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1. 若关于$x$的方程$(ax-1)^2 -16=0$的一个根是2，则$a$的值为（
A.$\frac{5}{2}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$-\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
D
）A.$\frac{5}{2}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$-\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题已知方程的一个根，解题时首先要明确方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此我们可以将x=2代入原方程，得到只含有参数a的方程，再用直接开平方法解这个关于a的方程即可，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
∵x=2是方程$(ax-1)^2 -16=0$的一个根
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$(2a - 1)^2 - 16 = 0$
移项得：$(2a - 1)^2 = 16$
两边开平方得：$2a - 1 = ±4$
分两种情况求解：
①当$2a - 1 = 4$时，
$2a = 5$
解得$a = \frac{5}{2}$
②当$2a - 1 = -4$时，
$2a = -3$
解得$a = -\frac{3}{2}$
综上，a的值为$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程根的应用，解题关键是把已知根代入原方程将问题转化为求参数方程的解，注意开平方运算时不要遗漏负根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题已知方程的一个根，解题时首先要明确方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此我们可以将x=2代入原方程，得到只含有参数a的方程，再用直接开平方法解这个关于a的方程即可，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
∵x=2是方程$(ax-1)^2 -16=0$的一个根
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$(2a - 1)^2 - 16 = 0$
移项得：$(2a - 1)^2 = 16$
两边开平方得：$2a - 1 = ±4$
分两种情况求解：
①当$2a - 1 = 4$时，
$2a = 5$
解得$a = \frac{5}{2}$
②当$2a - 1 = -4$时，
$2a = -3$
解得$a = -\frac{3}{2}$
综上，a的值为$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程根的应用，解题关键是把已知根代入原方程将问题转化为求参数方程的解，注意开平方运算时不要遗漏负根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
2. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + 4kx + 2k^2 = 4 $ 的一个解是－2，则 $ k $ 的值为 （
A.2或4
B.0或4
C.－2或0
D.－2或2
B
）A.2或4
B.0或4
C.－2或0
D.－2或2
答案
2.B
解析
【分析】
解题的核心是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。已知x=-2是方程的解，因此只需将x=-2代入原方程，即可将原方程转化为只含参数k的一元二次方程，再求解该一元二次方程就能得到k的取值，最后可代入验证结果是否正确。
【解析】
∵ x=-2是方程$x^2 + 4kx + 2k^2 = 4$的解
∴ 将x=-2代入方程得：
$(-2)^2 + 4k×(-2) + 2k^2 = 4$
化简得：$4 - 8k + 2k^2 = 4$
移项整理得：$2k^2 - 8k = 0$
两边同时除以2得：$k^2 - 4k = 0$
因式分解得：$k(k-4)=0$
∴ $k=0$ 或 $k-4=0$
解得：$k=0$ 或 $k=4$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握方程解的含义，通过代入法将含双未知数的方程转化为只含参数的方程求解，计算量小，掌握方法即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。已知x=-2是方程的解，因此只需将x=-2代入原方程，即可将原方程转化为只含参数k的一元二次方程，再求解该一元二次方程就能得到k的取值，最后可代入验证结果是否正确。
【解析】
∵ x=-2是方程$x^2 + 4kx + 2k^2 = 4$的解
∴ 将x=-2代入方程得：
$(-2)^2 + 4k×(-2) + 2k^2 = 4$
化简得：$4 - 8k + 2k^2 = 4$
移项整理得：$2k^2 - 8k = 0$
两边同时除以2得：$k^2 - 4k = 0$
因式分解得：$k(k-4)=0$
∴ $k=0$ 或 $k-4=0$
解得：$k=0$ 或 $k=4$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握方程解的含义，通过代入法将含双未知数的方程转化为只含参数的方程求解，计算量小，掌握方法即可快速得分。
【难度系数】
0.8
3.一元二次方程$(x - 1)(x + 2) = 4$的根是
$x_1=2,x_2=-3$
.答案
3. $x_1=2,x_2=-3$
解析
【分析】
求解本题首先要明确，因式分解法解一元二次方程的前提是方程等号右侧为0，因此不能直接令x-1=4或x+2=4求解。正确思路是先利用整式乘法展开左侧乘积，再移项合并同类项，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再通过因式分解法求解方程的根。
【解析】
第一步：展开并整理方程
先将左边展开：$(x-1)(x+2)=x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$
原方程可化为：$x^2 + x - 2 = 4$
移项合并同类项，得到一元二次方程的一般形式：$x^2 + x - 6 = 0$
第二步：因式分解求解
