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2.(2025—2026上饶广信区期中)有一个人患了流感,经过两轮传染后共有225人患了流感,每轮传染中平均一个人传染几个人?设每轮传染中平均一个人传染x个人,则可列方程是
1+x+x(1+x)=225
.答案
2.$1+x+x(1+x)=225$
解析
【分析】
解决本题的核心是理清两轮传染中每轮的传染源数量和患病人数的变化关系，按照传播的先后顺序逐步推导即可找到等量关系：第一步先计算第一轮传染后的总患病人数；第二步以第一轮结束的总患病人数作为第二轮的传染源，计算第二轮新增的患病人数；第三步将初始患病人数、第一轮新增人数、第二轮新增人数相加，令其等于总患病人数225，就能列出对应的方程。
【解析】
设每轮传染中平均一个人传染$x$个人。
1. 初始状态：共有1人患流感；
2. 第一轮传染：1个患者可传染$x$个人，因此第一轮新增患病人数为$x$人，第一轮传染结束后总患病人数为$1+x$人；
3. 第二轮传染：此时$1+x$个患病者都是传染源，每个传染源可传染$x$个人，因此第二轮新增患病人数为$x(1+x)$人；
4. 已知两轮传染后总患病人数为225人，因此可列方程：$1+x+x(1+x)=225$。
【答案】
$1+x+x(1+x)=225$
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题等量关系
【点评】
本题是传播类实际问题的基础考法，解题的关键是明确每一轮的传染源为上一轮结束后的所有患病者，区分清楚新增患病人数和累计总患病人数，找准等量关系即可快速列方程。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是理清两轮传染中每轮的传染源数量和患病人数的变化关系，按照传播的先后顺序逐步推导即可找到等量关系：第一步先计算第一轮传染后的总患病人数；第二步以第一轮结束的总患病人数作为第二轮的传染源，计算第二轮新增的患病人数；第三步将初始患病人数、第一轮新增人数、第二轮新增人数相加，令其等于总患病人数225，就能列出对应的方程。
【解析】
设每轮传染中平均一个人传染$x$个人。
1. 初始状态：共有1人患流感；
2. 第一轮传染：1个患者可传染$x$个人，因此第一轮新增患病人数为$x$人，第一轮传染结束后总患病人数为$1+x$人；
3. 第二轮传染：此时$1+x$个患病者都是传染源，每个传染源可传染$x$个人，因此第二轮新增患病人数为$x(1+x)$人；
4. 已知两轮传染后总患病人数为225人，因此可列方程：$1+x+x(1+x)=225$。
【答案】
$1+x+x(1+x)=225$
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题等量关系
【点评】
本题是传播类实际问题的基础考法，解题的关键是明确每一轮的传染源为上一轮结束后的所有患病者，区分清楚新增患病人数和累计总患病人数，找准等量关系即可快速列方程。
【难度系数】
0.7
3. 某树主干长出x根枝干，每根枝干又长出x根小分支.若主干、枝干和小分支总数共133根，则主干长出枝干的根数x为多少？
答案
3.解:依题意,得 $1+x+x^2=133$.
整理,得 $x^2+x-132=0$,
解得 $x_1=11,x_2=-12$(不合题意,舍去).
整理,得 $x^2+x-132=0$,
解得 $x_1=11,x_2=-12$(不合题意,舍去).
