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1.(徐州期末)如图,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.他的依据是 (
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
B
)A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
答案
1.B
解析
【分析】
要判断画出全等三角形的依据，首先观察被污染后三角形剩余的完整元素：可见剩余部分包含原三角形的两个内角，以及这两个内角的夹边，再结合全等三角形的判定定理，匹配对应的判定规则即可得出答案。
【解析】
观察图形可知，未被墨迹污染的部分保留了原三角形的两个角，以及这两个角的夹边。根据全等三角形的判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（即ASA），因此可以依据ASA画出与原图完全一致的三角形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，ASA判定定理
【点评】
本题属于全等三角形判定的实际应用题，解题核心是准确提取剩余三角形的已知完整条件，再匹配对应的全等判定规则，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
要判断画出全等三角形的依据，首先观察被污染后三角形剩余的完整元素：可见剩余部分包含原三角形的两个内角，以及这两个内角的夹边，再结合全等三角形的判定定理，匹配对应的判定规则即可得出答案。
【解析】
观察图形可知，未被墨迹污染的部分保留了原三角形的两个角，以及这两个角的夹边。根据全等三角形的判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（即ASA），因此可以依据ASA画出与原图完全一致的三角形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，ASA判定定理
【点评】
本题属于全等三角形判定的实际应用题，解题核心是准确提取剩余三角形的已知完整条件，再匹配对应的全等判定规则，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
2.如图，已知$BC=EC$，$∠ BCE=∠ ACD$，如果只添加一个条件使$△ ABC≌△ DEC$，则添加的条件不能为（
A.$∠ A=∠ D$
B.$∠ B=∠ E$
C.$AC=DC$
D.$AB=DE$
D
）A.$∠ A=∠ D$
B.$∠ B=∠ E$
C.$AC=DC$
D.$AB=DE$
答案
2.D
解析
【分析】
首先从已知条件出发，先利用∠BCE=∠ACD，通过等式两边同时加公共角∠ACE，可推导出△ABC和△DEC的一组对应角∠ACB=∠DCE，结合已知的BC=EC，此时已经得到一组边相等、一组角相等的条件。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐一判断每个选项添加后是否能判定两三角形全等，即可找到不能添加的条件。
【解析】
∵∠BCE=∠ACD
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，即∠ACB=∠DCE
又已知BC=EC，逐个分析选项：
A. 添加∠A=∠D，结合∠ACB=∠DCE，BC=EC，满足AAS判定定理，可证△ABC≌△DEC，不符合题意；
B. 添加∠B=∠E，结合BC=EC，∠ACB=∠DCE，满足ASA判定定理，可证△ABC≌△DEC，不符合题意；
C. 添加AC=DC，结合BC=EC，∠ACB=∠DCE，满足SAS判定定理，可证△ABC≌△DEC，不符合题意；
D. 添加AB=DE，此时满足的是两边及其中一边的对角相等（SSA），SSA不能判定三角形全等，无法证明△ABC≌△DEC，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定；角的和差运算
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础应用题，解题关键是先推导得到两个三角形的一组对应角相等，再结合判定定理逐一验证选项。需要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，这是此类题的高频易错点。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件出发，先利用∠BCE=∠ACD，通过等式两边同时加公共角∠ACE，可推导出△ABC和△DEC的一组对应角∠ACB=∠DCE，结合已知的BC=EC，此时已经得到一组边相等、一组角相等的条件。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐一判断每个选项添加后是否能判定两三角形全等，即可找到不能添加的条件。
【解析】
∵∠BCE=∠ACD
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，即∠ACB=∠DCE
又已知BC=EC，逐个分析选项：
A. 添加∠A=∠D，结合∠ACB=∠DCE，BC=EC，满足AAS判定定理，可证△ABC≌△DEC，不符合题意；
B. 添加∠B=∠E，结合BC=EC，∠ACB=∠DCE，满足ASA判定定理，可证△ABC≌△DEC，不符合题意；
C. 添加AC=DC，结合BC=EC，∠ACB=∠DCE，满足SAS判定定理，可证△ABC≌△DEC，不符合题意；
D. 添加AB=DE，此时满足的是两边及其中一边的对角相等（SSA），SSA不能判定三角形全等，无法证明△ABC≌△DEC，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定；角的和差运算
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础应用题，解题关键是先推导得到两个三角形的一组对应角相等，再结合判定定理逐一验证选项。需要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，这是此类题的高频易错点。
【难度系数】
0.7
3.(秦淮区期末)如图，$EC⊥ BD$，垂足为$C$，$A$是$EC$上一点，且$AC=CD$，$AB=DE$。若$AC=3.5$，$BD=9$，则$AE$的长为（
A.2
B.2.5
C.3
D.5.5
A
）A.2
B.2.5
C.3
D.5.5
答案
3.A
解析
【分析】
首先由$EC ⊥ BD$可得$△ DCE$和$△ ACB$均为直角三角形，已知$AC=CD$、$AB=DE$，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应边$EC=BC$。再结合已知的$AC$、$BD$长度，先求出$CD$的长度，进而算出$BC$（即$EC$）的长度，最后用$EC$减去$AC$即可得到$AE$的长度。