对左侧多项式用十字相乘法因式分解得：$(x + 3)(x - 2) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x + 3 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解得：$x_1 = 2$，$x_2 = -3$
【答案】
$x_1=2,x_2=-3$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解
【点评】
本题是一元二次方程的基础考查题，易错点是忽略因式分解法解方程的前提是等号右侧为0，直接令两个一次式分别等于右侧的4导致错解。解题时需先将方程整理为标准形式，再选择合适的方法求解。
【难度系数】
0.75
求解本题首先要明确，因式分解法解一元二次方程的前提是方程等号右侧为0，因此不能直接令x-1=4或x+2=4求解。正确思路是先利用整式乘法展开左侧乘积，再移项合并同类项，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再通过因式分解法求解方程的根。
【解析】
第一步：展开并整理方程
先将左边展开：$(x-1)(x+2)=x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$
原方程可化为：$x^2 + x - 2 = 4$
移项合并同类项，得到一元二次方程的一般形式：$x^2 + x - 6 = 0$
第二步：因式分解求解
对左侧多项式用十字相乘法因式分解得：$(x + 3)(x - 2) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x + 3 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解得：$x_1 = 2$，$x_2 = -3$
【答案】
$x_1=2,x_2=-3$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解
【点评】
本题是一元二次方程的基础考查题，易错点是忽略因式分解法解方程的前提是等号右侧为0，直接令两个一次式分别等于右侧的4导致错解。解题时需先将方程整理为标准形式，再选择合适的方法求解。
【难度系数】
0.75
4. 一元二次方程$x^2 - x + 2 = 0$的根的情况是（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
C
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
答案
4.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$进行判断。解题思路为：首先从给定的一元二次方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$（注意带上对应符号），再代入公式计算判别式的数值，最后根据判别式的取值与0的大小关系，对应得出根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x + 2 = 0$，确定各项系数：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=2$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×2 = 1 - 8 = -7$
因为$\Delta = -7 ＜ 0$，所以该一元二次方程无实数根，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的系数确定
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查根的判别式的应用，解题时需注意一次项系数的符号，避免代入计算时出错，熟练掌握判别式与根的情况的对应关系是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$进行判断。解题思路为：首先从给定的一元二次方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$（注意带上对应符号），再代入公式计算判别式的数值，最后根据判别式的取值与0的大小关系，对应得出根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x + 2 = 0$，确定各项系数：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=2$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×2 = 1 - 8 = -7$
因为$\Delta = -7 ＜ 0$，所以该一元二次方程无实数根，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的系数确定
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查根的判别式的应用，解题时需注意一次项系数的符号，避免代入计算时出错，熟练掌握判别式与根的情况的对应关系是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
5.若直线$y=x+a$不经过第二象限，则关于$x$的方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$的实数根的个数为
（
A.0
B.1
C.2
D.1或2
（
D
）A.0
B.1
C.2
D.1或2
答案
5.D 【解析】
∵直线$y=x+a$不经过第二象限，
∴$a≤0$.
当$a=0$时，方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$是一元一次方程，有一个实数根；当$a＜0$时，$\Delta=(-3)^2 - 4a=9-4a＞0$，则关于$x$的一元二次方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$有两个不相等的实数根.综上所述，方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$的实数根的个数为1或2.
∵直线$y=x+a$不经过第二象限，
∴$a≤0$.
当$a=0$时，方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$是一元一次方程，有一个实数根；当$a＜0$时，$\Delta=(-3)^2 - 4a=9-4a＞0$，则关于$x$的一元二次方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$有两个不相等的实数根.综上所述，方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$的实数根的个数为1或2.
