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【例】一个两位数的两个数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1 458.求原两位数.
【点拨】
【解】设原两位数的个位数字为x，则十位数字为(9−x).
根据题意，得$[x + 10(9 - x)][10x + (9 - x)] = 1458$.
整理，得$(x - 8)(x - 1) = 0$，解得$x_1 = 8$，$x_2 = 1$.
故原两位数是81或18.
【点拨】
【解】设原两位数的个位数字为x，则十位数字为(9−x).
根据题意，得$[x + 10(9 - x)][10x + (9 - x)] = 1458$.
整理，得$(x - 8)(x - 1) = 0$，解得$x_1 = 8$，$x_2 = 1$.
故原两位数是81或18.
答案
解：设原两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$(9-x)$。
原两位数可表示为$10(9-x)+x$，互换数位后得到的新两位数可表示为$10x+(9-x)$。
根据题意，得
$[10(9-x)+x][10x+(9-x)]=1458$
化简括号内的项，得
$(90-9x)(9x+9)=1458$
两边同除以81，得
$(10-x)(x+1)=18$
展开并整理，得
$x^2-9x+8=0$
因式分解，得
$(x-8)(x-1)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=1$。
当$x=8$时，$9-x=1$，此时原两位数为$10×1+8=18$；
当$x=1$时，$9-x=8$，此时原两位数为$10×8+1=81$。
答：原两位数是18或81。
原两位数可表示为$10(9-x)+x$，互换数位后得到的新两位数可表示为$10x+(9-x)$。
根据题意，得
$[10(9-x)+x][10x+(9-x)]=1458$
化简括号内的项，得
$(90-9x)(9x+9)=1458$
两边同除以81，得
$(10-x)(x+1)=18$
展开并整理，得
$x^2-9x+8=0$
因式分解，得
$(x-8)(x-1)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=1$。
当$x=8$时，$9-x=1$，此时原两位数为$10×1+8=18$；
当$x=1$时，$9-x=8$，此时原两位数为$10×8+1=81$。
答：原两位数是18或81。
解析
【分析】
本题是数字类应用题，解题核心是掌握两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字。首先根据两个数位上数字之和为9的条件，设个位数字为x，即可用x表示出十位数字，再分别写出原两位数和交换数位后的新两位数，结合两者乘积为1458的等量关系列一元二次方程，求解后分别代入计算对应的两位数即可，注意两个解都符合题意，不要漏解。
【解析】
设原两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$(9-x)$。
原两位数可表示为$10(9-x)+x$，互换数位后得到的新两位数可表示为$10x+(9-x)$。
根据题意，得
$[10(9-x)+x][10x+(9-x)]=1458$
化简括号内的项，得
$(90-9x)(9x+9)=1458$
两边同除以81，得
$(10-x)(x+1)=18$
展开并整理，得
$x^2-9x+8=0$
因式分解，得
$(x-8)(x-1)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=1$。
当$x=8$时，$9-x=1$，此时原两位数为$10×1+8=18$；
当$x=1$时，$9-x=8$，此时原两位数为$10×8+1=81$。
【答案】
原两位数是18或81
【知识点】
1. 两位数的表示
2. 一元二次方程的应用
3. 因式分解法解方程
【点评】
本题是数字问题的典型考法，解题关键是正确用代数式表示出原数和变换后的新数，再根据题干等量关系列方程求解，求出未知数的解后要注意结合题意验证所有解是否成立，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题是数字类应用题，解题核心是掌握两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字。首先根据两个数位上数字之和为9的条件，设个位数字为x，即可用x表示出十位数字，再分别写出原两位数和交换数位后的新两位数，结合两者乘积为1458的等量关系列一元二次方程，求解后分别代入计算对应的两位数即可，注意两个解都符合题意，不要漏解。
【解析】
设原两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$(9-x)$。
原两位数可表示为$10(9-x)+x$，互换数位后得到的新两位数可表示为$10x+(9-x)$。
根据题意，得
$[10(9-x)+x][10x+(9-x)]=1458$
