1.如图，$AC⊥ BD$，垂足为$O$，$AO=CO$，$AB=CD$，则可得到$△ AOB≌△ COD$，理由是（）

A.HL
B.SAS
C.ASA
D.AAS

1.A

【分析】
首先从已知条件入手分析：先判断三角形的类型，由$AC⊥BD$可知$△ AOB$和$△ COD$都是直角三角形；再梳理相等的边的条件，已知$AO=CO$（一组直角边对应相等），$AB=CD$（一组斜边对应相等），结合直角三角形全等的特有判定定理，即可确定全等的理由。
【解析】
$\because AC⊥ BD$，垂足为$O$，
$\therefore ∠ AOB=∠ COD=90°$，即$△ AOB$和$△ COD$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$和$\mathrm{Rt}△ COD$中：
$\begin{cases}AO=CO(\mathrm{已知})\\AB=CD(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOB≌\mathrm{Rt}△ COD(\mathrm{HL})$。
【答案】
A
【知识点】
HL判定全等；垂直的定义
【点评】
本题属于基础题，解题时要先明确三角形为直角三角形，再结合已知的边相等条件匹配对应的全等判定定理，注意区分直角三角形特有的HL判定定理和普通三角形全等判定定理的使用场景。
【难度系数】
0.9

2. 如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD≌Rt△CDB，则需要添加的条件是（）

A.AD=CB
B.∠A=∠C
C.BD=DB
D.AB=CD

2.A

【分析】
首先明确HL判定定理的适用条件：HL是直角三角形特有的全等判定方法，要求两个直角三角形的斜边和其中一条直角边分别对应相等。解题时先确定已知条件：由AB⊥BD、CD⊥BD可得△ABD和△CDB都是直角三角形，且BD是两个三角形共有的直角边，已经满足一条直角边相等的条件。要使用HL判定全等，还需要补充两个三角形的斜边相等的条件，再结合选项逐一判断即可。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°，即△ABD和△CDB均为直角三角形。
在Rt△ABD和Rt△CDB中，已有公共直角边BD=DB，
根据HL判定定理，只需添加斜边相等的条件，即AD=CB，即可判定Rt△ABD≌Rt△CDB。
对其他选项分析：
B选项∠A=∠C，结合∠ABD=∠CDB、BD=DB，用的是AAS判定，不符合HL要求；
C选项BD=DB是已知公共边，仅添加该条件无法判定全等；
D选项AB=CD，结合∠ABD=∠CDB、BD=DB，用的是SAS判定，不符合HL要求。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
HL判定定理，全等三角形判定
【点评】
本题重点考查直角三角形HL判定定理的应用，解题时要注意HL仅适用于直角三角形，且必须满足斜边+直角边对应相等的条件，要注意区分HL与其他全等判定定理的适用场景，避免混淆。
【难度系数】
0.7

3.如图，AB⊥CD于点O，且AO=BO，根据提示，各添加一个条件，使得Rt△AOC≌Rt△BOD.
(1) (SAS);(2) (HL);(3) (AAS);(4) (ASA).

3.(1)$OC=OD$ (2)$AC=BD$ (3)$∠C=∠D$ (4)$∠A=∠B$

【分析】
首先梳理已知条件：由AB⊥CD可得∠AOC=∠BOD=90°，且已知AO=BO，即两个直角三角形已经具备一组直角边相等、一组直角相等的条件。接下来结合4种全等判定方法的要求，补充缺失的对应条件即可：①SAS判定需要两边及夹角对应相等，现有一边一角，缺少另一组夹边相等；②HL是直角三角形特有的判定方法，需要斜边加一组直角边相等，现有一组直角边相等，缺少斜边相等；③AAS需要两角及其中一角的对边相等，现有一角一边，缺少另一组非夹角的角相等；④ASA需要两角及夹边相等，现有夹边和一个角，缺少夹边的另一组邻角相等。
【解析】
解：由题意得，
∵AB⊥CD，
∴∠AOC=∠BOD=90°，且已知AO=BO。
(1) 按SAS判定全等的要求：需两边及其夹角对应相等，已有AO=BO，∠AOC=∠BOD，因此添加$\boldsymbol{OC=OD}$，即可证△AOC≌△BOD（SAS）。
(2) 按HL判定全等的要求：直角三角形全等的HL判定需斜边和一条直角边对应相等，已有直角边AO=BO，因此添加$\boldsymbol{AC=BD}$，即可证Rt△AOC≌Rt△BOD（HL）。
(3) 按AAS判定全等的要求：需两角及其中一角的对边对应相等，已有∠AOC=∠BOD，AO=BO，因此添加$\boldsymbol{∠C=∠D}$，即可证△AOC≌△BOD（AAS）。
(4) 按ASA判定全等的要求：需两角及其夹边对应相等，已有∠AOC=∠BOD，AO=BO，因此添加$\boldsymbol{∠A=∠B}$，即可证△AOC≌△BOD（ASA）。
【答案】
(1)$OC=OD$；(2)$AC=BD$；(3)$∠C=∠D$；(4)$∠A=∠B$
【知识点】
全等三角形的判定，直角三角形全等的判定
【点评】
本题主要考查全等三角形判定定理的灵活应用，需要熟练掌握不同判定定理的条件差异，结合已知的边角关系，匹配对应判定要求补充条件，注意HL仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.85