解析
【分析】
解题时首先要根据一次函数的图象性质确定参数a的取值范围，再针对方程$ax^2-3x+1=0$中二次项系数含参数的情况分两类讨论：当$a=0$时，方程为一元一次方程，直接判断根的个数；当$a≠0$时，方程为一元二次方程，通过计算判别式$\Delta$的正负判断根的个数，最后综合两类情况得到最终结果。
【解析】
∵直线$y=x+a$不经过第二象限，且一次项系数$1＞0$，
∴截距$a≤0$。
分两种情况讨论：
① 当$a=0$时，方程化为$-3x+1=0$，是一元一次方程，有1个实数根；
② 当$a＜0$时，方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$是一元二次方程，
判别式$\Delta=(-3)^2 - 4× a×1=9-4a$，
∵$a＜0$，
∴$-4a＞0$，则$\Delta=9-4a＞9＞0$，
∴此时方程有2个不相等的实数根。
综上所述，方程的实数根的个数为1或2，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；一元一次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一次函数与方程的综合题，解题的关键是先根据一次函数的图象特征准确求出a的取值范围，再对二次项系数分情况讨论，注意不要遗漏$a=0$的特殊情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先要根据一次函数的图象性质确定参数a的取值范围，再针对方程$ax^2-3x+1=0$中二次项系数含参数的情况分两类讨论：当$a=0$时，方程为一元一次方程，直接判断根的个数；当$a≠0$时，方程为一元二次方程，通过计算判别式$\Delta$的正负判断根的个数，最后综合两类情况得到最终结果。
【解析】
∵直线$y=x+a$不经过第二象限，且一次项系数$1＞0$，
∴截距$a≤0$。
分两种情况讨论：
① 当$a=0$时，方程化为$-3x+1=0$，是一元一次方程，有1个实数根；
② 当$a＜0$时，方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$是一元二次方程，
判别式$\Delta=(-3)^2 - 4× a×1=9-4a$，
∵$a＜0$，
∴$-4a＞0$，则$\Delta=9-4a＞9＞0$，
∴此时方程有2个不相等的实数根。
综上所述，方程的实数根的个数为1或2，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；一元一次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一次函数与方程的综合题，解题的关键是先根据一次函数的图象特征准确求出a的取值范围，再对二次项系数分情况讨论，注意不要遗漏$a=0$的特殊情况。
【难度系数】
0.7
变式题 增加待定系数个数
若直线$y=kx+a(k≠0)$不经过第二象限，则
关于$x$的一元二次方程$ax^2 - 3x + k = 0$的
根的存在情况是
若直线$y=kx+a(k≠0)$不经过第二象限，则
关于$x$的一元二次方程$ax^2 - 3x + k = 0$的
根的存在情况是
有两个不相等的实数根
。答案
变式题 有两个不相等的实数根 【解析】
∵直线$y=kx+a(k≠0)$不经过第二象限，$ax^2 - 3x + k = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴$k＞0,a＜0$,
∴$\Delta=(-3)^2 -4a· k=9-4ak＞0$,则关于$x$的一元二次方程$ax^2 - 3x + k = 0$有两个不相等的实数根.
