1. 利用轴对称解决最短路径问题
在直线$ l $的同侧有两个点，在直线$ l $上有到这两个点的距离之和最短的点存在，可以利用来确定.
2. 利用平移解决最短路径问题
在画最短路径问题的过程中，若两个点出现在平行直线的异侧时，可用的方法，转化为求直线异侧的两个点到直线上某一点所连线段的和最小的问题.

1. 轴对称
2. 平移

1. 利用轴对称解决最短路径问题
典例1 如图，某大型农场拟在公路$l$旁修建一个农产品储藏加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地$A$，$B$的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益。请你在图中标明加工厂所在的位置$C$，使$A$，$B$两地到储藏加工厂的路程之和最短。（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）

解：
作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点C，点C即为所求的加工厂位置，按要求保留全部作图痕迹。

举一反三 如图,在正方形网格中有 M,N两点,在直线 l 上找一点P使 $PM+PN$ 最短,则点 P 应选在().

A.A点
B.B点
C.C点
D.D点

C

典例2 如图，从A地到B地要经过一条小河，河的两岸$EF// GH$，现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

解：
作法：
① 过点A作AA'垂直于河岸EF，使AA'的长度等于河的宽度（即EF与GH之间的距离）；
② 连接A'B，交河岸GH于点N；
③ 过点N作MN垂直于GH，交河岸EF于点M，则MN即为所求的桥的位置。
证明：
∵ EF//GH，MN⊥GH，
∴ MN⊥EF，MN的长度等于河宽，
∴ AA'//MN，且AA' = MN，
∴ 四边形AMNA'是平行四边形，
∴ AM = A'N，
∴ 从A到B的总路程为 $AM + MN + BN = A'N + BN + MN$。
根据两点之间，线段最短，可得 $A'N + BN ≥ A'B$，当且仅当A'、N、B三点共线时等号成立，
又河的宽度MN为定值，因此上述作法得到的路径总路程最短。

举一反三 如图,直线 $ l_1, l_2 $ 表示一条河的两岸,且 $ l_1 // l_2 $.现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直),使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短,应该选择路线().


A.$ PF \rightarrow FQ $
B.$ PE \rightarrow EQ $
C.$ PE \rightarrow EF \rightarrow FQ $
D.$ PE \rightarrow EF \rightarrow FQ $
典例解析
典例1
解 点C的位置如图.

典例2
解 如图,过点A作AC垂直于河岸,且使AC等于河宽,连接BC,与河岸GH相交于点M,过点M作NM⊥EF于点N,则MN为所建桥的位置.

C