化简括号内的项，得
$(90-9x)(9x+9)=1458$
两边同除以81，得
$(10-x)(x+1)=18$
展开并整理，得
$x^2-9x+8=0$
因式分解，得
$(x-8)(x-1)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=1$。
当$x=8$时，$9-x=1$，此时原两位数为$10×1+8=18$；
当$x=1$时，$9-x=8$，此时原两位数为$10×8+1=81$。
【答案】
原两位数是18或81
【知识点】
1. 两位数的表示
2. 一元二次方程的应用
3. 因式分解法解方程
【点评】
本题是数字问题的典型考法，解题关键是正确用代数式表示出原数和变换后的新数，再根据题干等量关系列方程求解，求出未知数的解后要注意结合题意验证所有解是否成立，避免漏解。
【难度系数】
0.7
1. (2025—2026瑞金检测)某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送1张留念，全班一共送了1260张。如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（
A.$x(x+1)=1260$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=1260$
C.$x(x-1)=1260$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=1260$
C
）A.$x(x+1)=1260$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=1260$
C.$x(x-1)=1260$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=1260$
答案
1.C
解析
【分析】
本题属于一元二次方程实际应用中的互送类问题，解题时先明确单个个体的赠送数量，再计算总数量即可。首先思考：全班共x名同学，每名同学不需要给自己送照片，因此每名同学需要给其余(x-1)名同学各送1张照片；其次注意互送场景下，甲送给乙和乙送给甲是两次独立的赠送，对应2张不同的照片，不存在重复计数，不需要除以2，最后结合总赠送数量列方程即可。
【解析】
解：已知全班有x名同学，
∵ 每名同学不需要给自己送照片，
∴ 每名同学需送出(x-1)张照片，
又
∵ 互送照片时，两人之间的赠送是两次独立行为，无重复计数，
∴ 全班总赠送照片数为$ x(x-1) $张，
结合题意总赠送量为1260张，可列方程：$ x(x-1)=1260 $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用；互送类计数问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础典型题，解题核心是区分互送类和握手类计数的差异：互送属于双向计数，无需除以2；握手属于单次双向行为，需要除以2，避免混淆两类题型导致错选。
【难度系数】
0.7
本题属于一元二次方程实际应用中的互送类问题，解题时先明确单个个体的赠送数量，再计算总数量即可。首先思考：全班共x名同学，每名同学不需要给自己送照片，因此每名同学需要给其余(x-1)名同学各送1张照片；其次注意互送场景下，甲送给乙和乙送给甲是两次独立的赠送，对应2张不同的照片，不存在重复计数，不需要除以2，最后结合总赠送数量列方程即可。
【解析】
解：已知全班有x名同学，
∵ 每名同学不需要给自己送照片，
∴ 每名同学需送出(x-1)张照片，
又
∵ 互送照片时，两人之间的赠送是两次独立行为，无重复计数，
∴ 全班总赠送照片数为$ x(x-1) $张，
结合题意总赠送量为1260张，可列方程：$ x(x-1)=1260 $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用；互送类计数问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础典型题，解题核心是区分互送类和握手类计数的差异：互送属于双向计数，无需除以2；握手属于单次双向行为，需要除以2，避免混淆两类题型导致错选。
【难度系数】
0.7
2.(2025—2026上饶弋阳期中)在一次同学聚会时，大家相互握手问候.如果每人都只和其他人握手1次，一共握了55次手，那么参加这次聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学有$x$人，根据题意，下列方程正确的是（
A.$x(x-1)=55$
B.$x(x+1)=55$
C.$x(x-1)=55×2$
D.$x(x+1)=55×2$
C
）A.$x(x-1)=55$
B.$x(x+1)=55$
C.$x(x-1)=55×2$
D.$x(x+1)=55×2$
答案
2.C
解析
【分析】
本题是单循环类的实际应用问题，解题思路如下：第一步，明确握手规则：每两人之间仅握手1次，不存在重复握手的情况；第二步，先计算每个人的握手次数：总人数为x时，每个人不需要和自己握手，因此每人握手(x-1)次；第三步，考虑重复计数问题：甲和乙握手与乙和甲握手是同一次，所以直接用总人数乘每人握手次数得到的结果是实际握手次数的2倍；第四步，根据总握手次数为55次列方程，变形后匹配选项即可。
