登录
识别出错
答案
6.$150°$
7. 如图,在菱形$ABCD$中,$AB=BC$,$E$,$F$分别是边$AD$,$CD$上的点,连接$BE$,$BF$,$EF$,且$∠ ABE=∠ CBF$。求证:$∠ BEF=∠ BFE$。
答案
7.证明:$\because$ 四边形ABCD是菱形，
$\therefore∠ A=∠ C$。
在$△ ABE$和$△ CBF$中，
$\because∠ A=∠ C,AB=CB,∠ ABE=∠ CBF$，
$\therefore△ ABE≌△ CBF(\mathrm{ASA})$。
$\therefore BE=BF$。
$\therefore∠ BEF=∠ BFE$。
$\therefore∠ A=∠ C$。
在$△ ABE$和$△ CBF$中，
$\because∠ A=∠ C,AB=CB,∠ ABE=∠ CBF$，
$\therefore△ ABE≌△ CBF(\mathrm{ASA})$。
$\therefore BE=BF$。
$\therefore∠ BEF=∠ BFE$。
解析
【分析】
要证明∠BEF=∠BFE，首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可将问题转化为证明BE=BF。观察图形发现BE、BF分别属于△ABE和△CBF，已知条件给出∠ABE=∠CBF、AB=BC，再结合菱形对角相等的性质可得∠A=∠C，即可通过ASA判定△ABE≌△CBF，利用全等三角形对应边相等得到BE=BF，最终推出待证结论。
【解析】
证明：$\because$ 四边形ABCD是菱形，
$\therefore∠ A=∠ C$。
在$△ ABE$和$△ CBF$中，
$\because∠ A=∠ C,AB=CB,∠ ABE=∠ CBF$，
$\therefore△ ABE≌△ CBF(\mathrm{ASA})$。
$\therefore BE=BF$。
根据等边对等角，可得$\therefore∠ BEF=∠ BFE$。
【答案】
证明:$\because$ 四边形ABCD是菱形，
$\therefore∠ A=∠ C$。
在$△ ABE$和$△ CBF$中，
$\because∠ A=∠ C,AB=CB,∠ ABE=∠ CBF$，
$\therefore△ ABE≌△ CBF(\mathrm{ASA})$。
$\therefore BE=BF$。
$\therefore∠ BEF=∠ BFE$。
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是将待证角相等的问题转化为证明线段相等，再通过全等三角形完成推导，需要学生熟练掌握特殊四边形性质、全等判定和等腰三角形性质的关联应用。
【难度系数】
0.8
要证明∠BEF=∠BFE，首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可将问题转化为证明BE=BF。观察图形发现BE、BF分别属于△ABE和△CBF，已知条件给出∠ABE=∠CBF、AB=BC，再结合菱形对角相等的性质可得∠A=∠C，即可通过ASA判定△ABE≌△CBF，利用全等三角形对应边相等得到BE=BF，最终推出待证结论。
【解析】
证明：$\because$ 四边形ABCD是菱形，
$\therefore∠ A=∠ C$。
在$△ ABE$和$△ CBF$中，
$\because∠ A=∠ C,AB=CB,∠ ABE=∠ CBF$，
$\therefore△ ABE≌△ CBF(\mathrm{ASA})$。
$\therefore BE=BF$。
根据等边对等角，可得$\therefore∠ BEF=∠ BFE$。
【答案】
证明:$\because$ 四边形ABCD是菱形，
$\therefore∠ A=∠ C$。
在$△ ABE$和$△ CBF$中，
$\because∠ A=∠ C,AB=CB,∠ ABE=∠ CBF$，
$\therefore△ ABE≌△ CBF(\mathrm{ASA})$。
$\therefore BE=BF$。
$\therefore∠ BEF=∠ BFE$。
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是将待证角相等的问题转化为证明线段相等，再通过全等三角形完成推导，需要学生熟练掌握特殊四边形性质、全等判定和等腰三角形性质的关联应用。
【难度系数】
0.8
8.如图,在矩形$ABCD$中,$∠A=∠C=90°$,$△ BCD$与$△ BC'D$关于直线$BD$对称,$BC=6$,$CD=3$,$BC'$交$AD$于点$E$,则线段$DE$的长为(
A.$3$
B.$\frac{15}{4}$
C.$5$
D.$\frac{15}{2}$
B
)。A.$3$
