三、解答题(共52分)
9.(10分)如图，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E.求证：△ABE≌△ACD.

9.证明:
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEB=90°.
在△ABE和△ACD中,$\begin{cases} ∠AEB=∠ADC, \\ ∠BAE=∠CAD, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(AAS).

【分析】
要证明△ABE≌△ACD，首先回忆三角形全等的判定定理，我们可以从已知条件和图形隐含条件入手逐一找对应相等的元素：
1. 由已知CD⊥AB、BE⊥AC，根据垂直的定义可得两个三角形各有一个直角，即∠ADC=∠AEB=90°，得到第一组对应角相等；
2. 观察图形可知∠BAE和∠CAD是同一个公共角，因此第二组对应角相等；
3. 已知AB=AC，是两组等角所对的对应边，满足AAS的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明:
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°.
在△ABE和△ACD中,
$\begin{cases} ∠AEB=∠ADC, \\ ∠BAE=∠CAD, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(AAS).
【答案】
证明:
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°.
在△ABE和△ACD中,
$\begin{cases} ∠AEB=∠ADC, \\ ∠BAE=∠CAD, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(AAS).
【知识点】
1. 垂直的定义
2. 全等三角形AAS判定
3. 公共角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础习题，主要考查学生对AAS判定定理的掌握，以及挖掘图形中公共角这类隐含条件的能力，解题时注意找准对应角、对应边即可顺利求解。
【难度系数】
0.85

10.(12分)(江宁区期末)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,DF//CE,DF=CE,AD=BC.求证:(1)CF=DE;(2)AF//EB.

10.证明:(1)
∵DF//CE,
∴∠FDC=∠ECD.
在△FDC和△ECD中,$\begin{cases} DF=CE, \\ ∠FDC=∠ECD, \\ DC=CD, \end{cases}$
∴△FDC≌△ECD(SAS),
∴CF=DE.
(2)
∵△FDC≌△ECD,
∴∠FCD=∠EDC.
∵AD=BC,
∴AD+DC=BC+DC,即AC=BD.
在△FAC和△EBD中,$\begin{cases} FC=ED, \\ ∠FCA=∠EDB, \\ AC=BD, \end{cases}$
∴△FAC≌△EBD(SAS),
∴∠A=∠B,
∴AF//EB.

【分析】
(1) 要证明CF=DE，可通过证明两条线段所在的△FDC和△ECD全等来实现。已知DF//CE，可先推出一组内错角相等，结合已知的DF=CE和公共边DC=CD，即可用SAS判定两个三角形全等，进而得到对应边CF=DE。
(2) 要证明AF//EB，可通过证明内错角∠A=∠B来实现，需要先证明△FAC和△EBD全等。由(1)的全等可得CF=DE、∠FCD=∠EDC（即∠FCA=∠EDB），再结合已知AD=BC，利用等式性质推出AC=BD，即可用SAS判定两个三角形全等，得到∠A=∠B，进而推出两直线平行。
【解析】
(1) 证明：
∵DF//CE，
∴∠FDC=∠ECD。
在△FDC和△ECD中，
$\begin{cases} DF=CE, \\ ∠FDC=∠ECD, \\ DC=CD, \end{cases}$
∴△FDC≌△ECD(SAS)，
∴CF=DE。
(2) 证明：
∵△FDC≌△ECD，
∴∠FCD=∠EDC。
∵AD=BC，
∴AD+DC=BC+DC，即AC=BD。
在△FAC和△EBD中，
$\begin{cases} FC=ED, \\ ∠FCA=∠EDB, \\ AC=BD, \end{cases}$
∴△FAC≌△EBD(SAS)，
∴∠A=∠B，
∴AF//EB。
【答案】
(1) CF=DE得证；(2) AF//EB得证，证明过程见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等式的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合已知条件推导全等三角形需要的边、角相等关系，再利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，进而完成证明，要求熟练掌握全等三角形的判定定理和平行线的性质、判定定理，能够灵活转化边和角的关系。
【难度系数】
0.7

11.(14分)如图,已知AD,BF相交于点O,OA=OD,AB//DF,点E,C在BF上,BE=CF.
(1)求证:△ABO≌△DFO;
(2)判断线段AC与DE的位置及数量关系,并说明理由.

11.(1)证明:
∵AB//DF,
∴∠B=∠F,∠BAO=∠FDO.
在△ABO和△DFO中,$\begin{cases} ∠B=∠F, \\ ∠BAO=∠FDO, \\ OA=OD, \end{cases}$
∴△ABO≌△DFO(AAS).
(2)解:AC=DE,AC//DE.理由如下:
∵△ABO≌△DFO,
∴BO=FO.
∵BE=CF,
∴BO-BE=FO-FC,即EO=CO.
在△AOC和△DOE中,$\begin{cases} AO=DO, \\ ∠AOC=∠DOE, \\ CO=EO, \end{cases}$
∴△AOC≌△DOE(SAS),
∴AC=DE,∠OAC=∠ODE,
∴AC//DE.