【解析】
设参加聚会的同学有$x$人。
1. 计算所有人的计数握手次数：每人需和除自己外的$(x-1)$人握手，因此总计数次数为$x(x-1)$次；
2. 修正重复计数：每1次握手会被2个人各计数1次，因此实际握手总次数为$\frac{x(x-1)}{2}$；
3. 根据题意列方程：已知实际握手总次数为55次，可得$\frac{x(x-1)}{2}=55$，方程两边同时乘2变形为$x(x-1)=55×2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环计数
【点评】
本题是握手问题的典型考法，解题核心是注意单循环计数中存在的重复计算问题，若忽略重复计数的逻辑很容易误选A选项，理清计数规则就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
本题是单循环类的实际应用问题，解题思路如下：第一步，明确握手规则：每两人之间仅握手1次，不存在重复握手的情况；第二步，先计算每个人的握手次数：总人数为x时，每个人不需要和自己握手，因此每人握手(x-1)次；第三步，考虑重复计数问题：甲和乙握手与乙和甲握手是同一次，所以直接用总人数乘每人握手次数得到的结果是实际握手次数的2倍；第四步，根据总握手次数为55次列方程，变形后匹配选项即可。
【解析】
设参加聚会的同学有$x$人。
1. 计算所有人的计数握手次数：每人需和除自己外的$(x-1)$人握手，因此总计数次数为$x(x-1)$次；
2. 修正重复计数：每1次握手会被2个人各计数1次，因此实际握手总次数为$\frac{x(x-1)}{2}$；
3. 根据题意列方程：已知实际握手总次数为55次，可得$\frac{x(x-1)}{2}=55$，方程两边同时乘2变形为$x(x-1)=55×2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环计数
【点评】
本题是握手问题的典型考法，解题核心是注意单循环计数中存在的重复计算问题，若忽略重复计数的逻辑很容易误选A选项，理清计数规则就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
3.某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛(每2支队伍之间都赛1场)，单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍有（
A.8支
B.10支
C.7支
D.9支
B
）A.8支
B.10支
C.7支
D.9支
答案
3.B
解析
【分析】
首先明确单循环比赛的场次计算规则：若有$x$支队伍参赛，每支队伍需要和其余$(x-1)$支队伍各赛1场，由于每场比赛会被2支队伍各计算1次，因此总比赛场次为$\frac{x(x-1)}{2}$。我们可以根据总场次为45场的条件列一元二次方程，求解后结合队伍数量为正整数的实际意义筛选正确结果即可。
【解析】
设参加比赛的队伍共有$x$支。
根据单循环比赛总场次的计算规则，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
因为队伍数量不能为负数，故舍去$x_2=-9$，即参赛队伍有10支，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环场次计算
【点评】
本题是方程在实际场景中的典型应用，解题核心是准确推导单循环比赛的总场次公式，求解方程后要注意结合实际情境验证解的合理性，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
首先明确单循环比赛的场次计算规则：若有$x$支队伍参赛，每支队伍需要和其余$(x-1)$支队伍各赛1场，由于每场比赛会被2支队伍各计算1次，因此总比赛场次为$\frac{x(x-1)}{2}$。我们可以根据总场次为45场的条件列一元二次方程，求解后结合队伍数量为正整数的实际意义筛选正确结果即可。
【解析】
设参加比赛的队伍共有$x$支。
根据单循环比赛总场次的计算规则，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
因为队伍数量不能为负数，故舍去$x_2=-9$，即参赛队伍有10支，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环场次计算
【点评】
本题是方程在实际场景中的典型应用，解题核心是准确推导单循环比赛的总场次公式，求解方程后要注意结合实际情境验证解的合理性，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
变式题 单循环→双循环
一次足球比赛采取双循环比赛(每2支队伍之间都进行2场比赛).若要比赛56场，
则共有
一次足球比赛采取双循环比赛(每2支队伍之间都进行2场比赛).若要比赛56场，
则共有
8
支队伍参加比赛.答案
变式题 8
