登录
11.数形结合思想 如图,这是一块矩形菜地ABCD,AB = a m,AD = b m,面积为S m².现将边AB增加1m.
(1)如图①,若a=5,边AD减少1 m,得到的矩形面积不变,则b的值是
(2)如图②,若边AD增加2 m,有且只有一个a的值,使得到的矩形面积为2S m²,则S的值是
(1)如图①,若a=5,边AD减少1 m,得到的矩形面积不变,则b的值是
6
.(2)如图②,若边AD增加2 m,有且只有一个a的值,使得到的矩形面积为2S m²,则S的值是
$6+4\sqrt{2}$
.答案
11.(1)6 (2)$6+4\sqrt{2}$
【解析】(1)根据题意,得起始矩形的面积为$ab\ \mathrm{m}^2$,得到的矩形面积为$(a+1)(b-1)\mathrm{m}^2$.
∵$a=5$,得到的矩形面积不变，
∴$(5+1)(b-1)=5b$,解得$b=6$.
(2)根据题意,得起始矩形的面积为$ab\ \mathrm{m}^2$,得到的矩形面积为$(a+1)(b+2)\mathrm{m}^2$,
∴$2S=(a+1)(b+2),b=\frac{S}{a}$,
∴$2S=(a+1)(\frac{S}{a}+2)$,
∴$\frac{2S}{a+1}=\frac{S}{a}+2$,
∴$2a^2 + (2-S)a + S=0$.
∵有且只有一个$a$的值，
∴$\Delta=(2-S)^2 -8S=0$,
∴$S^2 -12S +4=0$,
解得$S_1=6+4\sqrt{2},S_2=6-4\sqrt{2}$(不合题意,舍去).
【解析】(1)根据题意,得起始矩形的面积为$ab\ \mathrm{m}^2$,得到的矩形面积为$(a+1)(b-1)\mathrm{m}^2$.
∵$a=5$,得到的矩形面积不变，
∴$(5+1)(b-1)=5b$,解得$b=6$.
(2)根据题意,得起始矩形的面积为$ab\ \mathrm{m}^2$,得到的矩形面积为$(a+1)(b+2)\mathrm{m}^2$,
∴$2S=(a+1)(b+2),b=\frac{S}{a}$,
∴$2S=(a+1)(\frac{S}{a}+2)$,
∴$\frac{2S}{a+1}=\frac{S}{a}+2$,
∴$2a^2 + (2-S)a + S=0$.
∵有且只有一个$a$的值，
∴$\Delta=(2-S)^2 -8S=0$,
∴$S^2 -12S +4=0$,
解得$S_1=6+4\sqrt{2},S_2=6-4\sqrt{2}$(不合题意,舍去).
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先明确原矩形面积为$S=ab$，AB增加1m、AD减少1m后，新矩形的长为$(a+1)\mathrm{m}$，宽为$(b-1)\mathrm{m}$，面积不变即新旧面积相等，代入$a=5$列一元一次方程即可求解$b$的值。
(2) 解题思路：首先写出AD增加2m后新矩形的面积为$(a+1)(b+2)\mathrm{m^2}$，结合题意新面积等于$2S$，且原面积$S=ab$即$b=\frac{S}{a}$，将$b$用含$S$和$a$的式子代入等式，整理为关于$a$的一元二次方程；题目中“有且只有一个$a$的值”满足条件，说明该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，由此列关于$S$的一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合的解即可得到$S$的值。
【解析】
(1) 原矩形面积$S=ab$，变化后矩形的长为$(a+1)\mathrm{m}$，宽为$(b-1)\mathrm{m}$，由面积不变得：
$(a+1)(b-1)=ab$
将$a=5$代入上式：
$(5+1)(b-1)=5b$
展开得$6b-6=5b$，解得$b=6$。
(2) 变化后矩形的长为$(a+1)\mathrm{m}$，宽为$(b+2)\mathrm{m}$，由题意得新面积为$2S$，即：
$(a+1)(b+2)=2S$
又因为原面积$S=ab$，即$b=\frac{S}{a}$，将其代入上式：
$(a+1)(\frac{S}{a}+2)=2S$
两边同乘$a$整理得：
$2a^2+(2-S)a+S=0$
因为有且只有一个$a$的值满足条件，所以该一元二次方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(2-S)^2-4×2× S=0$
展开化简得$S^2-12S+4=0$
解得$S=\frac{12\pm\sqrt{12^2-4×1×4}}{2}=6\pm4\sqrt{2}$