【分析】
(1) 证明三角形全等需先找到对应的相等边角条件：已知AB//DF，可根据平行线的性质得到两组内错角相等，再结合已知OA=OD的条件，即可用AAS判定定理证明△ABO≌△DFO。
(2) 判断线段的位置和数量关系，可通过证明三角形全等推导结论：先借助第(1)问的全等结论得到BO=FO，结合BE=CF推出EO=CO，再结合OA=OD、对顶角相等的条件，用SAS证明△AOC≌△DOE，根据全等性质可得AC=DE，再由对应角相等推导内错角相等，即可得到AC//DE的位置关系。
【解析】
(1) 证明:
∵AB//DF,
∴∠B=∠F,∠BAO=∠FDO.
在△ABO和△DFO中,$\begin{cases} ∠B=∠F, \\ ∠BAO=∠FDO, \\ OA=OD, \end{cases}$
∴△ABO≌△DFO(AAS).
(2) 解:AC=DE,AC//DE.理由如下:
∵△ABO≌△DFO,
∴BO=FO.
∵BE=CF,
∴BO-BE=FO-FC,即EO=CO.
在△AOC和△DOE中,$\begin{cases} AO=DO, \\ ∠AOC=∠DOE, \\ CO=EO, \end{cases}$
∴△AOC≌△DOE(SAS),
∴AC=DE,∠OAC=∠ODE,
∴AC//DE.
【答案】
(1) △ABO≌△DFO得证；
(2) AC与DE的数量关系为AC=DE，位置关系为AC//DE。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题时可先从已知条件入手推导边角相等关系，再结合已证的全等结论逐步推导所求结论，整体逻辑连贯，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

12.(16分)如图,在△ABC中,BD=CD,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F.
求证:(1)BF=AC;
(2)CE=$\frac{1}{2}$BF.

12.证明:(1)
∵CD⊥AB, BE⊥AC,
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=∠BEC=90°,
∴∠DBF=90°-∠BFD,∠DCA=90°-∠EFC.
∵∠BFD=∠EFC,
∴∠DBF=∠DCA.
在△DFB和△DAC中,$\begin{cases} ∠BDF=∠CDA, \\ BD=CD, \\ ∠DBF=∠DCA, \end{cases}$
∴△DFB≌△DAC(ASA),
∴BF=AC.
(2)
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
在△BEA和△BEC中,$\begin{cases} ∠AEB=∠CEB, \\ BE=BE, \\ ∠ABE=∠CBE, \end{cases}$
∴△BEA≌△BEC(ASA),
∴CE=AE=$\frac{1}{2}$AC. 又
∵BF=AC,
∴CE=$\frac{1}{2}$BF.

【分析】
(1)证明线段相等通常可通过证明线段所在的三角形全等求解。首先根据CD⊥AB、BE⊥AC可得对应直角相等，再结合对顶角相等推导得∠DBF=∠DCA，结合已知BD=CD，可利用ASA证明△DFB≌△DAC，即可得到BF=AC。
(2)证明线段的倍分关系，可借助第一问的结论转化求证。已知BE平分∠ABC且BE⊥AC，可证明△BEA≌△BEC，得到CE=$\frac{1}{2}$AC，再结合第一问BF=AC的结论，等量代换即可得到CE=$\frac{1}{2}$BF。
【解析】
(1)
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=∠BEC=90°，
∴∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC。
∵∠BFD=∠EFC（对顶角相等），
∴∠DBF=∠DCA。
在△DFB和△DAC中，
$\begin{cases} ∠BDF=∠CDA, \\ BD=CD, \\ ∠DBF=∠DCA, \end{cases}$
∴△DFB≌△DAC(ASA)，
∴BF=AC。
(2)
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE。
在△BEA和△BEC中，
$\begin{cases} ∠AEB=∠CEB, \\ BE=BE, \\ ∠ABE=∠CBE, \end{cases}$
∴△BEA≌△BEC(ASA)，
∴CE=AE=$\frac{1}{2}$AC。
又
∵BF=AC，
∴CE=$\frac{1}{2}$BF。
【答案】
(1)BF=AC得证；(2)CE=$\frac{1}{2}$BF得证，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
这道题是三角形模块的典型综合题，解题时要善于利用垂直、角平分线、等边等已知条件推导全等所需的边角关系，第二问要注意运用第一问已证的结论作为已知条件，快速建立线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7