α^2-3α+3β=(2α^2-6α)+3(α+β)=1+3×3=10$.
$∵$ 一元二次方程$2x^2-6x-1=0$的两根为$α,β,∴ α+β=3$，
$∴ 2α^2-3α+3β=(2α^2-6α)+3(α+β)=1+3×3=10$.
12 已知关于x的一元二次方程$x^2 - 6x + m + 4 = 0$有两个实数根$x_1, x_2$.
（1）求m的取值范围；
（2）若$x_1, x_2$满足$3x_1 = |x_2| + 2$，求m的值.
（1）求m的取值范围；
（2）若$x_1, x_2$满足$3x_1 = |x_2| + 2$，求m的值.
答案
12. (1) 由题意，得$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4(m+4)=20-4m≥0$,解得$m≤5.∴ m$的取值范围是$m≤5$
(2) 根据题意，得$x_1+x_2=6①$，$x_1x_2=m+4②.∵ 3x_1=|x_2|+2,∴$ 当$x_2≥0$时，有$3x_1=x_2+2③$。
联立①③，解得$x_1=2,x_2=4$.代入②，得$2×4=m+4$,解得$m=4$.当$x_2＜0$时，有$3x_1=-x_2+2④$.联立①④，解得$x_1=-2,x_2=8$(不合题意，舍去).综上所述，$m$的值为4
(2) 根据题意，得$x_1+x_2=6①$，$x_1x_2=m+4②.∵ 3x_1=|x_2|+2,∴$ 当$x_2≥0$时，有$3x_1=x_2+2③$。
联立①③，解得$x_1=2,x_2=4$.代入②，得$2×4=m+4$,解得$m=4$.当$x_2＜0$时，有$3x_1=-x_2+2④$.联立①④，解得$x_1=-2,x_2=8$(不合题意，舍去).综上所述，$m$的值为4
13 [2024绵阳]超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元/盒.因销量持续攀升，超市在3月提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月售价的基础上，4，5月按照相同的降价率r连续降价.已知5月礼盒的售价为486元/盒，则r的值为
$10\%$
.答案
13. $10\%$
14 新考向 探究题 某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形.如图，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程$l$(cm)与时间$t$(s)满足关系：$l=\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t(t≥0)$，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆弧的长度为21 cm.
（1）求甲运动4 s的路程.
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了多长时间？
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇，它们运动了多长时间？
（1）求甲运动4 s的路程.
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了多长时间？
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇，它们运动了多长时间？
答案
14. (1) 当$t=4$时，$l=\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t=8+6=14,∴$ 甲运动4 s的路程是14 cm
(2) 由题图，可知甲、乙从开始运动到第一次相遇，运动的路程和为21 cm，则$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=21$,解得$t_1=3,t_2=-14$(不合题意，舍去).答:甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了3 s
(3) 由题图，可知甲、乙从开始运动到第二次相遇，运动的路程和为三个半圆弧的长，则$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=21×3$,解得$t_1=7,t_2=-18$(不合题意，舍去).答:甲、乙从开始运动到第二次相遇，它们运动了7 s
(2) 由题图，可知甲、乙从开始运动到第一次相遇，运动的路程和为21 cm，则$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=21$,解得$t_1=3,t_2=-14$(不合题意，舍去).答:甲、乙从开始运动到第一次相遇，它们运动了3 s
(3) 由题图，可知甲、乙从开始运动到第二次相遇，运动的路程和为三个半圆弧的长，则$\frac{1}{2}t^2+\frac{3}{2}t+4t=21×3$,解得$t_1=7,t_2=-18$(不合题意，舍去).答:甲、乙从开始运动到第二次相遇，它们运动了7 s