其中$S=6-4\sqrt{2}$不符合菜地面积的实际意义，舍去，故$S=6+4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$
(2) $\boldsymbol{6+4\sqrt{2}}$
【知识点】
矩形面积计算；一元一次方程应用；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合矩形边长变化考查方程思想的应用，第二问将“只有一个$a$的值”转化为一元二次方程根的判别式为0是解题的关键，求解后需注意结合实际情况检验解的合理性。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：首先明确原矩形面积为$S=ab$，AB增加1m、AD减少1m后，新矩形的长为$(a+1)\mathrm{m}$，宽为$(b-1)\mathrm{m}$，面积不变即新旧面积相等，代入$a=5$列一元一次方程即可求解$b$的值。
(2) 解题思路：首先写出AD增加2m后新矩形的面积为$(a+1)(b+2)\mathrm{m^2}$，结合题意新面积等于$2S$，且原面积$S=ab$即$b=\frac{S}{a}$，将$b$用含$S$和$a$的式子代入等式，整理为关于$a$的一元二次方程；题目中“有且只有一个$a$的值”满足条件，说明该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，由此列关于$S$的一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合的解即可得到$S$的值。
【解析】
(1) 原矩形面积$S=ab$，变化后矩形的长为$(a+1)\mathrm{m}$，宽为$(b-1)\mathrm{m}$，由面积不变得：
$(a+1)(b-1)=ab$
将$a=5$代入上式：
$(5+1)(b-1)=5b$
展开得$6b-6=5b$，解得$b=6$。
(2) 变化后矩形的长为$(a+1)\mathrm{m}$，宽为$(b+2)\mathrm{m}$，由题意得新面积为$2S$，即：
$(a+1)(b+2)=2S$
又因为原面积$S=ab$，即$b=\frac{S}{a}$，将其代入上式：
$(a+1)(\frac{S}{a}+2)=2S$
两边同乘$a$整理得：
$2a^2+(2-S)a+S=0$
因为有且只有一个$a$的值满足条件，所以该一元二次方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(2-S)^2-4×2× S=0$
展开化简得$S^2-12S+4=0$
解得$S=\frac{12\pm\sqrt{12^2-4×1×4}}{2}=6\pm4\sqrt{2}$
其中$S=6-4\sqrt{2}$不符合菜地面积的实际意义，舍去，故$S=6+4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$
(2) $\boldsymbol{6+4\sqrt{2}}$
【知识点】
矩形面积计算；一元一次方程应用；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合矩形边长变化考查方程思想的应用，第二问将“只有一个$a$的值”转化为一元二次方程根的判别式为0是解题的关键，求解后需注意结合实际情况检验解的合理性。
【难度系数】
0.6
12.(2025—2026赣州崇义检测)某商店经销一批小商品,每件商品的成本为8元.据市场分析,销售单价定为10元时,每天能售出200件.现采用提高商品售价,减少销售量的办法增加利润.已知销售单价每涨1元,每天的销售量就减少20件.设销售单价定为x元.据此规律,请回答:
(1)商店日销售量减少
(2)针对这种小商品的销售情况,该商店要保证每天盈利640元,同时又要使顾客得到实惠,那么销售单价应定为多少元?
(1)商店日销售量减少
$20(x-10)$
件,每件商品盈利$(x-8)$
元.(用含x的代数式表示)(2)针对这种小商品的销售情况,该商店要保证每天盈利640元,同时又要使顾客得到实惠,那么销售单价应定为多少元?
答案
12.解:(1)$20(x-10)$ $(x-8)$
(2)由题意可得,$(x-8)[200-20(x-10)]=640$,
解得$x_1=12,x_2=16$.
∵要让顾客得到实惠,
∴$x=12$.
故销售单价应定为12元.
(2)由题意可得,$(x-8)[200-20(x-10)]=640$,
解得$x_1=12,x_2=16$.
∵要让顾客得到实惠,
∴$x=12$.