B.$\frac{15}{4}$
C.$5$
D.$\frac{15}{2}$
答案
8.B
解析
【分析】
本题是矩形背景下的折叠求线段长问题，解题思路如下：①先利用矩形对边平行的性质，得到内错角相等；②结合折叠前后对应角相等的性质，推导得出△BED是等腰三角形，得到BE=DE的等量关系；③设DE的长为未知数，将Rt△ABE的各边用含未知数的式子表示，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，AD=BC=6，AB=CD=3，∠A=90°，
∴ ∠EDB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∵ △BCD与△BC'D关于直线BD对称，
∴ ∠EBD=∠DBC，
∴ ∠EDB=∠EBD，
∴ EB=ED（等角对等边）。
设DE=x，则EB=x，AE=AD - DE=6 - x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
代入得：$3^2 + (6-x)^2 = x^2$，
展开计算：$9 + 36 - 12x + x^2 = x^2$，
化简得：$12x=45$，
解得：$x=\frac{15}{4}$，即DE的长为$\frac{15}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何计算的常见题型，将矩形性质、折叠性质与勾股定理结合考查，解题的关键是推导出等腰三角形得到边的等量关系，再运用方程思想求解，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题是矩形背景下的折叠求线段长问题，解题思路如下：①先利用矩形对边平行的性质，得到内错角相等；②结合折叠前后对应角相等的性质，推导得出△BED是等腰三角形，得到BE=DE的等量关系；③设DE的长为未知数，将Rt△ABE的各边用含未知数的式子表示，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，AD=BC=6，AB=CD=3，∠A=90°，
∴ ∠EDB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∵ △BCD与△BC'D关于直线BD对称，
∴ ∠EBD=∠DBC，
∴ ∠EDB=∠EBD，
∴ EB=ED（等角对等边）。
设DE=x，则EB=x，AE=AD - DE=6 - x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
代入得：$3^2 + (6-x)^2 = x^2$，
展开计算：$9 + 36 - 12x + x^2 = x^2$，
化简得：$12x=45$，
解得：$x=\frac{15}{4}$，即DE的长为$\frac{15}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何计算的常见题型，将矩形性质、折叠性质与勾股定理结合考查，解题的关键是推导出等腰三角形得到边的等量关系，再运用方程思想求解，难度适中。
【难度系数】
0.7
9.在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”。如图,矩形ABCD位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是(
A.点 A
B.点 B
C.点 C
D.点 D
B
)。A.点 A
B.点 B
C.点 C
D.点 D
答案
9.B
解析
【分析】
首先明确题目的新定义：点的“特征值”为该点纵坐标与横坐标的比值，即$\frac{y}{x}$。结合矩形四条边与坐标轴平行的性质，可知矩形同一水平边上的点纵坐标相等，同一竖直边上的点横坐标相等。我们可以通过设出各点坐标，分别计算四个顶点的特征值，再比较大小即可得到答案。
【解析】
设点$A$的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$，因矩形在第一象限），设$AB$的长度为$m$，$AD$的长度为$n$（$m＞0,n＞0$），根据矩形边与坐标轴平行的性质，可得四个顶点坐标：
$A(a,b)$，$B(a+m,b)$，$C(a+m,b+n)$，$D(a,b+n)$。
根据“特征值”定义，分别计算四个点的特征值：
点$A$的特征值：$\frac{b}{a}$；
点$B$的特征值：$\frac{b}{a+m}$，分子与$A$相同，分母$a+m＞a$，故$\frac{b}{a+m}＜\frac{b}{a}$；
点$C$的特征值：$\frac{b+n}{a+m}$，分母与$B$相同，分子$b+n＞b$，故$\frac{b+n}{a+m}＞\frac{b}{a+m}$；
