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15 若一个菱形的两条对角线的长分别是关于x的方程$x^2 -10x +m=0$的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为
$\sqrt{14}$
。答案
15. $\sqrt{14}$ 【解析】设菱形的两条对角线的长分别为$a,b$,则$a+b=10$.根据菱形的面积公式，得$\frac{1}{2}ab=11$,即$ab=22.∴$ 菱形的边长为$\sqrt{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^2-2ab}=\frac{1}{2}\sqrt{10^2-2×22}=\sqrt{14}$.
解析
【分析】
解题时可按以下思路推进：首先，菱形的两条对角线长是给定一元二次方程的两个实根，根据一元二次方程根与系数的关系，可直接得到两条对角线的和；其次，结合菱形面积等于对角线乘积一半的公式，可求出两条对角线的乘积；最后，菱形对角线互相垂直平分，因此边长可通过半条对角线的平方和开根号计算，此时利用完全平方公式将$a^2+b^2$转化为$(a+b)^2-2ab$，整体代入前面得到的和与积即可算出结果，无需单独求解两条对角线的具体长度，简化计算过程。
【解析】
设菱形的两条对角线的长分别为$a,b$，
∵$a,b$是方程$x^2 -10x +m=0$的两个实数根，根据韦达定理得：$a+b=10$，
根据菱形的面积公式可得：$\frac{1}{2}ab=11$，即$ab=22$，
∵菱形的对角线互相垂直平分，由勾股定理得菱形的边长为：
$\sqrt{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^2-2ab}$
将$a+b=10$、$ab=22$代入得：
$\frac{1}{2}\sqrt{10^2-2×22}=\frac{1}{2}\sqrt{100-44}=\frac{1}{2}\sqrt{56}=\sqrt{14}$
【答案】
$\sqrt{14}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 菱形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是代数与几何的综合应用题，核心解题技巧是运用整体代入思想，不需要求出两条对角线的具体值，结合韦达定理、菱形面积公式和勾股定理即可快速求解，能有效考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推进：首先，菱形的两条对角线长是给定一元二次方程的两个实根，根据一元二次方程根与系数的关系，可直接得到两条对角线的和；其次，结合菱形面积等于对角线乘积一半的公式，可求出两条对角线的乘积；最后，菱形对角线互相垂直平分，因此边长可通过半条对角线的平方和开根号计算，此时利用完全平方公式将$a^2+b^2$转化为$(a+b)^2-2ab$，整体代入前面得到的和与积即可算出结果，无需单独求解两条对角线的具体长度，简化计算过程。
【解析】
设菱形的两条对角线的长分别为$a,b$，
∵$a,b$是方程$x^2 -10x +m=0$的两个实数根，根据韦达定理得：$a+b=10$，
根据菱形的面积公式可得：$\frac{1}{2}ab=11$，即$ab=22$，
∵菱形的对角线互相垂直平分，由勾股定理得菱形的边长为：
$\sqrt{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^2-2ab}$
将$a+b=10$、$ab=22$代入得：
$\frac{1}{2}\sqrt{10^2-2×22}=\frac{1}{2}\sqrt{100-44}=\frac{1}{2}\sqrt{56}=\sqrt{14}$
【答案】
$\sqrt{14}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 菱形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是代数与几何的综合应用题，核心解题技巧是运用整体代入思想，不需要求出两条对角线的具体值，结合韦达定理、菱形面积公式和勾股定理即可快速求解，能有效考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
16 如图所示为一块矩形菜地ABCD，AB=a m，AD=b m，面积为s m²，现将边AB的长增加1 m，边AD的长增加2 m。若有且只有一个a的值，使得到的新矩形菜地的面积为2s m²，则s的值为
$6+4\sqrt{2}$
。答案
