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6.一个数乘它与12的和，积恰好等于这个数的3倍.若设这个数为a，则可列方程为
（
A.$a+12a=3a$
B.$3a(a+12)=a$
C.$a(a+12)=a+3$
D.$a(a+12)=3a$
（
D
）A.$a+12a=3a$
B.$3a(a+12)=a$
C.$a(a+12)=a+3$
D.$a(a+12)=3a$
答案
6.D
解析
【分析】
解这道题的核心是将题目中的文字表述逐句转化为代数式，再根据等量关系列出方程。首先明确设这个数为a，第一步先表示出“它与12的和”，再表示出“这个数乘它与12的和”的积，然后抓住“积恰好等于这个数的3倍”的等量关系，将两边的代数式用等号连接得到方程，最后对应选项判断即可。
【解析】
1. 表示“这个数与12的和”：已知这个数为a，因此它与12的和为$a + 12$；
2. 表示“这个数乘它与12的和的积”：即$a × (a + 12) = a(a + 12)$；
3. 表示“这个数的3倍”：即$3a$；
4. 根据等量关系“两者积等于这个数的3倍”，可列方程为$a(a + 12) = 3a$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
用字母表示数；列方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查将文字语言转化为代数表达式的能力，解题关键是准确拆分题目语句，找准等量关系，逐句转化即可避免出错。
【难度系数】
0.9
解这道题的核心是将题目中的文字表述逐句转化为代数式，再根据等量关系列出方程。首先明确设这个数为a，第一步先表示出“它与12的和”，再表示出“这个数乘它与12的和”的积，然后抓住“积恰好等于这个数的3倍”的等量关系，将两边的代数式用等号连接得到方程，最后对应选项判断即可。
【解析】
1. 表示“这个数与12的和”：已知这个数为a，因此它与12的和为$a + 12$；
2. 表示“这个数乘它与12的和的积”：即$a × (a + 12) = a(a + 12)$；
3. 表示“这个数的3倍”：即$3a$；
4. 根据等量关系“两者积等于这个数的3倍”，可列方程为$a(a + 12) = 3a$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
用字母表示数；列方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查将文字语言转化为代数表达式的能力，解题关键是准确拆分题目语句，找准等量关系，逐句转化即可避免出错。
【难度系数】
0.9
7. 如图，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示.当S=66时，n的值为（
A.10
B.11
C.12
D.13
B
）A.10
B.11
C.12
D.13
答案
7.B
解析
【分析】
首先观察点阵规律，第1层有1个点，第2层有2个点，……，第n层有n个点，点数总和S就是从1到n的连续正整数的和，可根据等差数列求和公式写出S关于n的表达式，再将S=66代入表达式得到一元二次方程，求解后取正整数解即可。
【解析】
观察点阵可得：
当n=1时，S=1；
当n=2时，S=1+2=3；
当n=3时，S=1+2+3=6；
……
由此可得，层数为n时，点数总和$ S=1+2+3+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2} $。
当S=66时，代入得：$ \frac{n(n+1)}{2}=66 $，
整理得：$ n^2 +n -132=0 $，
解这个一元二次方程：
判别式$ \Delta = 1^2 -4×1×(-132)=1+528=529=23^2 $，
所以$ n=\frac{-1\pm23}{2} $，
解得$ n_1=\frac{-1+23}{2}=11 $，$ n_2=\frac{-1-23}{2}=-12 $（不符合层数为正整数的实际要求，舍去），
故n=11。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；等差数列求和；一元二次方程求解
【点评】
本题是规律探究结合方程应用的典型题目，解题核心是通过观察点阵提炼出点数总和的通用表达式，求解方程时要注意结合n的实际意义，舍去负根。
【难度系数】
0.7
首先观察点阵规律，第1层有1个点，第2层有2个点，……，第n层有n个点，点数总和S就是从1到n的连续正整数的和，可根据等差数列求和公式写出S关于n的表达式，再将S=66代入表达式得到一元二次方程，求解后取正整数解即可。
【解析】
观察点阵可得：
当n=1时，S=1；
当n=2时，S=1+2=3；
当n=3时，S=1+2+3=6；
……