故销售单价应定为12元.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先计算销售单价的上涨幅度：原定价为10元，现定价为x元，因此单价上涨了$(x-10)$元，已知每涨1元日销售量减少20件，因此日销售量减少的件数为上涨幅度乘20；每件商品的盈利为售价减去成本，已知成本为8元，代入即可得到对应代数式。
(2) 求解第二问时，核心等量关系为“总利润=每件商品盈利×当日销售量”，先计算当日实际销售量：原销售量200件减去减少的销售量，结合总盈利640元列方程求解，最后根据“使顾客得到实惠”的要求，选择售价更低的解即可。
【解析】
(1) 销售单价上涨了$(x-10)$元，因此日销售量减少$20(x-10)$件；
每件商品盈利=售价-成本=$x-8$元。
(2) 根据总利润的等量关系列方程：
$(x-8)[200-20(x-10)]=640$
化简方程：
$(x-8)(400-20x)=640$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2-28x+192=0$
因式分解得：
$(x-12)(x-16)=0$
解得$x_1=12$，$x_2=16$
因为要使顾客得到实惠，需选择更低的销售单价，因此舍去$x=16$，取$x=12$。
【答案】
(1) $20(x-10)$；$(x-8)$
(2) 销售单价应定为12元。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题属于典型的销售类实际应用题，解题时需准确把握利润问题的核心等量关系，列方程求解后注意结合实际情境对解进行取舍，避免漏看限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，先计算销售单价的上涨幅度：原定价为10元，现定价为x元，因此单价上涨了$(x-10)$元，已知每涨1元日销售量减少20件，因此日销售量减少的件数为上涨幅度乘20；每件商品的盈利为售价减去成本，已知成本为8元，代入即可得到对应代数式。
(2) 求解第二问时，核心等量关系为“总利润=每件商品盈利×当日销售量”，先计算当日实际销售量：原销售量200件减去减少的销售量，结合总盈利640元列方程求解，最后根据“使顾客得到实惠”的要求，选择售价更低的解即可。
【解析】
(1) 销售单价上涨了$(x-10)$元，因此日销售量减少$20(x-10)$件；
每件商品盈利=售价-成本=$x-8$元。
(2) 根据总利润的等量关系列方程：
$(x-8)[200-20(x-10)]=640$
化简方程：
$(x-8)(400-20x)=640$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2-28x+192=0$
因式分解得：
$(x-12)(x-16)=0$
解得$x_1=12$，$x_2=16$
因为要使顾客得到实惠，需选择更低的销售单价，因此舍去$x=16$，取$x=12$。
【答案】
(1) $20(x-10)$；$(x-8)$
(2) 销售单价应定为12元。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题属于典型的销售类实际应用题，解题时需准确把握利润问题的核心等量关系，列方程求解后注意结合实际情境对解进行取舍，避免漏看限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
13. (2026上海)下列方程中，没有实数根的是（
A.$x^2 - 2x = 0$
B.$x^2 - 2 = 0$
C.$x^2 + 2x = 0$
D.$x^2 + 2 = 0$
D
）A.$x^2 - 2x = 0$
B.$x^2 - 2 = 0$
C.$x^2 + 2x = 0$
D.$x^2 + 2 = 0$
答案
13.D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否存在实数根，可利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：当$\Delta≥0$时，方程有实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。也可结合方程结构，利用平方的非负性（任意实数的平方$≥0$）直接分析，接下来逐个验证四个选项即可。
【解析】
我们分别对每个选项分析：
A. 方程$x^2 - 2x = 0$，其中$a=1,b=-2,c=0$，判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×0=4＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
B. 方程$x^2 - 2 = 0$，移项得$x^2=2＞0$，存在实数根$x=\pm\sqrt{2}$，不符合要求；
C. 方程$x^2 + 2x = 0$，其中$a=1,b=2,c=0$，判别式$\Delta=2^2-4×1×0=4＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
D. 方程$x^2 + 2 = 0$，移项得$x^2=-2$，由于任意实数的平方都是非负数，不可能为负数，因此该方程没有实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题是判断方程有无实根的基础题型，既可以用判别式公式通用求解，也可以根据方程的特点用平方性质快速得出结论，掌握判别式的取值和根的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程是否存在实数根，可利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：当$\Delta≥0$时，方程有实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。也可结合方程结构，利用平方的非负性（任意实数的平方$≥0$）直接分析，接下来逐个验证四个选项即可。
【解析】
我们分别对每个选项分析：
A. 方程$x^2 - 2x = 0$，其中$a=1,b=-2,c=0$，判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×0=4＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
B. 方程$x^2 - 2 = 0$，移项得$x^2=2＞0$，存在实数根$x=\pm\sqrt{2}$，不符合要求；
C. 方程$x^2 + 2x = 0$，其中$a=1,b=2,c=0$，判别式$\Delta=2^2-4×1×0=4＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