16. $6+4\sqrt{2}$ 【解析】根据题意，知$b=\frac{s}{a}.∵$ 边AB的长增加1 m，边AD的长增加2 m，得到的新矩形菜地的面积为$2s \mathrm{\ m^2},∴ (a+1)(b+2)=2s$,即$(a+1)(\frac{s}{a}+2)=2s$.整理，得$2a^2+(2-s)a+s=0.∵$ 有且只有一个$a$的值，使得到的新矩形菜地的面积为$2s \mathrm{\ m^2}$，$∴ Δ=(2-s)^2-8s=0$,解得$s_1=6-4\sqrt{2}$(不合题意，舍去),$s_2=6+4\sqrt{2},∴ s$的值为$6+4\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据原矩形的面积公式，可得$s=ab$，因此用$a$和$s$表示出$b=\frac{s}{a}$；第二步，根据新矩形的面积为$2s$，结合新矩形的长为$(a+1)\mathrm{m}$、宽为$(b+2)\mathrm{m}$，列出面积等式；第三步，将$b=\frac{s}{a}$代入等式，整理为关于$a$的一元二次方程；第四步，根据“有且只有一个$a$的值满足条件”，可知该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，由此得到关于$s$的一元二次方程；第五步，求解$s$并结合$a$为正数的实际要求舍去不合题意的解，得到最终结果。
【解析】
根据题意，原矩形面积$s=ab$，因此$b=\frac{s}{a}$。
新矩形的长为$(a+1)\mathrm{m}$，宽为$(b+2)\mathrm{m}$，面积为$2s\mathrm{\ m^2}$，因此列方程：
$(a+1)(b+2)=2s$
将$b=\frac{s}{a}$代入上式，得：
$(a+1)(\frac{s}{a}+2)=2s$
展开并整理：
左边$=s + 2a + \frac{s}{a} + 2$，等式两边同乘$a$消去分母得：$sa + 2a^2 + s + 2a = 2sa$
移项合并同类项得：$2a^2 + (2-s)a + s = 0$
由于有且只有一个$a$的值满足条件，因此该关于$a$的一元二次方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(2-s)^2 - 4×2× s = 0$
展开得：$s^2 - 4s + 4 - 8s = 0$，即$s^2 -12s +4=0$
用求根公式解得：$s=\frac{12\pm\sqrt{144-16}}{2}=\frac{12\pm8\sqrt{2}}{2}=6\pm4\sqrt{2}$
当$s=6-4\sqrt{2}$时，代入方程可得$a=1-\sqrt{2}＜0$，不符合长度为正的实际要求，舍去；
因此$s=6+4\sqrt{2}$。
【答案】
$6+4\sqrt{2}$
【知识点】
1. 矩形面积计算
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题将几何图形的面积计算和一元二次方程的知识相结合，解题的核心是把“只有一个$a$的值满足条件”转化为一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式为0，求解后要注意结合实际意义检验解的合理性，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.4
解题思路如下：第一步，根据原矩形的面积公式，可得$s=ab$，因此用$a$和$s$表示出$b=\frac{s}{a}$；第二步，根据新矩形的面积为$2s$，结合新矩形的长为$(a+1)\mathrm{m}$、宽为$(b+2)\mathrm{m}$，列出面积等式；第三步，将$b=\frac{s}{a}$代入等式，整理为关于$a$的一元二次方程；第四步，根据“有且只有一个$a$的值满足条件”，可知该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，由此得到关于$s$的一元二次方程；第五步，求解$s$并结合$a$为正数的实际要求舍去不合题意的解，得到最终结果。
【解析】
根据题意，原矩形面积$s=ab$，因此$b=\frac{s}{a}$。
新矩形的长为$(a+1)\mathrm{m}$，宽为$(b+2)\mathrm{m}$，面积为$2s\mathrm{\ m^2}$，因此列方程：
$(a+1)(b+2)=2s$
将$b=\frac{s}{a}$代入上式，得：
$(a+1)(\frac{s}{a}+2)=2s$
展开并整理：
左边$=s + 2a + \frac{s}{a} + 2$，等式两边同乘$a$消去分母得：$sa + 2a^2 + s + 2a = 2sa$
移项合并同类项得：$2a^2 + (2-s)a + s = 0$
由于有且只有一个$a$的值满足条件，因此该关于$a$的一元二次方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(2-s)^2 - 4×2× s = 0$
