8.(秦淮区月考)小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,∠BOC=90°.爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度是m.

8.1.4

【分析】
解题时先观察图形特征：已知CE、BD均垂直于OA，可得两个直角；结合∠BOC=90°，可利用“同角的余角相等”推出∠OBD=∠COE；秋千的绳长相等即OB=OC，因此可证明△OBD和△COE全等。得到全等三角形的对应边相等后，结合B处距离地面的高度，先求出OA的总长度，再计算C处距离地面的高度即可。
【解析】
解：
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
∴∠OBD + ∠BOD = 90°，
∵∠BOC=90°，
∴∠COE + ∠BOD = 90°，
∴∠OBD=∠COE。
在△OBD和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠ODB=∠CEO \\∠OBD=∠COE \\OB=OC \quad (\mathrm{秋千绳长相等})\end{array} $
∴△OBD≌△COE（AAS），
∴OE=BD=1.4m，OD=CE=1.8m。
∵B处距地面高度为1m，即AD=1m，
∴OA=OD + AD = 1.8 + 1 = 2.8m，
∴C处距地面的高度为：OA - OE = 2.8 - 1.4 = 1.4m。
【答案】
1.4
【知识点】
全等三角形的判定与性质；同角的余角相等
【点评】
本题以荡秋千的生活场景为载体，考查全等三角形的实际应用，解题的关键是根据角度和边长的关系证明三角形全等，再利用全等的性质进行线段长度的计算，将生活问题转化为几何问题求解。
【难度系数】
0.7

9.如图，点E,D,B,F在同一条直线上，AD//CB，∠BAD=∠BCD，DE=BF.
求证:(1)AD=BC；
(2)AE//CF.

9. 证明:(1) $\because AD// CB, \therefore ∠ ADB = ∠ CBD$.
在$△ ADB$和$△ CBD$中, $\begin{cases} ∠ ADB = ∠ CBD, \\ ∠ BAD = ∠ DCB, \\ DB = BD, \end{cases}$
$\therefore △ ADB ≌ △ CBD(\mathrm{AAS}), \therefore AD = BC$.
(2) $\because ∠ ADB = ∠ CBD, ∠ ADB + ∠ EDA = 180°, ∠ CBD + ∠ FBC = 180°, \therefore ∠ EDA = ∠ FBC$.
在$△ EDA$和$△ FBC$中, $\begin{cases} DE = BF, \\ ∠ EDA = ∠ FBC, \\ DA = BC, \end{cases}$
$\therefore △ EDA ≌ △ FBC(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ E = ∠ F, \therefore AE// CF$.

【分析】
(1) 要证明AD=BC，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知AD//CB，可得内错角∠ADB=∠CBD，结合已知条件∠BAD=∠BCD，以及公共边DB=BD，可通过AAS判定△ADB和△CBD全等，从而得到AD=BC的结论。
(2) 要证明AE//CF，可通过证明内错角∠E=∠F实现，需要先证△EDA和△FBC全等。已知DE=BF，结合(1)中得到的AD=BC，再根据∠ADB=∠CBD，利用等角的补角相等可推出夹角∠EDA=∠FBC，即可通过SAS判定两个三角形全等，得到∠E=∠F后即可证明两直线平行。
【解析】
(1) 由AD//CB，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠ADB = ∠CBD；观察△ADB和△CBD，已知∠BAD=∠DCB，且两条三角形有公共边DB=BD，满足AAS全等判定条件，因此可证两三角形全等，对应边AD=BC。
(2) 由∠ADB和∠EDA互补、∠CBD和∠FBC互补，结合∠ADB=∠CBD，根据“等角的补角相等”可得∠EDA=∠FBC；观察△EDA和△FBC，已知DE=BF，∠EDA=∠FBC，且(1)已证DA=BC，满足SAS全等判定条件，因此可证两三角形全等，得对应角∠E=∠F，根据“内错角相等，两直线平行”可推出AE//CF。
【答案】
证明:(1) $\because AD// CB, \therefore ∠ ADB = ∠ CBD$.
在$△ ADB$和$△ CBD$中, $\begin{cases} ∠ ADB = ∠ CBD, \\ ∠ BAD = ∠ DCB, \\ DB = BD, \end{cases}$
$\therefore △ ADB ≌ △ CBD(\mathrm{AAS}), \therefore AD = BC$.
(2) $\because ∠ ADB = ∠ CBD, ∠ ADB + ∠ EDA = 180°, ∠ CBD + ∠ FBC = 180°, \therefore ∠ EDA = ∠ FBC$.
在$△ EDA$和$△ FBC$中, $\begin{cases} DE = BF, \\ ∠ EDA = ∠ FBC, \\ DA = BC, \end{cases}$
$\therefore △ EDA ≌ △ FBC(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ E = ∠ F, \therefore AE// CF$.
【知识点】
平行线的性质与判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于全等三角形和平行线的综合基础题，核心是通过全等三角形实现线段、角的等量转化，解题时要结合已知条件合理选择全等三角形的判定方法，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7