解析
【分析】
解题时首先梳理不同部分的数量：①主干数量固定为1根；②枝干是从主干长出的，共x根；③每根枝干长出x根小分支，因此小分支总数为x·x=x²根。根据“主干、枝干和小分支总数共133根”的等量关系列方程，再求解一元二次方程，最后结合实际意义（枝干数量为正整数）舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：依题意，主干、枝干、小分支的总数满足：
$1 + x + x^2 = 133$
整理得标准一元二次方程：
$x^2 + x - 132 = 0$
因式分解得：$(x + 12)(x - 11) = 0$
解得：$x_1 = 11$，$x_2 = -12$
由于枝干数量不能为负数，因此$x_2=-12$不合题意，舍去。
【答案】
11
【知识点】
一元二次方程应用、解一元二次方程、实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，核心是理清不同层级的数量关系，建立正确的方程模型，同时要注意结合实际问题的取值范围，舍去不符合题意的解，侧重考查基础的建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理不同部分的数量：①主干数量固定为1根；②枝干是从主干长出的，共x根；③每根枝干长出x根小分支，因此小分支总数为x·x=x²根。根据“主干、枝干和小分支总数共133根”的等量关系列方程，再求解一元二次方程，最后结合实际意义（枝干数量为正整数）舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：依题意，主干、枝干、小分支的总数满足：
$1 + x + x^2 = 133$
整理得标准一元二次方程：
$x^2 + x - 132 = 0$
因式分解得：$(x + 12)(x - 11) = 0$
解得：$x_1 = 11$，$x_2 = -12$
由于枝干数量不能为负数，因此$x_2=-12$不合题意，舍去。
【答案】
11
【知识点】
一元二次方程应用、解一元二次方程、实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，核心是理清不同层级的数量关系，建立正确的方程模型，同时要注意结合实际问题的取值范围，舍去不符合题意的解，侧重考查基础的建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.8
4. 情境应用 为宣传“垃圾分类”，某同学写了一份倡议书在某社交平台传播，规则：将倡议书发表在自己的社交平台，再邀请$n$个好友转发倡议书；每个好友转发倡议书之后，又邀请$n$个互不相同的好友转发倡议书，以此类推. 已知经过两轮传播后，共有421人参与了传播活动，求$n$的值.
答案
4.解:由题意得 $n+n^2+1=421$,解得 $n_1=-21$(舍去),$n_2=20$.
故 $n$ 的值是 20.
故 $n$ 的值是 20.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确传播过程的人数构成：①初始有1名发起倡议书的同学；②第一轮传播：发起者邀请n个好友参与，新增n人；③第二轮传播：第一轮参与的n个好友每人再邀请n个互不相同的好友，新增$n× n=n^2$人。两轮后总参与人数是这三部分的和，等于421，据此列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到n的值。
【解析】
解：由传播的人数规律可知，参与传播的总人数包含初始发起人、第一轮新增人数、第二轮新增人数三部分，据此列方程：
$1 + n + n^2 = 421$
整理得：$n^2 + n - 420 = 0$
因式分解得：$(n + 21)(n - 20) = 0$
解得：$n_1 = -21$，$n_2 = 20$
∵n表示邀请的好友人数，应为正整数，
∴$n=-21$不符合题意，舍去。
【答案】
n的值是20
【知识点】
一元二次方程应用；传播问题；一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活实际考查方程的应用，解题核心是厘清传播各阶段的人数，不要遗漏初始的发起人，同时注意方程的解要符合实际场景的要求，对不合理的根要进行舍去。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确传播过程的人数构成：①初始有1名发起倡议书的同学；②第一轮传播：发起者邀请n个好友参与，新增n人；③第二轮传播：第一轮参与的n个好友每人再邀请n个互不相同的好友，新增$n× n=n^2$人。两轮后总参与人数是这三部分的和，等于421，据此列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到n的值。
【解析】
解：由传播的人数规律可知，参与传播的总人数包含初始发起人、第一轮新增人数、第二轮新增人数三部分，据此列方程：
$1 + n + n^2 = 421$
