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1. 阅读教材“折纸与证明”，解答下列问题.
【数学探究】折纸是我国的传统文化，折叠的过程也是开发人类大脑智力以及逻辑思维的过程.数学综合实践课上，老师组织同学们开展了一次折纸探究活动.
(1)探究一:如图①,在一张长方形的纸片上任意画一条线AB,将纸片沿AB折叠,重叠的部分△ABC一定是
(2)探究二:你能用一张长方形纸片折出一个等边三角形吗?
甲小组使用长方形纸片,操作如下:如图②,把长方形纸片ABCD的宽对折,然后展开,折痕记为EF,再将点D翻折到EF上的点M处,且使折痕过点A,折痕与CD的交点为G,再沿GM折叠,折痕与AB的交点为H,则△AHG就是等边三角形.请你说明这样做的道理.(说明:M是GH的中点,说理时可直接使用)
(3)探究三:你能用一张正方形纸片折出一个等边三角形吗?
乙小组使用正方形纸片,操作如下:如图③,先把正方形的纸片ABCD对折后再展开,折痕为EF;再将点A翻折到EF上的点H处,且使折痕过点B;最后沿HC折叠,得到的△HBC就是等边三角形.请你说明这样做的道理.
【迁移应用】(4)折纸也能为我们数学学习提供解决问题的思路和方法.如图④,在△ABC中,AB＞AC,怎样说明∠C＞∠B呢?小亮发现,利用折纸做一个轴对称变化,得到一对全等的三角形,从而可将问题解决.请你画图并说明小亮的解题思路.
【数学探究】折纸是我国的传统文化，折叠的过程也是开发人类大脑智力以及逻辑思维的过程.数学综合实践课上，老师组织同学们开展了一次折纸探究活动.
(1)探究一:如图①,在一张长方形的纸片上任意画一条线AB,将纸片沿AB折叠,重叠的部分△ABC一定是
等腰
三角形.(2)探究二:你能用一张长方形纸片折出一个等边三角形吗?
甲小组使用长方形纸片,操作如下:如图②,把长方形纸片ABCD的宽对折,然后展开,折痕记为EF,再将点D翻折到EF上的点M处,且使折痕过点A,折痕与CD的交点为G,再沿GM折叠,折痕与AB的交点为H,则△AHG就是等边三角形.请你说明这样做的道理.(说明:M是GH的中点,说理时可直接使用)
(3)探究三:你能用一张正方形纸片折出一个等边三角形吗?
乙小组使用正方形纸片,操作如下:如图③,先把正方形的纸片ABCD对折后再展开,折痕为EF;再将点A翻折到EF上的点H处,且使折痕过点B;最后沿HC折叠,得到的△HBC就是等边三角形.请你说明这样做的道理.
【迁移应用】(4)折纸也能为我们数学学习提供解决问题的思路和方法.如图④,在△ABC中,AB＞AC,怎样说明∠C＞∠B呢?小亮发现,利用折纸做一个轴对称变化,得到一对全等的三角形,从而可将问题解决.请你画图并说明小亮的解题思路.
答案
1.(1)等腰
(2)解:在△AMG和△AMH中,$\begin{cases} AM=AM, \\ ∠ AMG=∠ AMH=90°, \\ MG=MH, \end{cases}$
$\therefore △ AMG ≌ △ AMH(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AG=AH,∠ GAM=∠ HAM.$
$\because ∠ DAG=∠ GAM=∠ MAH,\therefore ∠ GAH=60°,$
$\therefore △ AHG$是等边三角形.
(3)解:由折叠得EF为BC的垂直平分线,$BH=AB=BC.$
$\therefore HC=BH,\therefore BH=HC=BC,$
$\therefore △ HBC$是等边三角形.
(4)解:如答图,把AC沿$∠ BAC$的平分线AD翻折.
$\because AB＞AC,\therefore$点C落在AB上的点$C'$处,
即$AC=AC'.$
依据操作,可得$△ ACD ≌ △ AC'D,$
$\therefore ∠ AC'D=∠ C.$
又$\because ∠ AC'D＞∠ B,\therefore ∠ C＞∠ B.$
解析
【分析】
（1）探究一：根据折叠的性质可得折叠前后对应角相等，结合长方形对边平行的性质可推出△ABC的两个内角相等，根据等角对等边即可判断三角形形状。
（2）探究二：先利用已知M为GH中点，结合折叠得到的直角，通过SAS证明△AMG和△AMH全等，得到AG=AH，再根据折叠的性质得到三个角相等，推出∠GAH=60°，结合有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可证明。
（3）探究三：根据折叠性质可得EF是BC的垂直平分线，推出HB=HC，再结合正方形边长相等和折叠得到BH=AB=BC，即可得到三边相等，判定为等边三角形。
（4）迁移应用：要证明∠C＞∠B，可通过折叠构造全等三角形，将∠C转化为三角形的外角，利用外角大于不相邻内角的性质即可证明结论。
【解析】
(1) 将纸片沿AB折叠，可得∠2=∠ABC，长方形对边互相平行可得∠1=∠2，因此∠1=∠ABC，由等角对等边得AC=BC，故△ABC为等腰三角形。
(2) 已知M是GH的中点，因此MG=MH，由折叠的性质可得∠AMG=∠D=90°，即∠AMG=∠AMH=90°。通过SAS可证△AMG≌△AMH，得到AG=AH、∠GAM=∠HAM。结合折叠性质得∠DAG=∠GAM=∠MAH，因此∠GAH=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故△AHG是等边三角形。
(3) 由折叠得EF为BC的垂直平分线，因此HC=BH；同时折叠可得BH=AB，正方形中AB=BC，因此BH=HC=BC，三边相等的三角形是等边三角形，故△HBC是等边三角形。
(4) 把AC沿∠BAC的平分线AD翻折，因为AB＞AC，点C落在AB上的点C'处，由折叠性质得△ACD≌△AC'D，因此∠AC'D=∠C。再根据三角形外角大于不相邻内角的性质，得∠AC'D＞∠B，因此∠C＞∠B。
【答案】
(1) 等腰
(2) 在△AMG和△AMH中,$\begin{cases} AM=AM, \\ ∠ AMG=∠ AMH=90°, \\ MG=MH, \end{cases}$
$\therefore △ AMG ≌ △ AMH(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AG=AH,∠ GAM=∠ HAM.$
$\because ∠ DAG=∠ GAM=∠ MAH,\therefore ∠ GAH=60°,$
$\therefore △ AHG$是等边三角形.