由此可得，层数为n时，点数总和$ S=1+2+3+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2} $。
当S=66时，代入得：$ \frac{n(n+1)}{2}=66 $，
整理得：$ n^2 +n -132=0 $，
解这个一元二次方程：
判别式$ \Delta = 1^2 -4×1×(-132)=1+528=529=23^2 $，
所以$ n=\frac{-1\pm23}{2} $，
解得$ n_1=\frac{-1+23}{2}=11 $，$ n_2=\frac{-1-23}{2}=-12 $（不符合层数为正整数的实际要求，舍去），
故n=11。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；等差数列求和；一元二次方程求解
【点评】
本题是规律探究结合方程应用的典型题目，解题核心是通过观察点阵提炼出点数总和的通用表达式，求解方程时要注意结合n的实际意义，舍去负根。
【难度系数】
0.7
8.跨语文学科 小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿同.哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（
A.$10x + (x - 3) = (x - 3)^2$
B.$10(x + 3) + x = x^2$
C.$10x + (x + 3) = (x + 3)^2$
D.$10(x + 3) + x = (x + 3)^2$
C
）A.$10x + (x - 3) = (x - 3)^2$
B.$10(x + 3) + x = x^2$
C.$10x + (x + 3) = (x + 3)^2$
D.$10(x + 3) + x = (x + 3)^2$
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的设元：十位数字为x，第一步根据“十位恰小个位三”推导个位数字的表达式；第二步回忆两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字，用含x的代数式表示出周瑜的年龄；第三步根据“个位平方与寿同”找准等量关系：年龄=个位数字的平方，据此列出方程即可匹配选项。
【解析】
设周瑜去世时年龄的十位数字是x，
由“十位恰小个位三”可知，个位数字为$x + 3$，
则周瑜的年龄可表示为：$10x + (x + 3)$，
再根据“个位平方与寿同”，即年龄等于个位数字的平方，可列方程：
$10x + (x + 3) = (x + 3)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 两位数的表示方法
【点评】
本题结合古诗文背景考查数字类方程的列写，解题核心是正确用代数式表示两位数，准确提炼题干中的等量关系，题干表述生动，能有效考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目给出的设元：十位数字为x，第一步根据“十位恰小个位三”推导个位数字的表达式；第二步回忆两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字，用含x的代数式表示出周瑜的年龄；第三步根据“个位平方与寿同”找准等量关系：年龄=个位数字的平方，据此列出方程即可匹配选项。
【解析】
设周瑜去世时年龄的十位数字是x，
由“十位恰小个位三”可知，个位数字为$x + 3$，
则周瑜的年龄可表示为：$10x + (x + 3)$，
再根据“个位平方与寿同”，即年龄等于个位数字的平方，可列方程：
$10x + (x + 3) = (x + 3)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 两位数的表示方法
【点评】
本题结合古诗文背景考查数字类方程的列写，解题核心是正确用代数式表示两位数，准确提炼题干中的等量关系，题干表述生动，能有效考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
9.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，这个两位数十位上的数字和个位上的数字交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原两位数为（
A.95
B.59
C.26
D.62
D
）A.95
B.59
C.26
D.62
答案
9.D 【解析】设原两位数个位上的数字为m,则十位上的数字为$(m+4)$,即原两位数为$10(m+4)+m=11m+40$,新两位数为$10m+m+4=11m+4$.根据题意,得$(11m+40)(11m+4)=1\ 612$,解得$m_1=2$,$m_2=-6$(不合题意,舍去).故原两位数为$11m+40=22+40=62$.