【解析】
解：$\because EC ⊥ BD$，$\therefore ∠ DCE=∠ ACB=90°$，即$△ DCE$和$△ ACB$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ DCE$和$\mathrm{Rt}△ ACB$中：
$\begin{cases}CD=AC \\DE=AB\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DCE ≌ \mathrm{Rt}△ ACB$（HL），
$\therefore EC=BC$。
$\because AC=3.5$，$AC=CD$，$\therefore CD=3.5$，
$\because BD=9$，$\therefore BC=BD-CD=9-3.5=5.5$，
$\therefore EC=BC=5.5$，
$\therefore AE=EC-AC=5.5-3.5=2$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的应用，解题关键是先证明直角三角形全等得到对应边相等，再结合线段的和差关系计算目标线段长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先由$EC ⊥ BD$可得$△ DCE$和$△ ACB$均为直角三角形，已知$AC=CD$、$AB=DE$，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应边$EC=BC$。再结合已知的$AC$、$BD$长度，先求出$CD$的长度，进而算出$BC$（即$EC$）的长度，最后用$EC$减去$AC$即可得到$AE$的长度。
【解析】
解：$\because EC ⊥ BD$，$\therefore ∠ DCE=∠ ACB=90°$，即$△ DCE$和$△ ACB$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ DCE$和$\mathrm{Rt}△ ACB$中：
$\begin{cases}CD=AC \\DE=AB\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DCE ≌ \mathrm{Rt}△ ACB$（HL），
$\therefore EC=BC$。
$\because AC=3.5$，$AC=CD$，$\therefore CD=3.5$，
$\because BD=9$，$\therefore BC=BD-CD=9-3.5=5.5$，
$\therefore EC=BC=5.5$，
$\therefore AE=EC-AC=5.5-3.5=2$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的应用，解题关键是先证明直角三角形全等得到对应边相等，再结合线段的和差关系计算目标线段长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.如图，$AB=AC$，$AE=AF$，$BE$与$CF$相交于点$D$，有下列结论：①$△ ABE≌△ ACF$；②$△ BDF≌△ CDE$；③点$D$在$∠ BAC$的平分线上.其中正确的有（
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
D
）A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
4.D
解析
【分析】
本题可通过已知条件逐步推导全等三角形，再利用全等性质验证三个结论：第一步先结合公共角和已知等边，判断△ABE和△ACF是否全等；第二步利用第一对全等得到的角、边相等关系，推导△BDF和△CDE是否全等；第三步再利用第二对全等的结论，结合已知边相等证明包含AD的三角形全等，判断点D是否在∠BAC的平分线上。
【解析】
1. 验证结论①：
在$△ ABE$和$△ ACF$中，
$\begin{cases}AB=AC \\∠ A=∠ A \\AE=AF\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ ACF(\mathrm{SAS})$，故①正确。
2. 验证结论②：
由$△ ABE≌△ ACF$可得$∠ B=∠ C$，
∵$AB=AC$，$AE=AF$，
∴$AB-AF=AC-AE$，即$BF=CE$，
在$△ BDF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ BDF=∠ CDE \\BF=CE\end{cases}$
∴$△ BDF≌△ CDE(\mathrm{AAS})$，故②正确。
3. 验证结论③：
连接$AD$，由$△ BDF≌△ CDE$可得$BD=CD$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC \\AD=AD \\BD=CD\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ ACD(\mathrm{SSS})$，
∴$∠ BAD=∠ CAD$，即点$D$在$∠ BAC$的平分线上，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】D
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是全等三角形的综合应用题，解题时需从已知条件出发，先证明基础的全等三角形，再将其结论作为后续证明的条件，逐步推导即可得出所有结论。
【难度系数】
0.7
本题可通过已知条件逐步推导全等三角形，再利用全等性质验证三个结论：第一步先结合公共角和已知等边，判断△ABE和△ACF是否全等；第二步利用第一对全等得到的角、边相等关系，推导△BDF和△CDE是否全等；第三步再利用第二对全等的结论，结合已知边相等证明包含AD的三角形全等，判断点D是否在∠BAC的平分线上。
【解析】
1. 验证结论①：
在$△ ABE$和$△ ACF$中，
$\begin{cases}AB=AC \\∠ A=∠ A \\AE=AF\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ ACF(\mathrm{SAS})$，故①正确。
2. 验证结论②：
由$△ ABE≌△ ACF$可得$∠ B=∠ C$，
∵$AB=AC$，$AE=AF$，
∴$AB-AF=AC-AE$，即$BF=CE$，
在$△ BDF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ BDF=∠ CDE \\BF=CE\end{cases}$