展开得：$s^2 - 4s + 4 - 8s = 0$，即$s^2 -12s +4=0$
用求根公式解得：$s=\frac{12\pm\sqrt{144-16}}{2}=\frac{12\pm8\sqrt{2}}{2}=6\pm4\sqrt{2}$
当$s=6-4\sqrt{2}$时，代入方程可得$a=1-\sqrt{2}＜0$，不符合长度为正的实际要求，舍去；
因此$s=6+4\sqrt{2}$。
【答案】
$6+4\sqrt{2}$
【知识点】
1. 矩形面积计算
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题将几何图形的面积计算和一元二次方程的知识相结合，解题的核心是把“只有一个$a$的值满足条件”转化为一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式为0，求解后要注意结合实际意义检验解的合理性，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.4
17 若$x=t$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个根，$M=(2at+b)^2$，则$b^2-4ac$
$=$
$M$(填“＞”“＜”或“=”)。答案
17. $=$
解析
【分析】
要比较$b^2-4ac$和$M$的大小，首先利用一元二次方程根的定义，将根$x=t$代入原方程得到含$t$的等量关系，再将$M=(2at+b)^2$展开，通过整体代入化简$M$，最后将化简结果和$b^2-4ac$对比即可。
【解析】
∵$x=t$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，
∴将$x=t$代入方程得：$at^2 + bt + c = 0$，即$at^2 + bt = -c$。
展开$M$的表达式：
$M=(2at+b)^2 = 4a^2t^2 + 4abt + b^2$
对前两项提取公因式$4a$得：
$M=4a(at^2 + bt) + b^2$
将$at^2 + bt = -c$代入上式：
$M=4a×(-c) + b^2 = b^2 - 4ac$
因此$b^2-4ac = M$。
【答案】
$=$
【知识点】
一元二次方程根的定义、完全平方公式、代数式化简
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质与代数式化简的结合，解题核心是运用整体代入的思想，利用根的定义得到的等量关系替换待化简式中的对应部分，注重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
要比较$b^2-4ac$和$M$的大小，首先利用一元二次方程根的定义，将根$x=t$代入原方程得到含$t$的等量关系，再将$M=(2at+b)^2$展开，通过整体代入化简$M$，最后将化简结果和$b^2-4ac$对比即可。
【解析】
∵$x=t$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，
∴将$x=t$代入方程得：$at^2 + bt + c = 0$，即$at^2 + bt = -c$。
展开$M$的表达式：
$M=(2at+b)^2 = 4a^2t^2 + 4abt + b^2$
对前两项提取公因式$4a$得：
$M=4a(at^2 + bt) + b^2$
将$at^2 + bt = -c$代入上式：
$M=4a×(-c) + b^2 = b^2 - 4ac$
因此$b^2-4ac = M$。
【答案】
$=$
【知识点】
一元二次方程根的定义、完全平方公式、代数式化简
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质与代数式化简的结合，解题核心是运用整体代入的思想，利用根的定义得到的等量关系替换待化简式中的对应部分，注重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
18 新情境 生活实际 某汽车销售公司6月销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅销售1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多销售1辆，所有销售的汽车每辆的进价均降低0.1万元.月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10辆以内(含10辆)，每辆返利0.5万元；销售10辆以上，每辆返利1万元.
(1) 若该汽车销售公司当月销售3辆该厂家汽车，则每辆汽车的进价为
(2) 若每辆汽车的售价为28万元，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，则需要销售多少辆汽车(盈利=销售利润+返利)？