10.(2024春·江宁区月考)如图，AD，BF相交于点O，AB//DF，AC//DE，点E，C在BF上，且BE=CF.
求证:(1)$△ ABC ≌ △ DFE$；
(2)O为BF的中点.

10. 证明:(1) $\because AB// DF, \therefore ∠ B = ∠ F$.
$\because AC// DE, \therefore ∠ ACB = ∠ DEF$.
$\because BE = CF, \therefore BE + EC = CF + EC$, 即 $BC = EF$.
在$△ ABC$和$△ DFE$中, $\begin{cases} ∠ ACB = ∠ DEF, \\ BC = FE, \\ ∠ B = ∠ F, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DFE(\mathrm{ASA})$.
(2) $\because △ ABC ≌ △ DFE, \therefore AC = DE$.
在$△ ACO$和$△ DEO$中, $\begin{cases} ∠ AOC = ∠ DOE, \\ ∠ ACO = ∠ DEO, \\ AC = DE, \end{cases}$
$\therefore △ ACO ≌ △ DEO(\mathrm{AAS}), \therefore CO = EO$.
$\because BE = CF, \therefore BE + OE = CF + CO$, 即 $BO = FO$.
$\therefore O$ 为 $BF$ 的中点.

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△DFE，先从已知平行条件推导相等的角：由AB//DF可得∠B=∠F，由AC//DE可得∠ACB=∠DEF；再处理边的条件：已知BE=CF，给等式两边同时加公共线段EC，即可得到BC=EF，此时满足“角边角”的全等判定条件，可完成第一问的证明。
(2) 要证明O为BF的中点，即需证BO=FO。先利用第一问的全等结论得到AC=DE，结合AC//DE得到的相等角，加上对顶角相等，可通过“角角边”证明△ACO≌△DEO，得到CO=EO；再结合已知BE=CF，给等式两边分别加EO和CO，即可推出BO=FO，得证O是BF中点。
【解析】
证明:
(1) $\because AB// DF, \therefore ∠ B = ∠ F$.
$\because AC// DE, \therefore ∠ ACB = ∠ DEF$.
$\because BE = CF, \therefore BE + EC = CF + EC$, 即 $BC = EF$.
在$△ ABC$和$△ DFE$中,
$\begin{cases} ∠ ACB = ∠ DEF, \\ BC = FE, \\ ∠ B = ∠ F, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DFE(\mathrm{ASA})$.
(2) $\because △ ABC ≌ △ DFE, \therefore AC = DE$.
在$△ ACO$和$△ DEO$中,
$\begin{cases} ∠ AOC = ∠ DOE, \\ ∠ ACO = ∠ DEO, \\ AC = DE, \end{cases}$
$\therefore △ ACO ≌ △ DEO(\mathrm{AAS}), \therefore CO = EO$.
$\because BE = CF, \therefore BE + OE = CF + CO$, 即 $BO = FO$.
$\therefore O$ 为 $BF$ 的中点.
【答案】
(1) $△ ABC ≌ △ DFE$得证；
(2) O为BF的中点得证。
（完整证明过程见解析）
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形综合应用的常规题型，解题核心是灵活运用平行线的性质获取相等的角，结合线段和差关系推导全等所需的边相等条件，再借助全等的性质得到对应边相等以证明中点结论，需要熟练掌握ASA、AAS等全等判定方法，学会利用已证结论推导后续问题。
【难度系数】
0.7

11.(云龙区月考)如图①，AB=7 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，AC=5 cm.点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动，它们运动的时间为t(s).(当点P运动结束时，点Q运动随之结束)
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由.
(2)如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到何处时，有△ACP与△BPQ全等？并求出相应的x的值.

