典例3 如图，在$△ ABC$中，AD平分$∠ CAB$，$BD ⊥ AD$，$DE // AC$。求证$AE = BE$。

证明：
∵ AD 平分 ∠CAB，
∴ ∠CAD = ∠EAD。
∵ DE // AC，
∴ ∠CAD = ∠EDA，
∴ ∠EAD = ∠EDA，
∴ AE = DE。
∵ BD ⊥ AD，
∴ ∠ADB = 90°，
∴ ∠EDA + ∠EDB = 90°，∠EAD + ∠EBD = 90°。
又∵ ∠EAD = ∠EDA，
∴ ∠EDB = ∠EBD，
∴ BE = DE。
∴ AE = BE。

典例4 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$D$,$F$分别为$AB$,$AC$的中点,且$DE ⊥ AB$,$FG ⊥ AC$,点$E$,$G$在$BC$上,$BC=18\ \mathrm{cm}$,求线段$EG$的长.

解：
连接AE、AG。
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C = $\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$。
∵ D是AB的中点，DE⊥AB，
∴ DE是AB的垂直平分线，
∴ AE=BE，
∴ ∠BAE=∠B=30°，
∴ ∠AEG=∠B+∠BAE=60°。
同理可得：AG=CG，∠CAG=∠C=30°，∠AGE=∠C+∠CAG=60°。
在△AEG中，∠EAG=180°-60°-60°=60°，
∴ △AEG是等边三角形，
∴ AE=EG=AG。
又∵ AE=BE，AG=CG，
∴ BE=EG=CG。
∵ BC=18 cm，且BC=BE+EG+CG，
∴ 3EG=18 cm，
∴ EG=6 cm。

典例5 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=30°$,$DE$垂直平分$AC$,点$O$在$DE$上,$∠ OAB=∠ OBA$.
(1)求证:$△ OAB$是等边三角形.
(2)若$OD=2$,$OE=4$,求$BE$的长.

典例解析
典例1
答案 A
解析 由题意可知,只有选项A的图形能找到一条直线,使图形沿这条直线对折后两边能完全重合,故选项A最接近轴对称图形,选项B,C,D不是轴对称图形.故选A.
典例2
答案 D
解析 如图,连接$AD$,$DE$,$DF$.

$\because$点$E$和点$F$分别是点$D$关于$AB$和$AC$的对称点,$\therefore ∠ EAB=∠ BAD$,$∠ FAC=∠ CAD$.
$\because ∠ B=62°$,$∠ C=51°$,
$\therefore ∠ BAC=∠ BAD+∠ DAC=180°-62°-51°=67°$,
$\therefore ∠ EAF=∠ EAB+∠ BAD+∠ DAC+∠ CAF=2∠ BAC=134°$.
故选D.
典例3
证明 $\because DE// AC$,
$\therefore ∠ CAD=∠ ADE$.
$\because AD$平分$∠ CAB$,$\therefore ∠ CAD=∠ EAD$,$\therefore ∠ EAD=∠ ADE$,$\therefore AE=ED$.
$\because BD⊥ AD$,$\therefore ∠ ADE+∠ EDB=90°$,$∠ DAB+∠ ABD=90°$.
又$∠ ADE=∠ DAB$,
$\therefore ∠ EDB=∠ ABD$,$\therefore DE=BE$,
$\therefore AE=BE$.
典例4
解 如图,连接$AE$,$AG$.

$\because D$为$AB$中点,$ED⊥ AB$,$\therefore EB=EA$,$\therefore △ ABE$为等腰三角形.同理$△ AGC$为等腰三角形.$\because ∠ BAC=120°$,$AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C=30°$,$\therefore ∠ BAE=30°$,
$\therefore ∠ AEG=60°$.同理$∠ AGE=60°$,
$\therefore △ AEG$为等边三角形,
$\therefore AE=EG=AG$.
$\because AE=BE$,$AG=GC$,$\therefore BE=EG=GC$.
$\because BE+EG+GC=BC=18\ \mathrm{cm}$,
$\therefore EG=6\ \mathrm{cm}$.
典例5
(1)证明 $\because DE$垂直平分$AC$,$\therefore OA=OC$,$∠ OAC=∠ OCA$.$\because ∠ OAB=∠ OBA$,
$\therefore OA=OB$,$\therefore OC=OB$,$\therefore ∠ OBC=∠ OCB$.$\because ∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=30°$,
$\therefore ∠ OAC+∠ OBC=30°$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180°-2×30°)=60°$,$\therefore △ OAB$是等边三角形.
(2)解 过点$O$作$OF⊥ BC$于点$F$(图略),$\because OD=2$,$OE=4$,$\therefore DE=OD+OE=6$.$\because ∠ ACB=30°$,$∠ CDE=90°$,$\therefore CE=2DE=12$,$∠ CED=60°$,$\therefore ∠ EOF=30°$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}OE=2$,$\therefore CF=10$.
$\because OC=OB$,$OF⊥ BC$,$\therefore BC=2CF=20$,$\therefore BE=BC-CE=20-12=8$.

(1) 证明：
∵ DE 垂直平分 AC，
∴ OA = OC，∠OAC = ∠OCA。
∵ ∠OAB = ∠OBA，
∴ OA = OB，
∴ OC = OB，
∴ ∠OBC = ∠OCB。
∵ ∠ACB = ∠OCA + ∠OCB = 30°，
∴ ∠OAC + ∠OBC = 30°，
∴ ∠OAB = ∠OBA = $\frac{1}{2}(180°-2×30°)=60°$，
∴ △OAB 是等边三角形。
(2) 解：
过点 O 作 OF⊥BC 于点 F，
∵ OD = 2，OE = 4，
∴ DE = OD + OE = 6。
∵ ∠ACB = 30°，∠CDE = 90°，
∴ CE = 2DE = 12，∠CED = 60°，
∴ ∠EOF = 30°，
∴ EF = $\frac{1}{2}OE = 2$，
∴ CF = CE - EF = 10。
∵ OC = OB，OF⊥BC，
∴ BC = 2CF = 20，
∴ BE = BC - CE = 20 - 12 = 8。