D. 方程$x^2 + 2 = 0$，移项得$x^2=-2$，由于任意实数的平方都是非负数，不可能为负数，因此该方程没有实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题是判断方程有无实根的基础题型，既可以用判别式公式通用求解，也可以根据方程的特点用平方性质快速得出结论，掌握判别式的取值和根的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.9
14.(2026安徽)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 - bx + b - a = 0(a≠0)$有两个相等的实数根，则$\frac{b}{a}=$（
A.$-2$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$
D
）A.$-2$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$
答案
14.D
解析
【分析】
本题已知一元二次方程有两个相等的实数根，可结合一元二次方程根的判别式的性质求解：首先回忆一元二次方程有两个相等实根的充要条件是判别式Δ=0；接着确定方程中二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式得到关于a、b的等式；最后对等式变形，结合a≠0的条件求出$\frac{b}{a}$的值即可。也可先对左边多项式因式分解确定其中一个固定根，结合等根条件用韦达定理快速求解。
【解析】
解：
∵关于$x$的一元二次方程$ax^2 - bx + b - a = 0(a≠0)$有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = 0$，
其中二次项系数为$a$，一次项系数为$-b$，常数项为$b-a$，代入判别式公式得：
$\Delta = (-b)^2 - 4 · a · (b - a) = 0$
展开整理得：$b^2 - 4ab + 4a^2 = 0$，
由完全平方公式得：$(b - 2a)^2 = 0$，
∴$b - 2a = 0$，即$b = 2a$，
∵$a≠0$，等式两边同时除以$a$得：$\frac{b}{a} = 2$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题，解题的关键是熟练掌握根的情况与判别式的对应关系，计算时注意识别完全平方结构可简化运算，同时要注意题干中$a≠0$的隐含条件，确保变形合法。
【难度系数】
0.7
本题已知一元二次方程有两个相等的实数根，可结合一元二次方程根的判别式的性质求解：首先回忆一元二次方程有两个相等实根的充要条件是判别式Δ=0；接着确定方程中二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式得到关于a、b的等式；最后对等式变形，结合a≠0的条件求出$\frac{b}{a}$的值即可。也可先对左边多项式因式分解确定其中一个固定根，结合等根条件用韦达定理快速求解。
【解析】
解：
∵关于$x$的一元二次方程$ax^2 - bx + b - a = 0(a≠0)$有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = 0$，
其中二次项系数为$a$，一次项系数为$-b$，常数项为$b-a$，代入判别式公式得：
$\Delta = (-b)^2 - 4 · a · (b - a) = 0$
展开整理得：$b^2 - 4ab + 4a^2 = 0$，
由完全平方公式得：$(b - 2a)^2 = 0$，
∴$b - 2a = 0$，即$b = 2a$，
∵$a≠0$，等式两边同时除以$a$得：$\frac{b}{a} = 2$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题，解题的关键是熟练掌握根的情况与判别式的对应关系，计算时注意识别完全平方结构可简化运算，同时要注意题干中$a≠0$的隐含条件，确保变形合法。
【难度系数】
0.7
15.(2026宜宾)已知方程$x^2 -9x +14=0$的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（
A.4
B.5
C.6
D.7
D
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
15.D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按如下思路思考：首先明确菱形面积的计算方法为两条对角线乘积的$\frac{1}{2}$，题目中已知两条对角线长是方程的两个根，因此我们不需要单独求解每个根的具体值，只需要利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根的乘积，再代入菱形面积公式即可得到结果。
【解析】
解：设方程$x^2 -9x +14=0$的两根分别为$x_1$、$x_2$，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据韦达定理可得两根之积$x_1· x_2=\frac{c}{a}$，
本题中$a=1$，$c=14$，因此$x_1· x_2=\frac{14}{1}=14$。
由题意可知$x_1$、$x_2$为菱形的两条对角线长，根据菱形面积公式：
$S_{\mathrm{菱形}}=\frac{1}{2}×\mathrm{对角线}_1×\mathrm{对角线}_2=\frac{1}{2}x_1x_2$，
将$x_1x_2=14$代入得：$S_{\mathrm{菱形}}=\frac{1}{2}×14=7$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 菱形的面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的性质与菱形面积计算相结合，不需要求出方程的具体根，灵活运用韦达定理即可快速解题，能够考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按如下思路思考：首先明确菱形面积的计算方法为两条对角线乘积的$\frac{1}{2}$，题目中已知两条对角线长是方程的两个根，因此我们不需要单独求解每个根的具体值，只需要利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根的乘积，再代入菱形面积公式即可得到结果。
【解析】
解：设方程$x^2 -9x +14=0$的两根分别为$x_1$、$x_2$，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据韦达定理可得两根之积$x_1· x_2=\frac{c}{a}$，