11. 解:(1) $△ ACP ≌ △ BPQ, PC ⊥ PQ$. 理由如下:
$\because AC ⊥ AB, BD ⊥ AB, \therefore ∠ A = ∠ B = 90°$.
$\because AP = BQ = 2, \therefore BP = 5, \therefore BP = AC$.
在$△ ACP$和$△ BPQ$中, $\begin{cases} AP = BQ, \\ ∠ A = ∠ B, \\ AC = BP, \end{cases}$
$\therefore △ ACP ≌ △ BPQ(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ C = ∠ BPQ$.
$\because ∠ C + ∠ APC = 90°, \therefore ∠ APC + ∠ BPQ = 90°$,
$\therefore ∠ CPQ = 90°$, 即 $PC ⊥ PQ$.
(2) 若$△ ACP ≌ △ BPQ$, 则 $AC = BP, AP = BQ$,
可得 $5 = 7 - 2t, 2t = xt$, 解得 $x = 2, t = 1$;
若$△ ACP ≌ △ BQP$, 则 $AC = BQ, AP = BP$,
可得 $5 = xt, 2t = 7 - 2t$,
解得 $x = \frac{20}{7}, t = \frac{7}{4}$.
综上所述, 当$△ ACP$与$△ BPQ$全等时, $x$ 的值为2或$\frac{20}{7}$.

【分析】
(1) 解决第一问时，先根据点P、Q的运动速度和时间t=1，计算出AP、BQ、BP的长度，结合已知的AC长度和垂直得到的∠A=∠B=90°，用SAS判定两个三角形全等；再利用全等三角形对应角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导得出∠CPQ=90°，即可判断PC与PQ的位置关系。
(2) 第二问中两个三角形全等时对应顶点未明确，因此需要分类讨论：第一种情况是△ACP≌△BPQ，对应边为AC=BP、AP=BQ；第二种情况是△ACP≌△BQP，对应边为AC=BQ、AP=BP。分别根据“路程=速度×时间”表示各线段长度，列方程求解即可得到对应的x的值。
【解析】
(1) $△ ACP ≌ △ BPQ$，$PC ⊥ PQ$，理由如下：
$\because AC ⊥ AB$，$BD ⊥ AB$，$\therefore ∠ A = ∠ B = 90°$。
当$t=1$时，$AP = BQ = 2 × 1 = 2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BP = AB - AP = 7 - 2 = 5\ \mathrm{cm}$，$\therefore BP = AC$。
在$△ ACP$和$△ BPQ$中，$\begin{cases} AP = BQ, \\ ∠ A = ∠ B, \\ AC = BP, \end{cases}$
$\therefore △ ACP ≌ △ BPQ(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠ C = ∠ BPQ$。
$\because ∠ C + ∠ APC = 90°$，$\therefore ∠ APC + ∠ BPQ = 90°$，
$\therefore ∠ CPQ = 180° - (∠ APC + ∠ BPQ) = 90°$，即$PC ⊥ PQ$。
(2) 分两种情况讨论：
① 若$△ ACP ≌ △ BPQ$，则$AC = BP$，$AP = BQ$，
可得$\begin{cases}5 = 7 - 2t \\ 2t = xt \end{cases}$，解得$\begin{cases}t = 1 \\ x = 2 \end{cases}$；
② 若$△ ACP ≌ △ BQP$，则$AC = BQ$，$AP = BP$，
可得$\begin{cases}5 = xt \\ 2t = 7 - 2t \end{cases}$，解得$\begin{cases}t = \frac{7}{4} \\ x = \frac{20}{7} \end{cases}$。
综上，当$△ ACP$与$△ BPQ$全等时，$x$的值为2或$\frac{20}{7}$。
【答案】
(1) $△ ACP ≌ △ BPQ$，$PC ⊥ PQ$；(2) $x$的值为$2$或$\frac{20}{7}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质 2. 垂直的判定 3. 分类讨论思想
【点评】
本题结合动点场景考查全等三角形的相关知识，解题时需注意全等三角形对应顶点不明确时要分类讨论，避免漏解，同时要熟练运用行程问题中速度、时间、路程的关系表示动线段长度，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.6