(1) 若该汽车销售公司当月销售3辆该厂家汽车，则每辆汽车的进价为
$26.8$
万元；(2) 若每辆汽车的售价为28万元，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，则需要销售多少辆汽车(盈利=销售利润+返利)？
答案
18. (1) 26.8
(2) 设需要销售$x$辆汽车. ① 当销售10辆以内(含10辆)时，根据题意，得$[28-27+0.1(x-1)]x+0.5x=12$,解得$x_1=-20$(不合题意，舍去),$x_2=6.∴$ 当销售6辆汽车时，当月可盈利12万元. ② 当销售10辆以上时，根据题意，得$[28-27+0.1(x-1)]·x+x=12$,解得$x_1=5,x_2=-24$,均不符合题意，舍去.综上所述，若每辆汽车的售价为28万元，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，则需要销售6辆汽车
(2) 设需要销售$x$辆汽车. ① 当销售10辆以内(含10辆)时，根据题意，得$[28-27+0.1(x-1)]x+0.5x=12$,解得$x_1=-20$(不合题意，舍去),$x_2=6.∴$ 当销售6辆汽车时，当月可盈利12万元. ② 当销售10辆以上时，根据题意，得$[28-27+0.1(x-1)]·x+x=12$,解得$x_1=5,x_2=-24$,均不符合题意，舍去.综上所述，若每辆汽车的售价为28万元，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，则需要销售6辆汽车
解析
【分析】
（1）第一问根据进价的变化规则计算：仅售1辆时进价27万元，每多售1辆所有汽车进价每辆降低0.1万元，销售3辆时比售1辆多售2辆，因此总降价额为$0.1×2$，用27减去总降价额即可得到每辆进价。
（2）第二问为盈利问题，需结合“盈利=销售利润+返利”的公式求解，注意返利规则分销售10辆以内（含10辆）和10辆以上两种情况，因此要分类讨论：先设销售$x$辆汽车，先计算每辆汽车的销售利润（售价28万减去每辆进价），总销售利润为每辆利润乘$x$，再加上对应档位的返利，列一元二次方程求解，最后检验解是否符合对应取值范围，舍去不合题意的解，最终得到符合要求的销售量。
【解析】
（1）当月销售3辆汽车时，每辆汽车的进价为：
$27 - 0.1×(3-1) = 27 - 0.2 = 26.8$（万元）
（2）设需要销售$x$辆汽车。
每辆汽车的进价为$27 - 0.1(x-1)$万元，因此每辆汽车的销售利润为$28 - [27 - 0.1(x-1)] = 1 + 0.1(x-1)$万元。
分两种情况讨论：
① 当$0＜x≤10$（$x$为正整数）时，每辆返利0.5万元，根据题意列方程：
$[1 + 0.1(x-1)]x + 0.5x = 12$
化简得：$0.1x^2 + 1.4x - 12 = 0$
整理为：$x^2 + 14x - 120 = 0$
因式分解得：$(x+20)(x-6)=0$
解得$x_1=-20$（不符合销售量为正的实际意义，舍去），$x_2=6$，$6≤10$，符合该情况要求。
② 当$x＞10$（$x$为正整数）时，每辆返利1万元，根据题意列方程：
$[1 + 0.1(x-1)]x + x = 12$
化简得：$0.1x^2 + 1.9x - 12 = 0$
整理为：$x^2 + 19x - 120 = 0$
解得$x_1=5$，$x_2=-24$，两个解均不符合$x＞10$的要求，全部舍去。
综上，只有销售6辆汽车时符合盈利12万元的要求。
【答案】
（1）$\boxed{26.8}$；（2）需要销售$\boxed{6}$辆汽车。
【知识点】
一元二次方程的应用；分类讨论思想；销售利润计算
【点评】
本题结合汽车销售的实际场景设计问题，既考查了对文字信息的提取理解能力，也考查了一元二次方程在利润问题中的实际应用，解题的关键是明确进价、返利的计算规则，合理分情况讨论，同时要注意对求解出的方程根进行实际意义和取值范围的双重检验，避免出现错解。
【难度系数】
0.65
（1）第一问根据进价的变化规则计算：仅售1辆时进价27万元，每多售1辆所有汽车进价每辆降低0.1万元，销售3辆时比售1辆多售2辆，因此总降价额为$0.1×2$，用27减去总降价额即可得到每辆进价。
（2）第二问为盈利问题，需结合“盈利=销售利润+返利”的公式求解，注意返利规则分销售10辆以内（含10辆）和10辆以上两种情况，因此要分类讨论：先设销售$x$辆汽车，先计算每辆汽车的销售利润（售价28万减去每辆进价），总销售利润为每辆利润乘$x$，再加上对应档位的返利，列一元二次方程求解，最后检验解是否符合对应取值范围，舍去不合题意的解，最终得到符合要求的销售量。
【解析】
（1）当月销售3辆汽车时，每辆汽车的进价为：
$27 - 0.1×(3-1) = 27 - 0.2 = 26.8$（万元）