4.如图，已知∠A=∠D=90°，点E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF。求证:Rt△ABF≌Rt△DCE。

4.证明:$\because BE=CF,\therefore BE+EF=CF+EF$,即$BF=CE$.
$\because ∠A=∠D=90°,\therefore △ABF$与$△DCE$为直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ABF$和$\mathrm{Rt}△DCE$中，$\begin{cases} BF=CE,\\ AB=DC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△DCE(\mathrm{HL}).$

【分析】
要证明两个直角三角形全等，首先回忆直角三角形全等的判定定理，题目已经给出一组直角边$AB=CD$，只需要再找到一组对应边相等即可。观察已知条件$BE=CF$，线段$BF=BE+EF$，线段$CE=CF+EF$，根据等式的性质，给$BE$和$CF$同时加上公共线段$EF$，就能得到斜边$BF=CE$，满足HL定理的判定条件，即可证明两个直角三角形全等。
【解析】
证明：
$\because BE=CF$，
$\therefore BE+EF=CF+EF$，即$BF=CE$，
$\because ∠ A=∠ D=90°$，
$\therefore △ ABF$与$△ DCE$都是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ DCE$中：
$\begin{cases} BF=CE\\ AB=CD \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌ \mathrm{Rt}△ DCE(\mathrm{HL})$
【答案】
证明:$\because BE=CF,\therefore BE+EF=CF+EF$,即$BF=CE$.
$\because ∠A=∠D=90°,\therefore △ABF$与$△DCE$为直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ABF$和$\mathrm{Rt}△DCE$中，$\begin{cases} BF=CE,\\ AB=DC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△DCE(\mathrm{HL}).$
【知识点】
1.直角三角形全等的判定（HL）
2.线段和差运算
【点评】
本题是全等证明的基础题型，解题关键是通过线段和差得到相等的对应斜边，结合已知的相等直角边，利用HL定理即可完成证明，侧重考查对基础判定定理的理解和简单应用能力。
【难度系数】
0.8

5.(秦淮区月考)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E为AC上一点,连接BE交AD于点F.若BF=AC,DF=DC,则∠1与∠2的度数和为 ()

A.35°
B.40°
C.45°
D.50°

5.C

【分析】
首先由AD⊥BC可得△BDF和△ADC都是直角三角形，已知斜边BF=AC、直角边DF=DC，可先通过HL判定证明两个直角三角形全等，得到对应角相等、对应边BD=AD，进而推出△ABD是等腰直角三角形，得到∠ABD=45°，再结合角的和差关系即可求出∠1与∠2的度数和。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，即△BDF和△ADC均为直角三角形。
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
$\{\begin{array}{l}BF=AC\\ DF=DC\end{array} $
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴BD=AD，∠FBD=∠2。
∵BD=AD，∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°。
又
∵∠ABD=∠1 + ∠FBD，
将∠FBD=∠2代入得：$∠ 1+∠ 2=∠ ABD=45°$。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础的全等三角形应用题型，解题核心是先通过HL证明直角三角形全等，得到角的等量替换关系，再结合等腰直角三角形的角度特征求解，需要注意找准全等三角形的对应角。
【难度系数】
0.7

6.(江宁区期中)如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，D是EF上一点，AE⊥EF于点E，CF⊥EF于点F，AE=CF，连接BD。求证：Rt△ADE≌Rt△CDF。第6题图

6.证明:在$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△CBD$中，$\begin{cases} BD=BD,\\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△CBD(\mathrm{HL}),\therefore AD=CD.$
在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△CDF$中，$\begin{cases} AD=CD,\\ AE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL}).$

【分析】
要证明$\mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△CDF$，已知两个三角形均为直角三角形，且给出一组直角边$AE=CF$，根据直角三角形全等的HL判定定理，还需证明斜边$AD=CD$。结合已知条件$AB=BC$、$BD$为公共边，且$∠ BAD=∠ BCD=90°$，可先通过HL证明$\mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△CBD$，得到$AD=CD$，即可完成最终证明。
【解析】
证明：在$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△CBD$中，
$\begin{cases} BD=BD,\\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△CBD(\mathrm{HL}),\therefore AD=CD.$
在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△CDF$中，
$\begin{cases} AD=CD,\\ AE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL}).$
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础的全等证明题，解题关键是先明确待证全等三角形缺少的条件，通过证明中间的三角形全等得到所需的等边，考查对HL判定定理的掌握和简单的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7