点$D$的特征值：$\frac{b+n}{a}$，分母与$A$相同，分子$b+n＞b$，故$\frac{b+n}{a}＞\frac{b}{a}$。
综上对比可得，点$B$的特征值最小。
【答案】
B
【知识点】
新定义理解、矩形的性质、分式大小比较
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题的关键是正确理解“特征值”的定义，结合矩形在坐标系中的坐标特征设出各点坐标，再通过分式大小比较的规则判断结果，考查了对新定义的理解能力和基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确题目的新定义：点的“特征值”为该点纵坐标与横坐标的比值，即$\frac{y}{x}$。结合矩形四条边与坐标轴平行的性质，可知矩形同一水平边上的点纵坐标相等，同一竖直边上的点横坐标相等。我们可以通过设出各点坐标，分别计算四个顶点的特征值，再比较大小即可得到答案。
【解析】
设点$A$的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$，因矩形在第一象限），设$AB$的长度为$m$，$AD$的长度为$n$（$m＞0,n＞0$），根据矩形边与坐标轴平行的性质，可得四个顶点坐标：
$A(a,b)$，$B(a+m,b)$，$C(a+m,b+n)$，$D(a,b+n)$。
根据“特征值”定义，分别计算四个点的特征值：
点$A$的特征值：$\frac{b}{a}$；
点$B$的特征值：$\frac{b}{a+m}$，分子与$A$相同，分母$a+m＞a$，故$\frac{b}{a+m}＜\frac{b}{a}$；
点$C$的特征值：$\frac{b+n}{a+m}$，分母与$B$相同，分子$b+n＞b$，故$\frac{b+n}{a+m}＞\frac{b}{a+m}$；
点$D$的特征值：$\frac{b+n}{a}$，分母与$A$相同，分子$b+n＞b$，故$\frac{b+n}{a}＞\frac{b}{a}$。
综上对比可得，点$B$的特征值最小。
【答案】
B
【知识点】
新定义理解、矩形的性质、分式大小比较
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题的关键是正确理解“特征值”的定义，结合矩形在坐标系中的坐标特征设出各点坐标，再通过分式大小比较的规则判断结果，考查了对新定义的理解能力和基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
10.“美丽乡村”建设使某市农村住宅旧貌变新颜，如图所示的是一农村住宅侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且$AB=AC$，侧面四边形BDEC为矩形。若测得$∠FBD=55°$，则$∠A=$
110
°。答案
10.110
解析
【分析】
解题时先从已知的矩形性质入手，矩形的内角为直角，可得∠DBC=90°，结合平角为180°和已知的∠FBD=55°，先求出等腰△ABC的底角∠ABC的度数；再根据AB=AC得到△ABC两底角相等，最后利用三角形内角和为180°即可求出顶角∠A的度数。
【解析】
1.
∵四边形BDEC是矩形，根据矩形的性质，四个内角均为直角，
∴∠DBC=90°；
2.
∵F、B、A三点共线，构成平角，
∴∠ABC=180°-∠FBD-∠DBC=180°-55°-90°=35°；
3.
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，两底角相等，即∠ACB=∠ABC=35°；
4. 根据三角形内角和定理，∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-35°-35°=110°。
【答案】
110
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活场景考查几何基础性质的应用，解题关键是通过矩形的直角推导等腰三角形的底角度数，对基础性质的掌握要求较高，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的矩形性质入手，矩形的内角为直角，可得∠DBC=90°，结合平角为180°和已知的∠FBD=55°，先求出等腰△ABC的底角∠ABC的度数；再根据AB=AC得到△ABC两底角相等，最后利用三角形内角和为180°即可求出顶角∠A的度数。
【解析】
1.
∵四边形BDEC是矩形，根据矩形的性质，四个内角均为直角，
∴∠DBC=90°；
2.
∵F、B、A三点共线，构成平角，
∴∠ABC=180°-∠FBD-∠DBC=180°-55°-90°=35°；
3.
