1.菱形的性质
文字语言：
①菱形的四条边；
②菱形的对角线，并且。
图形及符号语言：
∵如图，四边形ABCD是菱形，
∴

①相等
②互相垂直 互相平分
AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,
AO=CO,BO=DO

【分析】
本题考查菱形的基础性质，解题思路如下：首先回忆菱形的定义与性质：菱形是特殊的平行四边形，既具备平行四边形的通用性质，也有自身独有性质：1.边的性质：平行四边形对边相等，加上菱形邻边相等的特点，可推出四条边都相等；2.对角线的性质：平行四边形对角线互相平分，菱形额外具备对角线互相垂直的性质；最后将文字性质对应转化为图形中的符号语言即可。
【解析】
1. 文字语言部分：
① 菱形是邻边相等的平行四边形，结合平行四边形对边相等的性质，可推出菱形的四条边相等；
② 菱形作为特殊平行四边形，首先继承平行四边形对角线互相平分的性质，同时自身独有对角线互相垂直的性质，因此菱形的对角线互相垂直，并且互相平分。
2. 符号语言部分：
已知四边形ABCD是菱形，结合图形对应性质可得：
边的性质：四条边长度相等，即$AB=BC=CD=AD$；
对角线的性质：对角线互相垂直，即$AC⊥ BD$；
对角线互相平分，即$AO=CO$，$BO=DO$。
【答案】
①相等；②互相垂直，互相平分；$AB=BC=CD=AD$，$AC⊥ BD$，$AO=CO$，$BO=DO$
【知识点】
菱形的边的性质；菱形的对角线的性质；几何符号语言表述
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考察菱形的核心性质，是菱形相关计算、证明类题目的基础，学习时要注意区分菱形与普通平行四边形的性质差异，准确识记并能熟练将文字性质转化为几何符号语言。
【难度系数】
0.9

2.菱形的周长等于，菱形的面积等于或。

边长的4倍 对角线长的乘积的一半
某一边长乘此边上的高

【分析】
解题时先回忆菱形的基础性质：1.边的性质：菱形四条边长度相等；2.菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质；3.菱形特有性质：对角线互相垂直。首先推导周长：周长是图形各边长度之和，结合四条边相等的性质可直接得到周长公式；再推导面积：一方面可以沿用平行四边形通用的底乘高的面积公式，另一方面可利用对角线互相垂直的性质，将菱形拆分为4个全等直角三角形，求和得到对角线相关的面积公式。
【解析】
1. 周长推导：设菱形的边长为$a$，因为菱形的四条边长度相等，因此周长$C = a + a + a + a = 4a$，即菱形的周长等于边长的4倍。
2. 面积推导：
方法1：菱形是特殊的平行四边形，平行四边形的面积公式为“底×对应边上的高”，因此菱形面积等于某一边长乘此边上的高。
方法2：设菱形的两条对角线长度分别为$m$、$n$，由于菱形的对角线互相垂直平分，因此两条对角线将菱形分割为4个全等的直角三角形，每个直角三角形的两条直角边长度为$\frac{m}{2}$、$\frac{n}{2}$。单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2} × \frac{m}{2} × \frac{n}{2} = \frac{mn}{8}$，因此菱形总面积为$4 × \frac{mn}{8} = \frac{1}{2}mn$，即菱形的面积等于对角线长的乘积的一半。
【答案】
边长的4倍；对角线长的乘积的一半；某一边长乘此边上的高
【知识点】
菱形的性质；菱形周长计算；菱形面积计算
【点评】
本题考查菱形的基础公式识记，属于基础类题目，需要牢记菱形通用和特有的面积公式，以及周长的推导逻辑，为后续菱形相关的综合计算打好基础。
【难度系数】
0.9