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：①方程法：首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字，题目已知个位数字比十位小4，可先设个位数字为未知数，用含未知数的式子分别表示出原两位数和交换数位后的新两位数，再根据两数乘积为1612列一元二次方程求解，最后结合数位数字的取值范围（0~9的非负整数）舍去不符合要求的解，即可得到原数。②代入排除法：作为选择题，可先根据“个位数字比十位数字小4”的条件排除不符合的选项，再将剩余选项代入“两数乘积为1612”的条件验证，快速得到答案。
【解析】
解：设原两位数个位上的数字为$ m $，则十位上的数字为$ m+4 $。
原两位数可表示为：$ 10(m+4) + m = 11m + 40 $
交换位置后的新两位数可表示为：$ 10m + (m+4) = 11m + 4 $
根据两数乘积为1612列方程得：
$ (11m + 40)(11m + 4) = 1612 $
整理方程得：$ m^2 + 4m - 12 = 0 $
因式分解得：$ (m+6)(m-2)=0 $
解得$ m_1=2 $，$ m_2=-6 $
由于数位上的数字为非负整数，因此$ m=-6 $不合题意，舍去。
将$ m=2 $代入原两位数表达式得：$ 11×2 + 40 = 62 $
（代入法验证：首先排除个位数字大于十位数字的B、C选项；A选项95交换后为59，$ 95×59=5605≠1612 $，不符合；D选项62交换后为26，$ 62×26=1612 $，符合题意。）
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用；两位数的表示；数字问题求解
【点评】本题是典型的数字类应用题，既可以通过列方程考查一元二次方程的实际应用能力，也可以利用选择题特性用代入排除法快速解题，解题时需注意数位数字的取值范围，要舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】0.75
解题可从两种思路入手：①方程法：首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字，题目已知个位数字比十位小4，可先设个位数字为未知数，用含未知数的式子分别表示出原两位数和交换数位后的新两位数，再根据两数乘积为1612列一元二次方程求解，最后结合数位数字的取值范围（0~9的非负整数）舍去不符合要求的解，即可得到原数。②代入排除法：作为选择题，可先根据“个位数字比十位数字小4”的条件排除不符合的选项，再将剩余选项代入“两数乘积为1612”的条件验证，快速得到答案。
【解析】
解：设原两位数个位上的数字为$ m $，则十位上的数字为$ m+4 $。
原两位数可表示为：$ 10(m+4) + m = 11m + 40 $
交换位置后的新两位数可表示为：$ 10m + (m+4) = 11m + 4 $
根据两数乘积为1612列方程得：
$ (11m + 40)(11m + 4) = 1612 $
整理方程得：$ m^2 + 4m - 12 = 0 $
因式分解得：$ (m+6)(m-2)=0 $
解得$ m_1=2 $，$ m_2=-6 $
由于数位上的数字为非负整数，因此$ m=-6 $不合题意，舍去。
将$ m=2 $代入原两位数表达式得：$ 11×2 + 40 = 62 $
（代入法验证：首先排除个位数字大于十位数字的B、C选项；A选项95交换后为59，$ 95×59=5605≠1612 $，不符合；D选项62交换后为26，$ 62×26=1612 $，符合题意。）
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用；两位数的表示；数字问题求解
【点评】本题是典型的数字类应用题，既可以通过列方程考查一元二次方程的实际应用能力，也可以利用选择题特性用代入排除法快速解题，解题时需注意数位数字的取值范围，要舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】0.75
10. 如图所示的是2026年5月的月历,在此月历上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如:5,12,18,19,20,21).如果圈出的6个数中,最大数与最小数的积为377,则这6个数的和为
143
.答案
10.143 【解析】设最小数为x,则6个数依次是$x,x+7,x+13,x+14,x+15,x+16$,则这6个数的和为$6x+65$.
依题意,得$x(x+16)=377$,解得$x_1=13$,$x_2=-29$(不符合题意,舍去).
$6x+65=6×13+65=143$.故这6个数的和为143.
依题意,得$x(x+16)=377$,解得$x_1=13$,$x_2=-29$(不符合题意,舍去).
$6x+65=6×13+65=143$.故这6个数的和为143.