∵直线$y=kx+a(k≠0)$不经过第二象限，$ax^2 - 3x + k = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴$k＞0,a＜0$,
∴$\Delta=(-3)^2 -4a· k=9-4ak＞0$,则关于$x$的一元二次方程$ax^2 - 3x + k = 0$有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
解题时首先结合一次函数的图像性质推导参数范围：一次函数$y=kx+a$不经过第二象限，说明斜率$k＞0$，截距$a≤0$；再结合“关于$x$的一元二次方程”的限定，可得二次项系数$a≠0$，因此确定$a＜0$、$k＞0$；最后将参数符号代入一元二次方程根的判别式，判断判别式的正负即可确定根的存在情况。
【解析】
∵直线$y=kx+a(k≠0)$不经过第二象限，且$ax^2 - 3x + k = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴$k＞0$，$a＜0$，
∴一元二次方程的判别式$\Delta=(-3)^2 -4· a· k=9-4ak$，
∵$a＜0$，$k＞0$，
∴$ak＜0$，则$-4ak＞0$，
∴$\Delta=9-4ak＞9＞0$，
∴关于$x$的一元二次方程$ax^2 - 3x + k = 0$有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
一次函数的图像与性质；一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题是基础综合题，将一次函数图像特征和一元二次方程根的判别式结合考查，解题核心是先根据一次函数的性质准确推导参数的符号，再代入判别式判断根的情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合一次函数的图像性质推导参数范围：一次函数$y=kx+a$不经过第二象限，说明斜率$k＞0$，截距$a≤0$；再结合“关于$x$的一元二次方程”的限定，可得二次项系数$a≠0$，因此确定$a＜0$、$k＞0$；最后将参数符号代入一元二次方程根的判别式，判断判别式的正负即可确定根的存在情况。
【解析】
∵直线$y=kx+a(k≠0)$不经过第二象限，且$ax^2 - 3x + k = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴$k＞0$，$a＜0$，
∴一元二次方程的判别式$\Delta=(-3)^2 -4· a· k=9-4ak$，
∵$a＜0$，$k＞0$，
∴$ak＜0$，则$-4ak＞0$，
∴$\Delta=9-4ak＞9＞0$，
∴关于$x$的一元二次方程$ax^2 - 3x + k = 0$有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
一次函数的图像与性质；一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题是基础综合题，将一次函数图像特征和一元二次方程根的判别式结合考查，解题核心是先根据一次函数的性质准确推导参数的符号，再代入判别式判断根的情况。
【难度系数】
0.7
6. 对于实数$a,b$定义运算“☆”如下：$a☆b=ab^2 - ab$. 例如$3☆2=3×2^2 - 3×2=6$,则方程$1☆x=2$的根的情况为（
A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等实数根
D.有两个不相等的实数根
D
）A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等实数根
D.有两个不相等的实数根
答案
6.D 【解析】由$1☆x=2$,得$x^2 - x=2$.
整理,得$x^2 - x - 2=0$.
∵$\Delta=(-1)^2 -4×1×(-2)=9＞0$,
∴该方程有两个不相等的实数根.
整理,得$x^2 - x - 2=0$.
∵$\Delta=(-1)^2 -4×1×(-2)=9＞0$,
∴该方程有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
首先要读懂题目给出的新运算“☆”的运算规则：$a☆b$的计算方式是a乘b的平方再减去a乘b。解题时先将$1☆x$按照新运算规则转化为普通代数式，得到关于x的方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式，最后通过计算根的判别式$\Delta$的值，判断$\Delta$与0的大小关系，就能确定方程根的情况。
【解析】
根据新定义的运算规则，由$1☆x=2$可得：
$1× x^2 - 1× x = 2$
移项整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 - x - 2 = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，此方程中$a=1$，$b=-1$，$c=-2$，代入计算得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 = 9 ＞ 0$
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算；一元二次方程根的判别式；一元二次方程化简
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的核心知识点，解题的关键是准确理解新运算规则，将新运算转化为常规代数方程，计算判别式时要注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8
首先要读懂题目给出的新运算“☆”的运算规则：$a☆b$的计算方式是a乘b的平方再减去a乘b。解题时先将$1☆x$按照新运算规则转化为普通代数式，得到关于x的方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式，最后通过计算根的判别式$\Delta$的值，判断$\Delta$与0的大小关系，就能确定方程根的情况。
【解析】
根据新定义的运算规则，由$1☆x=2$可得：
$1× x^2 - 1× x = 2$
移项整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 - x - 2 = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，此方程中$a=1$，$b=-1$，$c=-2$，代入计算得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 = 9 ＞ 0$
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算；一元二次方程根的判别式；一元二次方程化简
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的核心知识点，解题的关键是准确理解新运算规则，将新运算转化为常规代数方程，计算判别式时要注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8
7. 已知关于$x$的一元二次方程$mx^2 - (2m - 3)x + (m - 1)=0$有两个实数根.
(1) 求$m$的取值范围.
(2) 若$m$为正整数，求该一元二次方程的根.
(1) 求$m$的取值范围.
(2) 若$m$为正整数，求该一元二次方程的根.
