7.如图,已知∠A=∠D=90°,AC=DB,AC,DB相交于点O.
(1)求证:OB=OC;
(2)若取BC的中点E,试判断OE与BC的位置关系并说明理由.

7.(1)证明:在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DCB$中，$\begin{cases} AC=DB,\\ BC=CB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DCB(\mathrm{HL}),\therefore ∠ACB=∠DBC,$
$\therefore OB=OC.$
(2)解:$OE⊥BC$于点E.理由如下：
由(1)中结论可得$OB=OC$.
又$\because BE=CE,OE=OE,$
$\therefore △OBE≌△OCE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠OEB=∠OEC.$
$\because ∠OEB+∠OEC=180°,$
$\therefore ∠OEB=∠OEC=90°,\therefore OE⊥BC.$

【分析】
(1) 要证OB=OC，根据等角对等边的性质，可先证明∠ACB=∠DBC。已知∠A=∠D=90°，△ABC和△DCB都是直角三角形，题中给出AC=DB，且BC是两个三角形的公共斜边，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应角∠ACB=∠DBC，进而推出OB=OC。
(2) 判断OE与BC的位置关系，由(1)已得OB=OC，可知△OBC为等腰三角形，E是BC中点，可通过SSS证明△OBE≌△OCE，得到∠OEB=∠OEC，结合两个角的和为平角180°，可推出两个角均为90°，即可得到OE与BC垂直的关系。
【解析】
(1) 证明: 在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DCB$中，
$\begin{cases} AC=DB,\\ BC=CB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DCB(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ACB=∠DBC,$
$\therefore OB=OC.$
(2) 解:$OE⊥BC$。理由如下：
由(1)中结论可得$OB=OC$.
又$\because BE=CE,OE=OE,$
$\therefore △OBE≌△OCE(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠OEB=∠OEC.$
$\because ∠OEB+∠OEC=180°,$
$\therefore ∠OEB=∠OEC=90°,$
$\therefore OE⊥BC.$
【答案】
(1) 证明: 在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DCB$中，$\begin{cases} AC=DB,\\ BC=CB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DCB(\mathrm{HL}),\therefore ∠ACB=∠DBC,$
$\therefore OB=OC.$
(2) $OE⊥BC$于点E。理由如下：
由(1)中结论可得$OB=OC$.
又$\because BE=CE,OE=OE,$
$\therefore △OBE≌△OCE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠OEB=∠OEC.$
$\because ∠OEB+∠OEC=180°,$
$\therefore ∠OEB=∠OEC=90°,\therefore OE⊥BC.$
【知识点】
1. HL判定全等
2. 全等三角形性质
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查了直角三角形全等的判定、全等三角形的性质以及等腰三角形的相关性质，解题时需结合已知条件和图形特征，选择合适的判定定理逐步推导边、角关系即可求解，有助于巩固全等三角形和等腰三角形的相关基础知识点。
【难度系数】
0.8

8.(姑苏区期末)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,F为AB的延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≅Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.

8.(1)证明:$\because ∠ABC=90°,\therefore ∠CBF=∠ABE=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ABE$和$\mathrm{Rt}△CBF$中，$\begin{cases} AE=CF,\\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△CBF(\mathrm{HL}).$
(2)解:$\because ∠ABC=90°,AB=BC,\therefore ∠BAC=∠ACB=45°.$
$\because ∠CAE=30°,\therefore ∠BAE=∠CAB-∠CAE=15°.$
由(1)知$\mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△CBF$，
$\therefore ∠BCF=∠BAE=15°,$
$\therefore ∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.$

【分析】
(1) 要证明两个直角三角形全等，首先确认$\mathrm{Rt}△ABE$和$\mathrm{Rt}△CBF$都是直角三角形，题目已经给出斜边$AE=CF$、直角边$AB=CB$，刚好符合直角三角形全等的HL判定条件，按要求整理条件即可证明全等。
(2) 求$∠ ACF$的度数，首先根据$AB=BC$、$∠ ABC=90°$判断$△ ABC$是等腰直角三角形，可得底角为$45°$，结合$∠ CAE=30°$先算出$∠ BAE$的度数，再利用第一问全等的结论得到对应角$∠ BCF=∠ BAE$，最后用$∠ ACB$加$∠ BCF$即可求出$∠ ACF$的度数。
【解析】
(1) 证明:$\because ∠ABC=90°,\therefore ∠CBF=∠ABE=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ABE$和$\mathrm{Rt}△CBF$中，$\begin{cases} AE=CF,\\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△CBF(\mathrm{HL}).$
(2) 解:$\because ∠ABC=90°,AB=BC,\therefore ∠BAC=∠ACB=45°.$
$\because ∠CAE=30°,\therefore ∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.$
由(1)知$\mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△CBF$，
$\therefore ∠BCF=∠BAE=15°,$
$\therefore ∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.$
【答案】
(1) 已证$\mathrm{Rt}△ABE≅\mathrm{Rt}△CBF$；
(2) $\boxed{60°}$
【知识点】
直角三角形全等判定，等腰直角三角形性质，全等三角形性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查了直角三角形全等的判定、全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角度计算，解题核心是熟练掌握HL判定定理，结合角度的和差关系推导所求角度。
【难度系数】
0.8

9. 将两个全等的$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DBE$按如图①的方式摆放，其中$∠ ACB=∠ DEB=90°$，$∠ A=∠ D=30°$，点$E$落在$AB$上，$DE$所在直线交$AC$所在直线于点$F$.
(1)求证:$AF+EF=DE$.
(2)若将图①中的$△ DBE$绕点$B$按顺时针方向旋转角$α$，且$0°＜α＜60°$，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立.
(3)若将图①中的$△ DBE$绕点$B$按顺时针方向旋转角$β$，且$60°＜β＜180°$，其他条件不变，如图③.你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时$AF,EF$与$DE$之间的数量关系，并说明理由.