解析
【分析】
首先明确月历的数字规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。观察圈出的6个相邻数的位置，可发现最小数与最大数相差16，因此我们可以设最小数为x，则最大数为x+16，根据“最大数与最小数的积为377”列一元二次方程求解，得到符合实际意义的x值后，再将6个数相加化简后代入x计算即可得到结果。
【解析】
设圈出的6个数中最小数为$ x $，根据月历数字规律和圈数形状，可得6个数依次为$ x, x+7, x+13, x+14, x+15, x+16 $，因此最大数为$ x+16 $。
根据题意列方程：
$ x(x+16)=377 $
整理得$ x^2+16x-377=0 $，解得$ x_1=13 $，$ x_2=-29 $。
由于日期为正整数，因此$ x=-29 $不符合题意，舍去。
6个数的和为：$ x+(x+7)+(x+13)+(x+14)+(x+15)+(x+16)=6x+65 $
将$ x=13 $代入得：$ 6×13 +65=78+65=143 $
【答案】
143
【知识点】
一元二次方程应用，月历数字规律，列代数式
【点评】
本题结合月历情境考查方程的实际应用，解题的核心是先观察得出圈出数字的大小关系，列方程求解后注意结合实际情境舍去不符合要求的根，整体解题思路清晰，侧重考查观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确月历的数字规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。观察圈出的6个相邻数的位置，可发现最小数与最大数相差16，因此我们可以设最小数为x，则最大数为x+16，根据“最大数与最小数的积为377”列一元二次方程求解，得到符合实际意义的x值后，再将6个数相加化简后代入x计算即可得到结果。
【解析】
设圈出的6个数中最小数为$ x $，根据月历数字规律和圈数形状，可得6个数依次为$ x, x+7, x+13, x+14, x+15, x+16 $，因此最大数为$ x+16 $。
根据题意列方程：
$ x(x+16)=377 $
整理得$ x^2+16x-377=0 $，解得$ x_1=13 $，$ x_2=-29 $。
由于日期为正整数，因此$ x=-29 $不符合题意，舍去。
6个数的和为：$ x+(x+7)+(x+13)+(x+14)+(x+15)+(x+16)=6x+65 $
将$ x=13 $代入得：$ 6×13 +65=78+65=143 $
【答案】
143
【知识点】
一元二次方程应用，月历数字规律，列代数式
【点评】
本题结合月历情境考查方程的实际应用，解题的核心是先观察得出圈出数字的大小关系，列方程求解后注意结合实际情境舍去不符合要求的根，整体解题思路清晰，侧重考查观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
11.有一个两位数，它的个位上的数字比十位上的数字大3，个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数大18，求这个两位数.
答案
11.解:设个位上的数字为x,则十位上的数字为$x-3$.
根据题意,得$x^2+(x-3)^2=10(x-3)+x+18$,
解得$x_1=7$,$x_2=1.5$(不合题意,舍去),
∴$10(x-3)+x=47$.
故这个两位数为47.
根据题意,得$x^2+(x-3)^2=10(x-3)+x+18$,
解得$x_1=7$,$x_2=1.5$(不合题意,舍去),
∴$10(x-3)+x=47$.
故这个两位数为47.
解析
【分析】
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：①首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字；②根据“个位数字比十位数字大3”的条件设未知数，可设个位数字为x，则十位数字为x-3；③结合“个位与十位数字的平方和比这个两位数大18”的等量关系列方程；④解方程后，注意个位、十位数字均为0~9的整数，且十位数字不为0，舍去不符合实际意义的解，最后计算得到对应的两位数即可。
【解析】
解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为$x-3$。
根据题意列方程得：
$x^2+(x-3)^2=10(x-3)+x+18$
解得$x_1=7$，$x_2=1.5$，其中$x_2=1.5$不符合数字为整数的要求，舍去。
则十位数字为$7-3=4$，这个两位数为$10×(7-3)+7=47$。
【答案】
47
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 两位数的表示
3. 方程解的验根
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题关键是正确用未知数表示出两位数，找准等量关系列方程，求解后要结合数字的实际意义排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：①首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字；②根据“个位数字比十位数字大3”的条件设未知数，可设个位数字为x，则十位数字为x-3；③结合“个位与十位数字的平方和比这个两位数大18”的等量关系列方程；④解方程后，注意个位、十位数字均为0~9的整数，且十位数字不为0，舍去不符合实际意义的解，最后计算得到对应的两位数即可。
【解析】
解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为$x-3$。
根据题意列方程得：
$x^2+(x-3)^2=10(x-3)+x+18$
解得$x_1=7$，$x_2=1.5$，其中$x_2=1.5$不符合数字为整数的要求，舍去。
则十位数字为$7-3=4$，这个两位数为$10×(7-3)+7=47$。
【答案】
47
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 两位数的表示
3. 方程解的验根
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题关键是正确用未知数表示出两位数，找准等量关系列方程，求解后要结合数字的实际意义排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
12.经过激烈的角逐，“青春队”在数学知识竞赛中最终取得胜利，已知“青春队”在本次比赛中的总得分是一个两位数，其中十位上的数字比个位上的数字大8，且十位上的数字与个位上的数字的和的平方比这个两位数大9.“青春队”的总得分是多少？
答案
12.解:设这个数的个位上的数字为x,则十位上的数字为$x+8$.