本题中$a=1$，$c=14$，因此$x_1· x_2=\frac{14}{1}=14$。
由题意可知$x_1$、$x_2$为菱形的两条对角线长，根据菱形面积公式：
$S_{\mathrm{菱形}}=\frac{1}{2}×\mathrm{对角线}_1×\mathrm{对角线}_2=\frac{1}{2}x_1x_2$，
将$x_1x_2=14$代入得：$S_{\mathrm{菱形}}=\frac{1}{2}×14=7$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 菱形的面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的性质与菱形面积计算相结合，不需要求出方程的具体根，灵活运用韦达定理即可快速解题，能够考察学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
16.(2026山西)某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器,能高度还原蝴蝶飞行动作.今年3月份此款飞行器产量为1200台,5月份的产量为1600台.若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为x,则下列方程正确的是 (
A.$1200(1+x)=1600$
B.$1200(1+2x)=1600$
C.$1200(1+x)^2=1600$
D.$1600(1-x)^2=1200$
C
)A.$1200(1+x)=1600$
B.$1200(1+2x)=1600$
C.$1200(1+x)^2=1600$
D.$1600(1-x)^2=1200$
答案
16.C
解析
【分析】
本题考查平均增长率问题的方程列法，解题思路如下：首先确定初始产量是3月份的1200台，最终产量是5月份的1600台，从3月到5月共经过2次月度增长，月平均增长率为x。平均增长率的核心规律是：每次增长后的产量 = 增长前的产量×(1+增长率)，经过n次增长后，最终产量 = 初始产量×(1+增长率)ⁿ，我们只需代入对应数值找到等量关系即可判断正确方程。
【解析】
解：已知3月份产量为1200台，月平均增长率为x。
① 4月份产量为3月份产量增长一次后的量，即：$1200(1+x)$
② 5月份产量为4月份产量再增长一次后的量，即：$1200(1+x) × (1+x) = 1200(1+x)^2$
又已知5月份产量为1600台，因此可列方程：$1200(1+x)^2 = 1600$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是增长率类的基础应用题，解题的核心是找准初始量、增长次数和最终量，牢记增长率的计算公式，准确对应数值列方程即可求解。
【难度系数】
0.8
本题考查平均增长率问题的方程列法，解题思路如下：首先确定初始产量是3月份的1200台，最终产量是5月份的1600台，从3月到5月共经过2次月度增长，月平均增长率为x。平均增长率的核心规律是：每次增长后的产量 = 增长前的产量×(1+增长率)，经过n次增长后，最终产量 = 初始产量×(1+增长率)ⁿ，我们只需代入对应数值找到等量关系即可判断正确方程。
【解析】
解：已知3月份产量为1200台，月平均增长率为x。
① 4月份产量为3月份产量增长一次后的量，即：$1200(1+x)$
② 5月份产量为4月份产量再增长一次后的量，即：$1200(1+x) × (1+x) = 1200(1+x)^2$
又已知5月份产量为1600台，因此可列方程：$1200(1+x)^2 = 1600$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是增长率类的基础应用题，解题的核心是找准初始量、增长次数和最终量，牢记增长率的计算公式，准确对应数值列方程即可求解。
【难度系数】
0.8
17.(2026眉山)若方程$x^2 -4x -3=0$的两个根是$x_1,x_2$，则$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$的值为
$-12$
。答案
17.$-12$
解析
【分析】
首先观察待求代数式的结构，可通过因式分解将其转化为含有两根之和、两根之积的形式，因此无需解出方程的具体根，直接利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果。解题步骤：第一步确定方程的a、b、c的值，计算$x_1+x_2$和$x_1x_2$；第二步对待求式因式分解；第三步代入数值计算。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x -3=0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -3$。
对待求式因式分解可得：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$，
将$x_1 + x_2 = 4$，$x_1 x_2 = -3$代入上式：
原式$= (-3) × 4 = -12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 因式分解 3. 代数式求值
【点评】
本题考查根与系数关系的灵活应用，将待求代数式合理变形为两根和与两根积的组合形式是解题的核心，无需解方程求根即可快速得到结果，有效降低了运算量。
【难度系数】
0.8
首先观察待求代数式的结构，可通过因式分解将其转化为含有两根之和、两根之积的形式，因此无需解出方程的具体根，直接利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果。解题步骤：第一步确定方程的a、b、c的值，计算$x_1+x_2$和$x_1x_2$；第二步对待求式因式分解；第三步代入数值计算。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x -3=0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -3$。
对待求式因式分解可得：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$，
将$x_1 + x_2 = 4$，$x_1 x_2 = -3$代入上式：
原式$= (-3) × 4 = -12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 因式分解 3. 代数式求值
【点评】
本题考查根与系数关系的灵活应用，将待求代数式合理变形为两根和与两根积的组合形式是解题的核心，无需解方程求根即可快速得到结果，有效降低了运算量。
【难度系数】
0.8