（2）设需要销售$x$辆汽车。
每辆汽车的进价为$27 - 0.1(x-1)$万元，因此每辆汽车的销售利润为$28 - [27 - 0.1(x-1)] = 1 + 0.1(x-1)$万元。
分两种情况讨论：
① 当$0＜x≤10$（$x$为正整数）时，每辆返利0.5万元，根据题意列方程：
$[1 + 0.1(x-1)]x + 0.5x = 12$
化简得：$0.1x^2 + 1.4x - 12 = 0$
整理为：$x^2 + 14x - 120 = 0$
因式分解得：$(x+20)(x-6)=0$
解得$x_1=-20$（不符合销售量为正的实际意义，舍去），$x_2=6$，$6≤10$，符合该情况要求。
② 当$x＞10$（$x$为正整数）时，每辆返利1万元，根据题意列方程：
$[1 + 0.1(x-1)]x + x = 12$
化简得：$0.1x^2 + 1.9x - 12 = 0$
整理为：$x^2 + 19x - 120 = 0$
解得$x_1=5$，$x_2=-24$，两个解均不符合$x＞10$的要求，全部舍去。
综上，只有销售6辆汽车时符合盈利12万元的要求。
【答案】
（1）$\boxed{26.8}$；（2）需要销售$\boxed{6}$辆汽车。
【知识点】
一元二次方程的应用；分类讨论思想；销售利润计算
【点评】
本题结合汽车销售的实际场景设计问题，既考查了对文字信息的提取理解能力，也考查了一元二次方程在利润问题中的实际应用，解题的关键是明确进价、返利的计算规则，合理分情况讨论，同时要注意对求解出的方程根进行实际意义和取值范围的双重检验，避免出现错解。
【难度系数】
0.65
19 [2025 宿豫段考]如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”. 例如一元二次方程 $ x^2 -8x +12=0 $ 的两个根是 $ x_1=2, x_2=6 $，则方程 $ x^2 -8x +12=0 $是“3倍根方程”.
（1）通过计算，判断 $ x^2 -4x +3=0 $ 是否是“3倍根方程”；
（2）若关于 $ x $ 的方程 $ (x-2)(x-m)=0 $是“3倍根方程”，求代数式 $ m^2 +2m +2 $ 的值；
（3）已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 -(m-1)x +48=0(m $ 是常数)是“3倍根方程”，请写出 $ m $ 的值.
（1）通过计算，判断 $ x^2 -4x +3=0 $ 是否是“3倍根方程”；
（2）若关于 $ x $ 的方程 $ (x-2)(x-m)=0 $是“3倍根方程”，求代数式 $ m^2 +2m +2 $ 的值；
（3）已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 -(m-1)x +48=0(m $ 是常数)是“3倍根方程”，请写出 $ m $ 的值.
答案
19. (1) 解$x^2-4x+3=0$,得$x_1=1,x_2=3.∵ 3x_1=x_2,∴ x^2-4x+3=0$是“3倍根方程”
(2) 解$(x-2)(x-m)=0$,得$x_1=2,x_2=m.∵ (x-2)(x-m)=0$是“3倍根方程”，$∴$ 分两种情况讨论：① $m=2×3=6$,此时$m^2+2m+2=50$; ② $m=2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$,此时$m^2+2m+2=\frac{34}{9}$.综上所述，$m^2+2m+2$的值为50或$\frac{34}{9}$
(3) $∵ x^2-(m-1)x+48=0(m$是常数)是“3倍根方程”，$∴$ 不妨设$x_2$是$x_1$的三倍，$∴ x_1x_2=3x_1^2=48$,解得$x_1=±4$.若$x_1=4,x_2=12$,则$x_1+x_2=16=m-1,∴ m=17$.若$x_1=-4,x_2=-12$,则$x_1+x_2=-16=m-1,∴ m=-15$.综上所述，$m$的值为17或$-15$
(2) 解$(x-2)(x-m)=0$,得$x_1=2,x_2=m.∵ (x-2)(x-m)=0$是“3倍根方程”，$∴$ 分两种情况讨论：① $m=2×3=6$,此时$m^2+2m+2=50$; ② $m=2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$,此时$m^2+2m+2=\frac{34}{9}$.综上所述，$m^2+2m+2$的值为50或$\frac{34}{9}$
(3) $∵ x^2-(m-1)x+48=0(m$是常数)是“3倍根方程”，$∴$ 不妨设$x_2$是$x_1$的三倍，$∴ x_1x_2=3x_1^2=48$,解得$x_1=±4$.若$x_1=4,x_2=12$,则$x_1+x_2=16=m-1,∴ m=17$.若$x_1=-4,x_2=-12$,则$x_1+x_2=-16=m-1,∴ m=-15$.综上所述，$m$的值为17或$-15$