1.菱形不一定具有的性质是()。

A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线平分一组对角
D.对角线互相垂直

1.B

【分析】
解题时首先要明确菱形是特殊的平行四边形，既具备平行四边形的所有通用性质，也有自身独有的特殊性质。我们只需逐一核对四个选项对应的性质，判断哪项不属于所有菱形都必然具备的性质即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 对角线互相平分是平行四边形的基本性质，菱形属于特殊的平行四边形，因此所有菱形一定具有该性质，不符合题意；
B. 对角线相等是矩形的性质，普通菱形的对角线并不相等，只有当菱形为正方形（特殊菱形）时对角线才相等，因此该性质不是菱形一定具有的，符合题意；
C. 对角线平分一组对角是菱形的特有性质，所有菱形都具备，不符合题意；
D. 对角线互相垂直是菱形的特有性质，所有菱形都具备，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆菱形与矩形的对角线性质，或是误将正方形这类特殊菱形的特有性质当成所有菱形的通用性质，学习中要注意区分不同特殊四边形的性质，厘清共性和特性的差异。
【难度系数】
0.9

2.已知一个菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是$2\sqrt{3}$ cm，则另一条对角线的长是（）。

A.4 cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.2 cm
D.$2\sqrt{3}$ cm

2.C

【分析】首先回忆菱形的核心性质：菱形的对角线互相垂直且平分，因此两条对角线的一半与菱形的边长可构成直角三角形，其中菱形边长为斜边。解题时先求出已知对角线的一半长度，再利用勾股定理求出未知对角线的一半长度，最后乘2得到另一条对角线的全长即可。
【解析】解：设另一条对角线的长为x cm。
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可得：
已知对角线的一半长为$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ cm，
另一条对角线的一半长为$\frac{x}{2}$ cm，
二者与菱形边长2 cm构成直角三角形，边长为斜边，由勾股定理得：
$(\sqrt{3})^2 + (\frac{x}{2})^2 = 2^2$
计算得：$3 + \frac{x^2}{4} = 4$
移项化简：$\frac{x^2}{4}=1$，$x^2=4$
因为对角线长度为正数，所以$x=2$，即另一条对角线长为2 cm。
【答案】C
【知识点】菱形的性质；勾股定理
【点评】本题是基础类题型，重点考查对菱形对角线性质的掌握，结合勾股定理即可求解，熟练掌握特殊四边形的基本性质是解决这类题的关键。
【难度系数】0.8

3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O。已知AB=5 cm,AO=4 cm,则BD的长为。

3.6 cm

【分析】
解题时首先回忆菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，因此对角线AC、BD相交形成的△AOB是直角三角形。已知直角三角形的斜边AB和直角边AO，可先通过勾股定理求出OB的长度，再根据BD=2OB即可求出BD的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O
∴AC⊥BD，OB=OD（菱形的对角线互相垂直平分），即△AOB为直角三角形
在Rt△AOB中，AB=5cm，AO=4cm，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$
又
∵BD=2OB
∴BD=2×3=6cm
【答案】
6 cm
【知识点】
菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，把待求线段问题转化到直角三角形中，结合勾股定理求解，熟练掌握特殊几何图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

4.已知一个菱形的周长为16，高为2，则该菱形的面积为。

4.8

【分析】
解题思路：首先回忆菱形的基本性质，菱形的四条边长度相等，所以可以先通过周长求出菱形的边长；其次菱形是特殊的平行四边形，平行四边形的面积公式“底×高”对菱形同样适用，求出边长后将其作为底，乘已知的高即可得到菱形面积。
【解析】
解：
∵ 菱形的四条边长度相等，周长为16
∴ 菱形的边长 = 16÷4 = 4
又
∵ 菱形属于特殊的平行四边形，面积 = 底×高，此处底为菱形边长，高为2
∴ 菱形的面积 = 4×2 = 8
【答案】
8
【知识点】
菱形的基本性质；平行四边形面积计算
【点评】
本题是基础类题型，重点考察对菱形性质的掌握和面积公式的运用，牢记菱形四边相等的特点，以及菱形可沿用平行四边形面积计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9