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确双循环比赛的场次计算规则：双循环赛制下，每2支队伍之间要进行2场比赛，若有x支队伍，每支队伍需要和其余(x-1)支队伍各赛2场，总场次无需除以2，因此总场次为x(x-1)。接下来我们可以根据总比赛场数为56场的等量关系列一元二次方程，解方程后结合实际意义舍去不符合的根，就能得到队伍数量。
【解析】
设共有$ x $支队伍参加比赛。
根据双循环比赛总场次的计算规则，可列方程：
$ x(x-1) = 56 $
整理得：
$ x^2 - x - 56 = 0 $
因式分解得：
$ (x-8)(x+7) = 0 $
解得：$ x_1=8 $，$ x_2=-7 $
因为队伍数量不能为负数，所以舍去$ x_2=-7 $，即$ x=8 $。
【答案】
8
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 双循环问题计数
【点评】
本题是一元二次方程在实际比赛场景中的应用，解题关键是理清双循环和单循环场次计算的区别，同时要注意结合实际问题对方程的根进行合理性取舍，是一元二次方程实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确双循环比赛的场次计算规则：双循环赛制下，每2支队伍之间要进行2场比赛，若有x支队伍，每支队伍需要和其余(x-1)支队伍各赛2场，总场次无需除以2，因此总场次为x(x-1)。接下来我们可以根据总比赛场数为56场的等量关系列一元二次方程，解方程后结合实际意义舍去不符合的根，就能得到队伍数量。
【解析】
设共有$ x $支队伍参加比赛。
根据双循环比赛总场次的计算规则，可列方程：
$ x(x-1) = 56 $
整理得：
$ x^2 - x - 56 = 0 $
因式分解得：
$ (x-8)(x+7) = 0 $
解得：$ x_1=8 $，$ x_2=-7 $
因为队伍数量不能为负数，所以舍去$ x_2=-7 $，即$ x=8 $。
【答案】
8
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 双循环问题计数
【点评】
本题是一元二次方程在实际比赛场景中的应用，解题关键是理清双循环和单循环场次计算的区别，同时要注意结合实际问题对方程的根进行合理性取舍，是一元二次方程实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.7
4.决赛开始前，为提升队伍士气，所有队员都相互拥抱了1次.已知所有人共拥抱105次，且所有队员中上场的人数为5，则替补队员的人数为
10
.答案
4.10
解析
【分析】
本题属于单循环类实际应用问题，和握手问题逻辑一致。解题思路如下：1. 先明确两两拥抱1次的计数规则：每个人会和除自己外的所有人拥抱1次，但每一次拥抱会被两个人各统计1次，因此总拥抱次数=总人数×(总人数-1)÷2；2. 我们可以先设总队员人数为未知数，根据总拥抱次数列一元二次方程，求解得到总人数后，减去上场人数即可得到替补人数。
【解析】
设所有队员总共有$x$人。
根据两两拥抱1次共105次，可列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=105$
整理得：$x^2 - x - 210 = 0$
因式分解得：$(x-15)(x+14)=0$
解得：$x_1=15$，$x_2=-14$（人数不能为负数，舍去）
已知上场人数为5，因此替补队员人数为$15-5=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环问题
【点评】
本题核心是掌握单循环问题的数量关系，列方程时要注意避免重复计数，求解方程后要结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
本题属于单循环类实际应用问题，和握手问题逻辑一致。解题思路如下：1. 先明确两两拥抱1次的计数规则：每个人会和除自己外的所有人拥抱1次，但每一次拥抱会被两个人各统计1次，因此总拥抱次数=总人数×(总人数-1)÷2；2. 我们可以先设总队员人数为未知数，根据总拥抱次数列一元二次方程，求解得到总人数后，减去上场人数即可得到替补人数。
【解析】
设所有队员总共有$x$人。
根据两两拥抱1次共105次，可列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=105$
整理得：$x^2 - x - 210 = 0$
因式分解得：$(x-15)(x+14)=0$
解得：$x_1=15$，$x_2=-14$（人数不能为负数，舍去）
已知上场人数为5，因此替补队员人数为$15-5=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环问题
【点评】
本题核心是掌握单循环问题的数量关系，列方程时要注意避免重复计数，求解方程后要结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
5. 为促进米粉经济，某市举办了“中国米粉节”展销会活动. 已知参加这次米粉展销会的每2家公司之间都签订了1份合同，x家公司共签订了y份合同.