∴$△ BDF≌△ CDE(\mathrm{AAS})$，故②正确。
3. 验证结论③：
连接$AD$，由$△ BDF≌△ CDE$可得$BD=CD$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC \\AD=AD \\BD=CD\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ ACD(\mathrm{SSS})$，
∴$∠ BAD=∠ CAD$，即点$D$在$∠ BAC$的平分线上，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】D
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是全等三角形的综合应用题，解题时需从已知条件出发，先证明基础的全等三角形，再将其结论作为后续证明的条件，逐步推导即可得出所有结论。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题6分,共24分)
5.如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则∠1+∠2的度数为
5.如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则∠1+∠2的度数为
90°
。答案
5.90°
解析
【分析】
解题思路如下：首先从已知垂直和直角条件切入，先由AC⊥CD得到∠ACD=90°，结合图形隐含的B、C、E三点共线条件，根据平角定义推出∠ACB与∠DCE的和为90°；再利用直角三角形两锐角互余的性质，分别得到∠1与∠ACB互余、∠2与∠DCE互余，通过同角的余角相等得到∠1和∠DCE的等量关系，最后代入即可求出∠1+∠2的度数。
【解析】
解：
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
由图可知B、C、E三点在同一直线上，根据平角定义可得：
∠ACB + ∠ACD + ∠DCE = 180°，
∴∠ACB + ∠DCE = 180° - 90° = 90°，
∵∠B=∠E=90°，
∴在Rt△ABC中，∠1 + ∠ACB = 90°（直角三角形两锐角互余），
根据同角的余角相等可得：∠1 = ∠DCE，
在Rt△CDE中，∠2 + ∠DCE = 90°（直角三角形两锐角互余），
将∠DCE替换为∠1，可得∠1 + ∠2 = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
直角三角形的性质，余角的性质，平角的定义
【点评】
本题侧重考查角度计算的基础应用，解题时要注意挖掘图形隐含的共线条件，熟练运用余角的性质完成角的等量代换是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先从已知垂直和直角条件切入，先由AC⊥CD得到∠ACD=90°，结合图形隐含的B、C、E三点共线条件，根据平角定义推出∠ACB与∠DCE的和为90°；再利用直角三角形两锐角互余的性质，分别得到∠1与∠ACB互余、∠2与∠DCE互余，通过同角的余角相等得到∠1和∠DCE的等量关系，最后代入即可求出∠1+∠2的度数。
【解析】
解：
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
由图可知B、C、E三点在同一直线上，根据平角定义可得：
∠ACB + ∠ACD + ∠DCE = 180°，
∴∠ACB + ∠DCE = 180° - 90° = 90°，
∵∠B=∠E=90°，
∴在Rt△ABC中，∠1 + ∠ACB = 90°（直角三角形两锐角互余），
根据同角的余角相等可得：∠1 = ∠DCE，
在Rt△CDE中，∠2 + ∠DCE = 90°（直角三角形两锐角互余），
将∠DCE替换为∠1，可得∠1 + ∠2 = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
直角三角形的性质，余角的性质，平角的定义
【点评】
本题侧重考查角度计算的基础应用，解题时要注意挖掘图形隐含的共线条件，熟练运用余角的性质完成角的等量代换是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7
6.如图,点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N.若OM=ON,则∠ABO的度数是
15°
.答案
6.15°
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：∠ABC=30°，OM垂直AB、ON垂直BC，即OM、ON分别是点O到∠ABC两边的距离，且OM=ON。结合角平分线的判定定理，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可推出BO是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的定义，∠ABO为∠ABC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OM⊥AB，ON⊥BC，且OM=ON，
∴BO平分∠ABC（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴∠ABO = $\frac{1}{2}$∠ABC，
又
∵∠ABC=30°，
∴∠ABO = $\frac{1}{2}$×30° = 15°。
【答案】
15°
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线判定定理的应用，解题时只需结合已知的垂直、距离相等的条件推出角平分线，再进行简单的角度计算即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目已知条件：∠ABC=30°，OM垂直AB、ON垂直BC，即OM、ON分别是点O到∠ABC两边的距离，且OM=ON。结合角平分线的判定定理，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可推出BO是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的定义，∠ABO为∠ABC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OM⊥AB，ON⊥BC，且OM=ON，
∴BO平分∠ABC（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴∠ABO = $\frac{1}{2}$∠ABC，
又
∵∠ABC=30°，
∴∠ABO = $\frac{1}{2}$×30° = 15°。
【答案】