5.已知一个菱形的面积为$80\ \mathrm{cm}^2$，高为$8\ \mathrm{cm}$，
则该菱形的周长为________。

5.40 cm

【分析】
首先我们知道菱形是特殊的平行四边形，平行四边形的面积公式为底×高，该公式对菱形同样适用。题目已知菱形的面积和高，我们可以先通过面积公式求出菱形的边长（即底的长度）；再结合菱形四条边长度相等的性质，用边长乘4即可得到菱形的周长。
【解析】
∵ 菱形是特殊的平行四边形，其面积可按平行四边形面积公式计算：$\mathrm{面积}=\mathrm{底}×\mathrm{高}$
设菱形的边长为$a$，已知面积为$80\ \mathrm{cm}^2$，高为$8\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$a = \mathrm{面积}÷\mathrm{高} = 80÷8 = 10\ \mathrm{cm}$
又
∵ 菱形的四条边长度相等
∴ 菱形的周长$= 4× a = 4×10 = 40\ \mathrm{cm}$
【答案】
40 cm
【知识点】
菱形的性质；平行四边形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考察菱形相关性质和面积公式的应用，解题关键是明确菱形作为特殊平行四边形可直接用底乘高计算面积，牢记菱形四边相等的特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6.如图,在菱形ABCD中,过点B分别作BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F。求证:AE=CF。

证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC,∠A=∠C。
∵BE⊥AD,BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°。
在△ABE和△CBF中，
∵∠BEA=∠BFC=90°,∠A=∠C，
BA=BC，
∴△ABE≌△CBF(AAS)。
∴AE=CF。

【分析】
要证明AE=CF，可通过证明两条线段所在的△ABE与△CBF全等来推导。首先结合菱形的性质获取全等所需的边、角条件：菱形的邻边相等可得BA=BC，菱形的对角相等可得∠A=∠C；再根据垂直的定义得到∠BEA=∠BFC=90°，满足AAS全等判定的条件，证得三角形全等后即可得到对应边相等的结论。
【解析】
证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC,∠A=∠C。
∵BE⊥AD,BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°。
在△ABE和△CBF中，
∵∠BEA=∠BFC=90°,∠A=∠C，
BA=BC，
∴△ABE≌△CBF(AAS)。
∴AE=CF。
【答案】
AE=CF，证明过程如上。
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察利用菱形性质构造全等三角形证明线段相等的思路，是对几何中“证线段相等优先考虑对应三角形全等”这一常规方法的典型应用，有助于巩固菱形基础性质和全等证明的逻辑。
【难度系数】
0.8

7.如图，四边形ABCD是菱形，E是边CD的中点，射线AE交BC的延长线于点F。求证：CF=AB。

证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD,AD//BC。
∴∠D=∠ECF。
∵E是边CD的中点，
∴DE=CE。
在△ADE和△FCE中，
∵∠D=∠ECF,DE=CE,∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)。
∴AD=CF。
∴CF=AB。

【分析】
要证明CF=AB，结合菱形的性质可知AB=AD，因此只需证明AD=CF即可。观察图形可得AD和CF分别在△ADE和△FCE中：首先E是CD中点，可得DE=CE；再由菱形对边平行的性质得AD//BC，即可推出内错角∠D=∠ECF；加上对顶角∠AED=∠FEC，可利用ASA证明两个三角形全等，得到AD=CF，最后通过等量代换就能证得CF=AB。
【解析】
证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD,AD//BC。
∴∠D=∠ECF。
∵E是边CD的中点，
∴DE=CE。
在△ADE和△FCE中，
∵∠D=∠ECF,DE=CE,∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)。
∴AD=CF。
∴CF=AB。
【答案】
证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD,AD//BC。
∴∠D=∠ECF。
∵E是边CD的中点，
∴DE=CE。
在△ADE和△FCE中，
∵∠D=∠ECF,DE=CE,∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)。
∴AD=CF。
∴CF=AB。
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查学生对菱形性质、全等三角形判定的应用能力，解题关键是将待证的线段相等关系转化为证明三角形全等，能有效锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8