9.(1)证明:如答图①,连接$BF$.
$\because △ABC≌△DBE,\therefore BC=BE,AC=DE.$
在$\mathrm{Rt}△BCF$和$\mathrm{Rt}△BEF$中，$\begin{cases} BC=BE,\\ BF=BF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BCF≌\mathrm{Rt}△BEF(\mathrm{HL}),\therefore EF=CF,$
$\therefore AF+EF=AF+CF=AC=DE.$
(2)解:(1)中的结论仍然成立.理由如下：
如答图②,延长$DE$交$AC$于点$F$,连接$BF$.
$\because △ABC≌△DBE,\therefore BC=BE,AC=DE.$
在$\mathrm{Rt}△BCF$和$\mathrm{Rt}△BEF$中，$\begin{cases} BC=BE,\\ BF=BF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BCF≌\mathrm{Rt}△BEF(\mathrm{HL}),\therefore EF=CF,$
$\therefore AF+EF=AF+CF=AC=DE.$
(3)解:(1)中的结论不成立,$AF-EF=DE$.理由如下：
如答图③,连接$BF$.
$\because △ABC≌△DBE,\therefore BC=BE,AC=DE.$
在$\mathrm{Rt}△BCF$和$\mathrm{Rt}△BEF$中，$\begin{cases} BC=BE,\\ BF=BF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BCF≌\mathrm{Rt}△BEF(\mathrm{HL}),\therefore CF=EF.$
$\because AF-FC=AC=DE,\therefore AF-EF=DE.$
第9题答图

【分析】
本题是三角形全等与旋转结合的探究类题目，解题思路如下：
(1) 要证明$AF+EF=DE$，首先根据两个三角形全等可得$AC=DE$，因此只需证明$AF+EF=AC$即可。观察图形，$AC=AF+CF$，因此只要证明$EF=CF$就可推出结论，连接公共边$BF$，利用HL证明$\mathrm{Rt}△BCF$和$\mathrm{Rt}△BEF$全等即可得到$EF=CF$，完成推导。
(2) 旋转角$0°＜α＜60°$时，图形位置发生变化，但$BC=BE$、$∠ACB=∠DEB=90°$的条件不变，仍然可以通过连接$BF$，用HL证明两个直角三角形全等得到$EF=CF$，因此(1)的结论仍然成立。
(3) 旋转角$60°＜β＜180°$时，点$F$位于$AC$的延长线上，此时$AC=AF-CF$，同样通过HL证全等得$CF=EF$，因此原来的和的关系变为差的关系，即$AF-EF=DE$。
【解析】
(1) 证明：如答图①，连接$BF$。
$\because △ABC≌△DBE,\therefore BC=BE,AC=DE.$
在$\mathrm{Rt}△BCF$和$\mathrm{Rt}△BEF$中，$\begin{cases} BC=BE,\\ BF=BF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BCF≌\mathrm{Rt}△BEF(\mathrm{HL}),\therefore EF=CF,$
$\therefore AF+EF=AF+CF=AC=DE.$
(2) 变换后的图形如答图②所示，(1)中的结论仍然成立。
证明：延长$DE$交$AC$于点$F$，连接$BF$。
$\because △ABC≌△DBE,\therefore BC=BE,AC=DE.$
在$\mathrm{Rt}△BCF$和$\mathrm{Rt}△BEF$中，$\begin{cases} BC=BE,\\ BF=BF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BCF≌\mathrm{Rt}△BEF(\mathrm{HL}),\therefore EF=CF,$
$\therefore AF+EF=AF+CF=AC=DE$，故结论仍成立。
(3) (1)中的结论不成立，此时$AF,EF$与$DE$的数量关系为$AF-EF=DE$。
理由：如答图③，连接$BF$。
$\because △ABC≌△DBE,\therefore BC=BE,AC=DE.$
在$\mathrm{Rt}△BCF$和$\mathrm{Rt}△BEF$中，$\begin{cases} BC=BE,\\ BF=BF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BCF≌\mathrm{Rt}△BEF(\mathrm{HL}),\therefore CF=EF.$
$\because AF-FC=AC=DE,\therefore AF-EF=DE.$
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 图形见答图②，(1)中结论仍然成立；
(3) (1)中结论不成立，数量关系为$\boldsymbol{AF-EF=DE}$，理由见解析。
第9题答图
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；旋转的性质
【点评】
本题属于几何动态探究题，围绕旋转过程中不变的边、角关系展开，核心是利用HL判定直角三角形全等，实现线段的等量转化，解题时需注意不同旋转角度下线段的位置变化，分类讨论线段和差的关系。
【难度系数】
0.6