答案
7.解:(1)根据题意,得$m≠0$,且$\Delta=[-(2m-3)]^2 - 4m(m-1)≥0$,解得$m≤\frac{9}{8}$且$m≠0$.
(2)
∵$m$为正整数,
∴$m=1$,
∴原方程变形为$x^2 + x = 0$,解得$x_1=0,x_2=-1$.
(2)
∵$m$为正整数,
∴$m=1$,
∴原方程变形为$x^2 + x = 0$,解得$x_1=0,x_2=-1$.
解析
【分析】
（1）求解参数m的取值范围首先要明确两个前提：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$m≠0$；二是方程有两个实数根，说明根的判别式$\Delta≥0$，计算判别式并解不等式，再综合两个条件即可得到m的取值范围。
（2）结合第一问得到的m的取值范围，筛选出符合条件的正整数m，将m代入原方程后，用因式分解法求解一元二次方程即可得到方程的根。
【解析】
(1)
∵ 方程$mx^2 - (2m - 3)x + (m - 1)=0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数$m≠0$，
又
∵ 方程有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = [-(2m-3)]^2 - 4m(m-1) ≥ 0$，
展开计算得：$\Delta = 4m^2 -12m +9 -4m^2 +4m = -8m +9 ≥ 0$，
解不等式$-8m +9 ≥ 0$得$m ≤ \frac{9}{8}$，
综上，$m$的取值范围为$m ≤ \frac{9}{8}$且$m≠0$。
(2)
∵ $m$为正整数，且满足$m ≤ \frac{9}{8}$、$m≠0$，
∴ 符合条件的正整数$m=1$，
将$m=1$代入原方程，得$x^2 - (2×1 - 3)x + (1 - 1) = 0$，
化简得$x^2 + x = 0$，
因式分解得$x(x+1)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) $m ≤ \frac{9}{8}$且$m ≠ 0$；
(2) $x_1=0$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，解题时需注意不要遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，避免出现仅靠判别式求取值范围的漏解问题，第二问结合参数限制求解方程，侧重对基础概念和基础运算的考查。
【难度系数】
0.75
（1）求解参数m的取值范围首先要明确两个前提：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$m≠0$；二是方程有两个实数根，说明根的判别式$\Delta≥0$，计算判别式并解不等式，再综合两个条件即可得到m的取值范围。
（2）结合第一问得到的m的取值范围，筛选出符合条件的正整数m，将m代入原方程后，用因式分解法求解一元二次方程即可得到方程的根。
【解析】
(1)
∵ 方程$mx^2 - (2m - 3)x + (m - 1)=0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数$m≠0$，
又
∵ 方程有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = [-(2m-3)]^2 - 4m(m-1) ≥ 0$，
展开计算得：$\Delta = 4m^2 -12m +9 -4m^2 +4m = -8m +9 ≥ 0$，
解不等式$-8m +9 ≥ 0$得$m ≤ \frac{9}{8}$，
综上，$m$的取值范围为$m ≤ \frac{9}{8}$且$m≠0$。
(2)
∵ $m$为正整数，且满足$m ≤ \frac{9}{8}$、$m≠0$，
∴ 符合条件的正整数$m=1$，
将$m=1$代入原方程，得$x^2 - (2×1 - 3)x + (1 - 1) = 0$，
化简得$x^2 + x = 0$，
因式分解得$x(x+1)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) $m ≤ \frac{9}{8}$且$m ≠ 0$；
(2) $x_1=0$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，解题时需注意不要遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，避免出现仅靠判别式求取值范围的漏解问题，第二问结合参数限制求解方程，侧重对基础概念和基础运算的考查。
【难度系数】
0.75
8.若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
8.C
解析
【分析】
解决本题的核心思路分三步：第一步先将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定系数$a、b、c$的值；第二步利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别求出两根之和$m$、两根之积$n$；第三步根据各象限内点的坐标正负特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$，得$x^2+2x-3=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
根据韦达定理，一元二次方程两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$，代入数值计算：
$m=-\frac{2}{1}=-2$，$n=\frac{-3}{1}=-3$，
因此点的坐标为$(-2,-3)$。
平面直角坐标系中，第三象限内的点横坐标为负、纵坐标为负，故该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 象限的坐标特征
3. 一元二次方程的化简