15°
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线判定定理的应用，解题时只需结合已知的垂直、距离相等的条件推出角平分线，再进行简单的角度计算即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
7.如图，AD//BC，∠BAD=90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则线段BF与线段
AE
相等。答案
7.AE
解析
【分析】
要判断与BF相等的线段，可通过证明三角形全等推导对应边相等。首先梳理已知条件：AD//BC可得内错角相等，∠BAD=90°、CF⊥BE可得两个直角相等，由画弧的方式可知BE=BC，据此可找到包含BF和待求线段的全等三角形，进而得到对应边的等量关系。
【解析】
解：
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠FBC（两直线平行，内错角相等），
∵CF⊥BE，∠BAD=90°，
∴∠A=∠BFC=90°，
由题意得：BE=BC（同圆的半径相等），
在△ABE和△FCB中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠BFC \\∠AEB=∠FBC \\BE=BC\end{array} $
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴BF=AE。
【答案】
AE
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的核心是结合已知条件找到全等三角形，通过全等转化边的等量关系，这类题型是几何中证明线段相等的常见考法。
【难度系数】
0.7
要判断与BF相等的线段，可通过证明三角形全等推导对应边相等。首先梳理已知条件：AD//BC可得内错角相等，∠BAD=90°、CF⊥BE可得两个直角相等，由画弧的方式可知BE=BC，据此可找到包含BF和待求线段的全等三角形，进而得到对应边的等量关系。
【解析】
解：
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠FBC（两直线平行，内错角相等），
∵CF⊥BE，∠BAD=90°，
∴∠A=∠BFC=90°，
由题意得：BE=BC（同圆的半径相等），
在△ABE和△FCB中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠BFC \\∠AEB=∠FBC \\BE=BC\end{array} $
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴BF=AE。
【答案】
AE
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的核心是结合已知条件找到全等三角形，通过全等转化边的等量关系，这类题型是几何中证明线段相等的常见考法。
【难度系数】
0.7
8.如图,已知点A,C在线段BD两侧,AB=AD,CB=CD,线段AC,BD相交于点O.有下列结论:
①$∠ ABC=∠ ADC$;②$AC\bot BD$;③AC平分$∠ BAD$;④$OB=OD$.其中正确的是
①$∠ ABC=∠ ADC$;②$AC\bot BD$;③AC平分$∠ BAD$;④$OB=OD$.其中正确的是
①②③④
.(填写所有正确结论的序号)答案
8.①②③④
解析
【分析】
解题时可先从已知的边相等条件入手，首先观察△ABC和△ADC，两个三角形有两组边对应相等，加上公共边AC，可通过SSS判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质推导角的关系，最后结合等腰三角形的三线合一性质判断线段和垂直相关的结论是否正确即可。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB=AD(\mathrm{已知}) \\CB=CD(\mathrm{已知}) \\AC=AC(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ ABC=∠ ADC$（全等三角形对应角相等），故①正确；
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$（全等三角形对应角相等），即$AC$平分$∠ BAD$，故③正确；
$\because AB=AD$，$△ ABD$为等腰三角形，且$AC$是$∠ BAD$的角平分线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质可得：$AC⊥ BD$，且$O$为$BD$中点，即$OB=OD$，故②、④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是几何基础题，解题核心是先证明三角形全等得到角的等量关系，再结合等腰三角形的性质推导垂直和线段相等的结论，熟练掌握全等三角形判定、性质以及等腰三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时可先从已知的边相等条件入手，首先观察△ABC和△ADC，两个三角形有两组边对应相等，加上公共边AC，可通过SSS判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质推导角的关系，最后结合等腰三角形的三线合一性质判断线段和垂直相关的结论是否正确即可。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB=AD(\mathrm{已知}) \\CB=CD(\mathrm{已知}) \\AC=AC(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ ABC=∠ ADC$（全等三角形对应角相等），故①正确；
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$（全等三角形对应角相等），即$AC$平分$∠ BAD$，故③正确；
$\because AB=AD$，$△ ABD$为等腰三角形，且$AC$是$∠ BAD$的角平分线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质可得：$AC⊥ BD$，且$O$为$BD$中点，即$OB=OD$，故②、④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是几何基础题，解题核心是先证明三角形全等得到角的等量关系，再结合等腰三角形的性质推导垂直和线段相等的结论，熟练掌握全等三角形判定、性质以及等腰三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