(1)写出y与x之间的关系式.
(2)若所有公司共签订了55份合同，则参加此次展销会的公司共有多少家？
(1)写出y与x之间的关系式.
(2)若所有公司共签订了55份合同，则参加此次展销会的公司共有多少家？
答案
5.解:(1)
∵每家公司与其他$(x-1)$家公司都签订1份合同,而甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同,
∴所有公司共签订了$y=\frac{x(x-1)}{2}$份合同,
∴y与x之间的关系式为$y=\frac{1}{2}x(x-1)$.
(2)当$y=55$时,$\frac{1}{2}x(x-1)=55$,解得$x_1=11$,$x_2=-10$(不合题意,舍去),
∴$x=11$.
故参加此次展销会的公司共有11家.
∵每家公司与其他$(x-1)$家公司都签订1份合同,而甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同,
∴所有公司共签订了$y=\frac{x(x-1)}{2}$份合同,
∴y与x之间的关系式为$y=\frac{1}{2}x(x-1)$.
(2)当$y=55$时,$\frac{1}{2}x(x-1)=55$,解得$x_1=11$,$x_2=-10$(不合题意,舍去),
∴$x=11$.
故参加此次展销会的公司共有11家.
解析
【分析】
(1) 本题属于单循环类计数问题，先明确每家公司要和除自身外的其余$(x-1)$家公司签订合同，此时算出的总合同数会将每份合同重复计算1次，因此需要除以2消除重复计数，即可推导得到y与x的关系式。
(2) 第二问已知总合同数$y=55$，将其代入第一问得到的关系式中，可得到关于x的一元二次方程，求解后结合x代表公司数量的实际意义，舍去不符合要求的根，就能得到最终结果。
【解析】
(1) 每家公司与其他$(x-1)$家公司都签订1份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份，存在重复计数，因此总合同数为：
$y=\frac{x(x-1)}{2}$
即y与x之间的关系式为$y=\frac{1}{2}x(x-1)$（x为正整数）。
(2) 当$y=55$时，代入关系式得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=55$
整理得$x^2-x-110=0$
解得$x_1=11$，$x_2=-10$
因为公司数量不能为负数，因此舍去$x_2=-10$，即$x=11$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x(x-1)$
(2) 11家
【知识点】
列函数关系式，一元二次方程应用，单循环问题
【点评】
本题是典型的生活实际应用型题目，解题核心是掌握单循环场景下总计数的计算逻辑，求解一元二次方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 本题属于单循环类计数问题，先明确每家公司要和除自身外的其余$(x-1)$家公司签订合同，此时算出的总合同数会将每份合同重复计算1次，因此需要除以2消除重复计数，即可推导得到y与x的关系式。
(2) 第二问已知总合同数$y=55$，将其代入第一问得到的关系式中，可得到关于x的一元二次方程，求解后结合x代表公司数量的实际意义，舍去不符合要求的根，就能得到最终结果。
【解析】
(1) 每家公司与其他$(x-1)$家公司都签订1份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份，存在重复计数，因此总合同数为：
$y=\frac{x(x-1)}{2}$
即y与x之间的关系式为$y=\frac{1}{2}x(x-1)$（x为正整数）。
(2) 当$y=55$时，代入关系式得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=55$
整理得$x^2-x-110=0$
解得$x_1=11$，$x_2=-10$
因为公司数量不能为负数，因此舍去$x_2=-10$，即$x=11$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x(x-1)$
(2) 11家
【知识点】
列函数关系式，一元二次方程应用，单循环问题
【点评】
本题是典型的生活实际应用型题目，解题核心是掌握单循环场景下总计数的计算逻辑，求解一元二次方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，难度较低。
【难度系数】
0.8