解析
【分析】
（1）判断方程是否为“3倍根方程”，只需先解出方程的两个实数根，再验证其中一个根是否为另一个根的3倍即可。
（2）先求出方程$(x-2)(x-m)=0$的两个根为2和m，结合“3倍根方程”的定义分两种情况讨论：一是m为2的3倍，二是2为m的3倍，分别求出m后代入代数式计算即可。
（3）设方程的两根为$t$和$3t$，根据根与系数的关系，由两根之积为48先求出$t$的取值，再由两根之和等于$m-1$求出对应的m值，注意$t$有正负两种情况，避免漏解。
【解析】
（1）解方程$x^2 -4x +3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
∵$3=3×1$，满足一个根是另一个根的3倍，
∴$x^2 -4x +3=0$是“3倍根方程”。
（2）解方程$(x-2)(x-m)=0$，可得$x_1=2$，$x_2=m$。
∵该方程是“3倍根方程”，分两种情况讨论：
①当$m=3×2=6$时，代入$m^2 +2m +2$得：$6^2 +2×6 +2=50$；
②当$2=3m$，即$m=\frac{2}{3}$时，代入$m^2 +2m +2$得：$(\frac{2}{3})^2 +2×\frac{2}{3} +2=\frac{34}{9}$。
综上，$m^2 +2m +2$的值为50或$\frac{34}{9}$。
（3）
∵$x^2 -(m-1)x +48=0$是“3倍根方程”，设较小根为$x_1$，则较大根为$3x_1$。
根据根与系数的关系，$x_1·3x_1=48$，即$3x_1^2=48$，解得$x_1^2=16$，$x_1=±4$。
当$x_1=4$时，两根和为$4+12=16$，则$m-1=16$，解得$m=17$；
当$x_1=-4$时，两根和为$-4+(-12)=-16$，则$m-1=-16$，解得$m=-15$。
综上，m的值为17或$-15$。
【答案】
（1）是“3倍根方程”；
（2）$50$或$\frac{34}{9}$；
（3）$17$或$-15$
【知识点】
一元二次方程的解法，根与系数的关系，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解“3倍根方程”的含义，结合一元二次方程的求解、根与系数的关系作答，解题时需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）判断方程是否为“3倍根方程”，只需先解出方程的两个实数根，再验证其中一个根是否为另一个根的3倍即可。
（2）先求出方程$(x-2)(x-m)=0$的两个根为2和m，结合“3倍根方程”的定义分两种情况讨论：一是m为2的3倍，二是2为m的3倍，分别求出m后代入代数式计算即可。
（3）设方程的两根为$t$和$3t$，根据根与系数的关系，由两根之积为48先求出$t$的取值，再由两根之和等于$m-1$求出对应的m值，注意$t$有正负两种情况，避免漏解。
【解析】
（1）解方程$x^2 -4x +3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
∵$3=3×1$，满足一个根是另一个根的3倍，
∴$x^2 -4x +3=0$是“3倍根方程”。
（2）解方程$(x-2)(x-m)=0$，可得$x_1=2$，$x_2=m$。
∵该方程是“3倍根方程”，分两种情况讨论：
①当$m=3×2=6$时，代入$m^2 +2m +2$得：$6^2 +2×6 +2=50$；
②当$2=3m$，即$m=\frac{2}{3}$时，代入$m^2 +2m +2$得：$(\frac{2}{3})^2 +2×\frac{2}{3} +2=\frac{34}{9}$。
综上，$m^2 +2m +2$的值为50或$\frac{34}{9}$。
（3）
∵$x^2 -(m-1)x +48=0$是“3倍根方程”，设较小根为$x_1$，则较大根为$3x_1$。
根据根与系数的关系，$x_1·3x_1=48$，即$3x_1^2=48$，解得$x_1^2=16$，$x_1=±4$。
当$x_1=4$时，两根和为$4+12=16$，则$m-1=16$，解得$m=17$；
当$x_1=-4$时，两根和为$-4+(-12)=-16$，则$m-1=-16$，解得$m=-15$。
综上，m的值为17或$-15$。
【答案】
（1）是“3倍根方程”；
（2）$50$或$\frac{34}{9}$；
（3）$17$或$-15$
【知识点】
一元二次方程的解法，根与系数的关系，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解“3倍根方程”的含义，结合一元二次方程的求解、根与系数的关系作答，解题时需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