整理得：$n^2 + n - 420 = 0$
因式分解得：$(n + 21)(n - 20) = 0$
解得：$n_1 = -21$，$n_2 = 20$
∵n表示邀请的好友人数，应为正整数，
∴$n=-21$不符合题意，舍去。
【答案】
n的值是20
【知识点】
一元二次方程应用；传播问题；一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活实际考查方程的应用，解题核心是厘清传播各阶段的人数，不要遗漏初始的发起人，同时注意方程的解要符合实际场景的要求，对不合理的根要进行舍去。
【难度系数】
0.7
5.(教材变式)近年来，某县大力发展柑橘产业，某柑橘生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元.设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（
A.$20(1+2x)=80$
B.$20(1+x)^2=100$
C.$20(1+x^2)=80$
D.$20(1+x)^2=80$
D
）A.$20(1+2x)=80$
B.$20(1+x)^2=100$
C.$20(1+x^2)=80$
D.$20(1+x)^2=80$
答案
5.D
解析
【分析】
遇到平均增长率类问题，首先回忆对应的数量关系：若初始量为a，年平均增长率为x，经过1次增长后的量为a(1+x)，经过2次增长后的量为a(1+x)²，以此类推。本题中初始销售额是20万元，经过2年增长后销售额为80万元，将对应数值代入上述关系式即可列出方程，再匹配选项判断即可。
【解析】
已知初始销售额为20万元，年平均增长率为x：
1. 第1年结束后的销售额为：$20(1+x)$万元；
2. 第2年在第1年销售额的基础上继续增长x，因此第2年结束后的销售额为：$20(1+x) × (1+x) = 20(1+x)^2$万元；
3. 已知两年后销售额为80万元，因此可列方程：$20(1+x)^2=80$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题核心是牢记平均增长率的计算公式，明确增长次数，注意区分复利增长（每年计算基数为上一年的量）和单利增长的区别，避免误选将两年增长量直接算作2x的错误选项。
【难度系数】
0.8
遇到平均增长率类问题，首先回忆对应的数量关系：若初始量为a，年平均增长率为x，经过1次增长后的量为a(1+x)，经过2次增长后的量为a(1+x)²，以此类推。本题中初始销售额是20万元，经过2年增长后销售额为80万元，将对应数值代入上述关系式即可列出方程，再匹配选项判断即可。
【解析】
已知初始销售额为20万元，年平均增长率为x：
1. 第1年结束后的销售额为：$20(1+x)$万元；
2. 第2年在第1年销售额的基础上继续增长x，因此第2年结束后的销售额为：$20(1+x) × (1+x) = 20(1+x)^2$万元；
3. 已知两年后销售额为80万元，因此可列方程：$20(1+x)^2=80$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题核心是牢记平均增长率的计算公式，明确增长次数，注意区分复利增长（每年计算基数为上一年的量）和单利增长的区别，避免误选将两年增长量直接算作2x的错误选项。
【难度系数】
0.8
6.在“双减”政策的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少.去年上半年平均每周作业时长为 $ m $ min，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了64%.设每半年平均每周作业时长的下降率为 $ x $，则可列方程为（
A.$ m(1-x)^2 = 64\% m $
B.$ m(1+x)^2 = 64\% m $
C.$ m(1-x)^2 = 36\% m $
D.$ m(1+x)^2 = 36\% m $
C
）A.$ m(1-x)^2 = 64\% m $
B.$ m(1+x)^2 = 64\% m $
C.$ m(1-x)^2 = 36\% m $
D.$ m(1+x)^2 = 36\% m $
答案
6.C
解析
【分析】
这是平均下降率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步先明确变化类型为下降，每次变化后的量是变化前的(1-下降率)；第二步推导两次下降后的现有作业时长的表达式；第三步明确“比去年上半年减少了64%”的含义，即现有作业时长是去年上半年的(1-64%)，据此列等式后匹配选项即可。
【解析】
解：已知去年上半年平均每周作业时长为$m$，每半年的下降率为$x$。
1. 第一次调整（去年下半年后）的作业时长为：$m(1-x)$
2. 第二次调整（今年上半年后）的作业时长为：$m(1-x) × (1-x) = m(1-x)^2$
3. 现在平均每周作业时长比去年上半年减少64%，即现有作业时长为：$m × (1-64\%) = 36\%m$