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的相关性质和平面直角坐标系知识点结合考查，解题的易错点是运用韦达定理时混淆两根之和的符号，计算时需格外注意。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路分三步：第一步先将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定系数$a、b、c$的值；第二步利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别求出两根之和$m$、两根之积$n$；第三步根据各象限内点的坐标正负特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$，得$x^2+2x-3=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
根据韦达定理，一元二次方程两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$，代入数值计算：
$m=-\frac{2}{1}=-2$，$n=\frac{-3}{1}=-3$，
因此点的坐标为$(-2,-3)$。
平面直角坐标系中，第三象限内的点横坐标为负、纵坐标为负，故该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 象限的坐标特征
3. 一元二次方程的化简
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的相关性质和平面直角坐标系知识点结合考查，解题的易错点是运用韦达定理时混淆两根之和的符号，计算时需格外注意。
【难度系数】
0.8
9.设$m,n$是方程$x^2 - x -1=0$的两个实数根,则$m^2 +n$的值为
2
.答案
9.2
解析
【分析】
解题时先利用一元二次方程根的意义，将含二次项的$m^2$降次转化为含一次项的式子，代入待求代数式后可将原式转化为两根之和与常数的和的形式，再结合根与系数的关系求出两根之和，整体代入即可算出结果，不需要单独求解方程的根，可简化计算。
【解析】
$\because m$是方程$x^2 - x -1=0$的实数根
$\therefore$将$x=m$代入方程得：$m^2 - m -1=0$，即$m^2 = m + 1$
将$m^2 = m + 1$代入$m^2 +n$得：
$m^2 +n = m +1 +n = (m+n) +1$
又$\because m,n$是方程$x^2 - x -1=0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1$
$\therefore m^2 +n =1 +1=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的意义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的典型题型，核心考查降次思想和整体代入思想的应用，解题关键是先利用根的意义实现高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入计算，规避了求解方程根的复杂运算。
【难度系数】
0.7
解题时先利用一元二次方程根的意义，将含二次项的$m^2$降次转化为含一次项的式子，代入待求代数式后可将原式转化为两根之和与常数的和的形式，再结合根与系数的关系求出两根之和，整体代入即可算出结果，不需要单独求解方程的根，可简化计算。
【解析】
$\because m$是方程$x^2 - x -1=0$的实数根
$\therefore$将$x=m$代入方程得：$m^2 - m -1=0$，即$m^2 = m + 1$
将$m^2 = m + 1$代入$m^2 +n$得：
$m^2 +n = m +1 +n = (m+n) +1$
又$\because m,n$是方程$x^2 - x -1=0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1$
$\therefore m^2 +n =1 +1=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的意义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的典型题型，核心考查降次思想和整体代入思想的应用，解题关键是先利用根的意义实现高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入计算，规避了求解方程根的复杂运算。
【难度系数】
0.7
10. (2025—2026 新余期中)已知关于$x$的方程
$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0.$
(1)若方程总有两个实数根，求$m$的取值范围.
(2)若方程的两实数根$x_1, x_2$满足$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 8$，求$m$的值.
$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0.$
(1)若方程总有两个实数根，求$m$的取值范围.
(2)若方程的两实数根$x_1, x_2$满足$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 8$，求$m$的值.
答案
10.解:(1)
∵关于$x$的方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0$总有两个实数根，
∴$\Delta=[-2(m+1)]^2 -4(m^2 + 2)=8m -4≥0$,
解得$m≥\frac{1}{2}$.
(2)
∵$x_1,x_2$为方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0$的两个根，
∴$x_1 + x_2=2(m+1),x_1x_2=m^2 + 2$.
∵$(x_1 + 1)(x_2 + 1)=8$，
∴$x_1x_2 + (x_1 + x_2) + 1=8$，
∴$m^2 + 2 + 2(m+1) + 1=8$.