根据题意,得$(x+x+8)^2-[10(x+8)+x]=9$,
解得$x_1=1$,$x_2=-\frac{25}{4}$(不符合题意,舍去),
∴这个数的个位上的数字为1,十位上的数字为$1+8=9$,
∴“青春队”的总得分是91分.
根据题意,得$(x+x+8)^2-[10(x+8)+x]=9$,
解得$x_1=1$,$x_2=-\frac{25}{4}$(不符合题意,舍去),
∴这个数的个位上的数字为1,十位上的数字为$1+8=9$,
∴“青春队”的总得分是91分.
解析
【分析】
解决这道数字类应用题可按以下思路思考：首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字；其次根据“十位数字比个位数字大8”的条件，设更小的个位数字为x，那么十位数字可直接表示为x+8，降低列方程的难度；接着提取题干等量关系：十位与个位数字的和的平方减去这个两位数等于9，把含x的表达式代入等量关系即可列出一元二次方程；最后解方程，注意数位上的数字只能是0~9的非负整数，要舍去不符合实际意义的解，就能得到最终的两位数。
【解析】
解：设这个数的个位上的数字为x，则十位上的数字为$x+8$。
根据题意列方程得：$(x+x+8)^2-[10(x+8)+x]=9$
整理求解得：$x_1=1$，$x_2=-\frac{25}{4}$
由于个位数字为0~9的非负整数，因此$x_2=-\frac{25}{4}$不符合题意，舍去。
则个位数字为1，十位数字为$1+8=9$，对应两位数为$10×9+1=91$。
【答案】
91分
【知识点】
一元二次方程应用、两位数的表示、实际解取舍
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题核心是正确掌握两位数的表示方法，准确提取题干等量关系列方程，求解后要注意结合实际意义舍去不合理解，主要考察学生的方程建模能力和细节意识。
【难度系数】
0.7
解决这道数字类应用题可按以下思路思考：首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字；其次根据“十位数字比个位数字大8”的条件，设更小的个位数字为x，那么十位数字可直接表示为x+8，降低列方程的难度；接着提取题干等量关系：十位与个位数字的和的平方减去这个两位数等于9，把含x的表达式代入等量关系即可列出一元二次方程；最后解方程，注意数位上的数字只能是0~9的非负整数，要舍去不符合实际意义的解，就能得到最终的两位数。
【解析】
解：设这个数的个位上的数字为x，则十位上的数字为$x+8$。
根据题意列方程得：$(x+x+8)^2-[10(x+8)+x]=9$
整理求解得：$x_1=1$，$x_2=-\frac{25}{4}$
由于个位数字为0~9的非负整数，因此$x_2=-\frac{25}{4}$不符合题意，舍去。
则个位数字为1，十位数字为$1+8=9$，对应两位数为$10×9+1=91$。
【答案】
91分
【知识点】
一元二次方程应用、两位数的表示、实际解取舍
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题核心是正确掌握两位数的表示方法，准确提取题干等量关系列方程，求解后要注意结合实际意义舍去不合理解，主要考察学生的方程建模能力和细节意识。
【难度系数】
0.7