综上可列方程为：$m(1-x)^2 = 36\%m$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题属于平均变化率的基础应用题，解题核心是准确理解“减少了64%”的含义，即剩余原量的36%，避免误将减少的比例当成剩余比例选错选项。
【难度系数】
0.7
这是平均下降率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步先明确变化类型为下降，每次变化后的量是变化前的(1-下降率)；第二步推导两次下降后的现有作业时长的表达式；第三步明确“比去年上半年减少了64%”的含义，即现有作业时长是去年上半年的(1-64%)，据此列等式后匹配选项即可。
【解析】
解：已知去年上半年平均每周作业时长为$m$，每半年的下降率为$x$。
1. 第一次调整（去年下半年后）的作业时长为：$m(1-x)$
2. 第二次调整（今年上半年后）的作业时长为：$m(1-x) × (1-x) = m(1-x)^2$
3. 现在平均每周作业时长比去年上半年减少64%，即现有作业时长为：$m × (1-64\%) = 36\%m$
综上可列方程为：$m(1-x)^2 = 36\%m$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题属于平均变化率的基础应用题，解题核心是准确理解“减少了64%”的含义，即剩余原量的36%，避免误将减少的比例当成剩余比例选错选项。
【难度系数】
0.7
7. (2025—2026 南昌期中)俗话说：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半。”学习过的东西不及时复习就会被遗忘。假设平均每天遗忘的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，平均每天遗忘的百分比约为
30%
（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.4$）。答案
7.30%
解析
【分析】这是平均变化率中的降低率问题，解题思路如下：首先设平均每天遗忘的百分比为x，把初始记忆的知识总量看作单位“1”；根据平均变化率的规律，经过2天遗忘后留存的知识量为$(1-x)^2$；再结合“两天丢一半”的条件，可知两天后留存的知识量是初始量的$\frac{1}{2}$，据此列方程求解，最后结合题给参考数据计算，舍去不符合实际意义的根即可得到结果。
【解析】设平均每天遗忘的百分比为$x$，将初始记忆的知识总量看作单位“1”。
由“两天不练丢一半”可知，两天后留存的知识量为初始量的$\frac{1}{2}$，根据平均降低率公式列方程：
$(1-x)^2 = \frac{1}{2}$
开平方得：$1-x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
由于留存率$1-x＞0$，因此舍去负根，可得：
$1-x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
将$\sqrt{2}\approx1.4$代入计算：
$1-x \approx \frac{1.4}{2}=0.7$
解得$x\approx1-0.7=0.3=30\%$
【答案】30%
【知识点】平均变化率问题，一元二次方程的应用
【点评】本题结合生活中的遗忘规律考查平均变化率的实际应用，解题核心是准确对应变化前后的数量关系，正确列出一元二次方程，计算时可直接使用题给参考数据简化运算。
【难度系数】0.7
【解析】设平均每天遗忘的百分比为$x$，将初始记忆的知识总量看作单位“1”。
由“两天不练丢一半”可知，两天后留存的知识量为初始量的$\frac{1}{2}$，根据平均降低率公式列方程：
$(1-x)^2 = \frac{1}{2}$
开平方得：$1-x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
由于留存率$1-x＞0$，因此舍去负根，可得：
$1-x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
将$\sqrt{2}\approx1.4$代入计算：
$1-x \approx \frac{1.4}{2}=0.7$
解得$x\approx1-0.7=0.3=30\%$
【答案】30%
【知识点】平均变化率问题，一元二次方程的应用
【点评】本题结合生活中的遗忘规律考查平均变化率的实际应用，解题核心是准确对应变化前后的数量关系，正确列出一元二次方程，计算时可直接使用题给参考数据简化运算。
【难度系数】0.7
8.李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2 400元，4月份的盈利达到3 456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同.
(1)求每月盈利的平均增长率.