(3) 由折叠得EF为BC的垂直平分线,$BH=AB=BC.$
$\therefore HC=BH,\therefore BH=HC=BC,$
$\therefore △ HBC$是等边三角形.
(4) 如答图,把AC沿$∠ BAC$的平分线AD翻折.
$\because AB＞AC,\therefore$点C落在AB上的点$C'$处,
即$AC=AC'.$
依据操作,可得$△ ACD ≌ △ AC'D,$
$\therefore ∠ AC'D=∠ C.$
又$\because ∠ AC'D＞∠ B,\therefore ∠ C＞∠ B.$
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以传统折纸活动为载体，将动手操作和几何推理相结合，考查了多个核心几何知识点，能够有效锻炼实践能力和逻辑思维能力，体现了数学的实践性和趣味性。
【难度系数】
0.6
（1）探究一：根据折叠的性质可得折叠前后对应角相等，结合长方形对边平行的性质可推出△ABC的两个内角相等，根据等角对等边即可判断三角形形状。
（2）探究二：先利用已知M为GH中点，结合折叠得到的直角，通过SAS证明△AMG和△AMH全等，得到AG=AH，再根据折叠的性质得到三个角相等，推出∠GAH=60°，结合有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可证明。
（3）探究三：根据折叠性质可得EF是BC的垂直平分线，推出HB=HC，再结合正方形边长相等和折叠得到BH=AB=BC，即可得到三边相等，判定为等边三角形。
（4）迁移应用：要证明∠C＞∠B，可通过折叠构造全等三角形，将∠C转化为三角形的外角，利用外角大于不相邻内角的性质即可证明结论。
【解析】
(1) 将纸片沿AB折叠，可得∠2=∠ABC，长方形对边互相平行可得∠1=∠2，因此∠1=∠ABC，由等角对等边得AC=BC，故△ABC为等腰三角形。
(2) 已知M是GH的中点，因此MG=MH，由折叠的性质可得∠AMG=∠D=90°，即∠AMG=∠AMH=90°。通过SAS可证△AMG≌△AMH，得到AG=AH、∠GAM=∠HAM。结合折叠性质得∠DAG=∠GAM=∠MAH，因此∠GAH=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故△AHG是等边三角形。
(3) 由折叠得EF为BC的垂直平分线，因此HC=BH；同时折叠可得BH=AB，正方形中AB=BC，因此BH=HC=BC，三边相等的三角形是等边三角形，故△HBC是等边三角形。
(4) 把AC沿∠BAC的平分线AD翻折，因为AB＞AC，点C落在AB上的点C'处，由折叠性质得△ACD≌△AC'D，因此∠AC'D=∠C。再根据三角形外角大于不相邻内角的性质，得∠AC'D＞∠B，因此∠C＞∠B。
【答案】
(1) 等腰
(2) 在△AMG和△AMH中,$\begin{cases} AM=AM, \\ ∠ AMG=∠ AMH=90°, \\ MG=MH, \end{cases}$
$\therefore △ AMG ≌ △ AMH(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AG=AH,∠ GAM=∠ HAM.$
$\because ∠ DAG=∠ GAM=∠ MAH,\therefore ∠ GAH=60°,$
$\therefore △ AHG$是等边三角形.
(3) 由折叠得EF为BC的垂直平分线,$BH=AB=BC.$
$\therefore HC=BH,\therefore BH=HC=BC,$
$\therefore △ HBC$是等边三角形.
(4) 如答图,把AC沿$∠ BAC$的平分线AD翻折.
$\because AB＞AC,\therefore$点C落在AB上的点$C'$处,
即$AC=AC'.$
依据操作,可得$△ ACD ≌ △ AC'D,$
$\therefore ∠ AC'D=∠ C.$
又$\because ∠ AC'D＞∠ B,\therefore ∠ C＞∠ B.$
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以传统折纸活动为载体，将动手操作和几何推理相结合，考查了多个核心几何知识点，能够有效锻炼实践能力和逻辑思维能力，体现了数学的实践性和趣味性。
【难度系数】
0.6