整理,得$m^2 + 2m - 3=0$,即$(m+3)(m-1)=0$,
解得$m_1=-3$(不合题意,舍去),$m_2=1$,
∴$m$的值为1.
∵关于$x$的方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0$总有两个实数根，
∴$\Delta=[-2(m+1)]^2 -4(m^2 + 2)=8m -4≥0$,
解得$m≥\frac{1}{2}$.
(2)
∵$x_1,x_2$为方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0$的两个根，
∴$x_1 + x_2=2(m+1),x_1x_2=m^2 + 2$.
∵$(x_1 + 1)(x_2 + 1)=8$，
∴$x_1x_2 + (x_1 + x_2) + 1=8$，
∴$m^2 + 2 + 2(m+1) + 1=8$.
整理,得$m^2 + 2m - 3=0$,即$(m+3)(m-1)=0$,
解得$m_1=-3$(不合题意,舍去),$m_2=1$,
∴$m$的值为1.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的相关性质，解题思路如下：
(1) 一元二次方程总有两个实数根的前提是判别式$\Delta≥0$，先根据方程各项系数写出判别式的表达式，解不等式即可得到$m$的取值范围；
(2) 已知两根满足的代数式，先根据根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，将给定的代数式展开后代入两根和、两根积的表达式，得到关于$m$的一元二次方程，求解后结合第(1)问得到的$m$的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到最终$m$的值。
【解析】
(1) 已知方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0$总有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式要求：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac = [-2(m+1)]^2 - 4×1×(m^2 + 2)\\&= 4(m^2 + 2m +1) - 4m^2 - 8\\&= 8m - 4\end{aligned}$
∵方程总有两个实根，
∴$\Delta ≥ 0$，即$8m - 4 ≥ 0$
解得：$m ≥ \frac{1}{2}$
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两实根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = 2(m+1)$，$x_1x_2 = m^2 + 2$
已知$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 8$，将左边展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 8$
将$x_1 + x_2$和$x_1x_2$代入上式：
$m^2 + 2 + 2(m+1) + 1 = 8$
整理得：$m^2 + 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m + 3)(m - 1) = 0$
解得：$m_1 = -3$，$m_2 = 1$
结合(1)中$m ≥ \frac{1}{2}$的要求，$m=-3$不符合条件，舍去
∴$m$的值为1
【答案】
(1) $m≥ \frac{1}{2}$；(2) $m=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的典型综合题，既考察了根的个数与判别式的对应关系，也考察了根与系数关系的应用，解题时要注意求解$m$值后需要结合根存在的前提条件进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根的相关性质，解题思路如下：
(1) 一元二次方程总有两个实数根的前提是判别式$\Delta≥0$，先根据方程各项系数写出判别式的表达式，解不等式即可得到$m$的取值范围；
(2) 已知两根满足的代数式，先根据根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，将给定的代数式展开后代入两根和、两根积的表达式，得到关于$m$的一元二次方程，求解后结合第(1)问得到的$m$的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到最终$m$的值。
【解析】
(1) 已知方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0$总有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式要求：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac = [-2(m+1)]^2 - 4×1×(m^2 + 2)\\&= 4(m^2 + 2m +1) - 4m^2 - 8\\&= 8m - 4\end{aligned}$
∵方程总有两个实根，
∴$\Delta ≥ 0$，即$8m - 4 ≥ 0$
解得：$m ≥ \frac{1}{2}$
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两实根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = 2(m+1)$，$x_1x_2 = m^2 + 2$
已知$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 8$，将左边展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 8$
将$x_1 + x_2$和$x_1x_2$代入上式：
$m^2 + 2 + 2(m+1) + 1 = 8$
整理得：$m^2 + 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m + 3)(m - 1) = 0$
解得：$m_1 = -3$，$m_2 = 1$
结合(1)中$m ≥ \frac{1}{2}$的要求，$m=-3$不符合条件，舍去
∴$m$的值为1
【答案】
(1) $m≥ \frac{1}{2}$；(2) $m=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的典型综合题，既考察了根的个数与判别式的对应关系，也考察了根与系数关系的应用，解题时要注意求解$m$值后需要结合根存在的前提条件进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
