7.如图,已知∠A=∠D=90°,AC=DB,AC,DB相交于点O.
(1)求证:OB=OC;
(2)若取BC的中点E,试判断OE与BC的位置关系并说明理由.

7.(1)证明:在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DCB$中，$\begin{cases} AC=DB,\\ BC=CB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DCB(\mathrm{HL}),\therefore ∠ACB=∠DBC,$
$\therefore OB=OC.$
(2)解:$OE⊥BC$于点E.理由如下：
由(1)中结论可得$OB=OC$.
又$\because BE=CE,OE=OE,$
$\therefore △OBE≌△OCE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠OEB=∠OEC.$
$\because ∠OEB+∠OEC=180°,$
$\therefore ∠OEB=∠OEC=90°,\therefore OE⊥BC.$

8.(姑苏区期末)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,F为AB的延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≅Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.

8.(1)证明:$\because ∠ABC=90°,\therefore ∠CBF=∠ABE=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ABE$和$\mathrm{Rt}△CBF$中，$\begin{cases} AE=CF,\\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△CBF(\mathrm{HL}).$
(2)解:$\because ∠ABC=90°,AB=BC,\therefore ∠BAC=∠ACB=45°.$
$\because ∠CAE=30°,\therefore ∠BAE=∠CAB-∠CAE=15°.$
由(1)知$\mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△CBF$，
$\therefore ∠BCF=∠BAE=15°,$
$\therefore ∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.$

9. 将两个全等的$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DBE$按如图①的方式摆放，其中$∠ ACB=∠ DEB=90°$，$∠ A=∠ D=30°$，点$E$落在$AB$上，$DE$所在直线交$AC$所在直线于点$F$.
(1)求证:$AF+EF=DE$.
(2)若将图①中的$△ DBE$绕点$B$按顺时针方向旋转角$α$，且$0°＜α＜60°$，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立.
(3)若将图①中的$△ DBE$绕点$B$按顺时针方向旋转角$β$，且$60°＜β＜180°$，其他条件不变，如图③.你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时$AF,EF$与$DE$之间的数量关系，并说明理由.

9.(1)证明:如答图①,连接$BF$.
$\because △ABC≌△DBE,\therefore BC=BE,AC=DE.$
在$\mathrm{Rt}△BCF$和$\mathrm{Rt}△BEF$中，$\begin{cases} BC=BE,\\ BF=BF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BCF≌\mathrm{Rt}△BEF(\mathrm{HL}),\therefore EF=CF,$
$\therefore AF+EF=AF+CF=AC=DE.$
(2)解:(1)中的结论仍然成立.理由如下：
如答图②,延长$DE$交$AC$于点$F$,连接$BF$.
$\because △ABC≌△DBE,\therefore BC=BE,AC=DE.$
在$\mathrm{Rt}△BCF$和$\mathrm{Rt}△BEF$中，$\begin{cases} BC=BE,\\ BF=BF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BCF≌\mathrm{Rt}△BEF(\mathrm{HL}),\therefore EF=CF,$
$\therefore AF+EF=AF+CF=AC=DE.$
(3)解:(1)中的结论不成立,$AF-EF=DE$.理由如下：
如答图③,连接$BF$.
$\because △ABC≌△DBE,\therefore BC=BE,AC=DE.$
在$\mathrm{Rt}△BCF$和$\mathrm{Rt}△BEF$中，$\begin{cases} BC=BE,\\ BF=BF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BCF≌\mathrm{Rt}△BEF(\mathrm{HL}),\therefore CF=EF.$
$\because AF-FC=AC=DE,\therefore AF-EF=DE.$
第9题答图