(2)按照这个平均增长率，试估计5月份这家商店的盈利将达到多少元.
(1)求每月盈利的平均增长率.
(2)按照这个平均增长率，试估计5月份这家商店的盈利将达到多少元.
答案
8.解:(1)设该商店每月盈利的平均增长率为x,根据题意,得 $2400(1+x)^2=3456$,
解得 $x_1=0.2=20\%,x_2=-2.2$(舍去).
故该商店每月盈利的平均增长率为 20%.
(2)由(1)知,该商店每月盈利的平均增长率为 20%,则 5 月份盈利为 $3456×(1+20\%)=4147.2$(元).
故估计 5 月份这家商店的盈利将达到 4147.2 元.
解得 $x_1=0.2=20\%,x_2=-2.2$(舍去).
故该商店每月盈利的平均增长率为 20%.
(2)由(1)知,该商店每月盈利的平均增长率为 20%,则 5 月份盈利为 $3456×(1+20\%)=4147.2$(元).
故估计 5 月份这家商店的盈利将达到 4147.2 元.
解析
【分析】
本题是平均增长率类应用题，解题思路如下：
(1) 平均增长率问题的核心公式为“现期量=基期量×(1+平均增长率)^增长次数”。首先设每月盈利的平均增长率为x，2月份盈利2400元是基期量，到4月份共增长2次，现期量为3456元，代入公式即可列出一元二次方程，求解后结合增长率为正的实际意义舍去不符合的根，即可得到平均增长率。
(2) 5月份盈利是在4月份盈利基础上增长1次，直接用4月份盈利乘以(1+平均增长率)就能算出结果。
【解析】
(1) 设该商店每月盈利的平均增长率为$ x $，根据题意列方程：
$ 2400(1+x)^2 = 3456 $
两边同时除以2400得：$ (1+x)^2 = 1.44 $
开平方得：$ 1+x = \pm1.2 $
解得$ x_1=0.2=20\% $，$ x_2=-2.2 $
因为增长率不能为负数，故舍去$ x_2=-2.2 $。
(2) 由(1)得平均增长率为20%，则5月份盈利为：
$ 3456×(1+20\%) = 3456×1.2 = 4147.2 $（元）
【答案】
(1) 每月盈利的平均增长率为20%；
(2) 5月份这家商店的盈利将达到4147.2元。
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题是平均增长率的典型应用题，解题核心是找准等量关系列方程，求解时要注意结合实际意义取舍根，第二问可直接利用第一问结论计算，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
本题是平均增长率类应用题，解题思路如下：
(1) 平均增长率问题的核心公式为“现期量=基期量×(1+平均增长率)^增长次数”。首先设每月盈利的平均增长率为x，2月份盈利2400元是基期量，到4月份共增长2次，现期量为3456元，代入公式即可列出一元二次方程，求解后结合增长率为正的实际意义舍去不符合的根，即可得到平均增长率。
(2) 5月份盈利是在4月份盈利基础上增长1次，直接用4月份盈利乘以(1+平均增长率)就能算出结果。
【解析】
(1) 设该商店每月盈利的平均增长率为$ x $，根据题意列方程：
$ 2400(1+x)^2 = 3456 $
两边同时除以2400得：$ (1+x)^2 = 1.44 $
开平方得：$ 1+x = \pm1.2 $
解得$ x_1=0.2=20\% $，$ x_2=-2.2 $
因为增长率不能为负数，故舍去$ x_2=-2.2 $。
(2) 由(1)得平均增长率为20%，则5月份盈利为：
$ 3456×(1+20\%) = 3456×1.2 = 4147.2 $（元）
【答案】
(1) 每月盈利的平均增长率为20%；
(2) 5月份这家商店的盈利将达到4147.2元。
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题是平均增长率的典型应用题，解题核心是找准等量关系列方程，求解时要注意结合实际意义取舍根，第二问可直接利用第一问结论计算，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