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，两底角相等，即∠ACB=∠ABC=35°；
4. 根据三角形内角和定理，∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-35°-35°=110°。
【答案】
110
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活场景考查几何基础性质的应用，解题关键是通过矩形的直角推导等腰三角形的底角度数，对基础性质的掌握要求较高，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
11.如图,在矩形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AB=4,AD=6。在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为F,则BF的长为
$2\sqrt{5}$
。答案
11.$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
首先利用矩形的性质得到BC的长度，结合BE=BC得出BE的长；再根据AD//BC得到内错角相等，结合已知的直角条件和BE=BC，可证明△ABE与△FCB全等，进而推出BF=AE；最后在Rt△ABE中用勾股定理计算AE的长度，即可得到BF的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，AD//BC，∠A=90°，
∵BE=BC，
∴BE=6，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°=∠A，
在△ABE和△FCB中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠BFC \\∠AEB=∠FBC \\BE=CB\end{array} $
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴BF=AE，
在Rt△ABE中，AB=4，BE=6，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{BE^2 - AB^2}=\sqrt{6^2 - 4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴BF=2√5。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过全等三角形将未知线段转化为直角三角形中可求解的线段，掌握全等三角形的判定方法和矩形的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.6
首先利用矩形的性质得到BC的长度，结合BE=BC得出BE的长；再根据AD//BC得到内错角相等，结合已知的直角条件和BE=BC，可证明△ABE与△FCB全等，进而推出BF=AE；最后在Rt△ABE中用勾股定理计算AE的长度，即可得到BF的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，AD//BC，∠A=90°，
∵BE=BC，
∴BE=6，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°=∠A，
在△ABE和△FCB中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠BFC \\∠AEB=∠FBC \\BE=CB\end{array} $
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴BF=AE，
在Rt△ABE中，AB=4，BE=6，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{BE^2 - AB^2}=\sqrt{6^2 - 4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴BF=2√5。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过全等三角形将未知线段转化为直角三角形中可求解的线段，掌握全等三角形的判定方法和矩形的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.6
12.如图,在边长为2的正方形ABCD中,∠B=90°,E,F分别是边BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为
$\sqrt{2}$
。答案
12.$\sqrt{2}$ 解析:如图,连接AE。
$\because M,N$分别是$EF,AF$的中点，
$\therefore MN$是$△ AEF$的中位线。
$\therefore MN=\frac{1}{2}AE$。
$\because$ 四边形ABCD是正方形,$∠ B=90°$，
$\therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4+BE^2}$。
$\therefore$ 当$BE$最大时,$AE$最大,此时$MN$最大。
$\because E$是线段$BC$上的动点，
$\therefore$ 当点$E$与点$C$重合时,$BE$最大,此时$AE=\sqrt{4+2^2}=2\sqrt{2},MN=\frac{1}{2}AE=\sqrt{2}$，
$\therefore MN$的最大值为$\sqrt{2}$。
解析
【分析】
看到题目中存在两个中点M、N，首先联想到三角形中位线定理，因此连接AE构造△AEF，可得MN是△AEF的中位线，即$MN=\frac{1}{2}AE$，由此将求MN的最大值转化为求AE的最大值。AE是点A到BC边上动点E的线段，结合正方形中∠B=90°，由勾股定理可知BE越大，AE越长，因此只需找到BE的最大值即可求出AE的最大值，进而得到MN的最大值。
【解析】
如图，连接AE。
∵M，N分别是EF，AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}AE$。
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∠B=90°，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4+BE^2}$，
要使MN最大，需AE最大，即BE最大。
∵E是BC边上的动点，
∴当点E与点C重合时，BE取得最大值2，此时$AE=\sqrt{4+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴$MN=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题解题核心是利用中位线性质将未知线段的最值转化为已知线段的最值，体现了转化的数学思想，需要熟练掌握特殊四边形的性质和中位线定理。
【难度系数】
0.7
看到题目中存在两个中点M、N，首先联想到三角形中位线定理，因此连接AE构造△AEF，可得MN是△AEF的中位线，即$MN=\frac{1}{2}AE$，由此将求MN的最大值转化为求AE的最大值。AE是点A到BC边上动点E的线段，结合正方形中∠B=90°，由勾股定理可知BE越大，AE越长，因此只需找到BE的最大值即可求出AE的最大值，进而得到MN的最大值。
【解析】
如图，连接AE。
∵M，N分别是EF，AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}AE$。
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∠B=90°，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4+BE^2}$，
要使MN最大，需AE最大，即BE最大。
∵E是BC边上的动点，
∴当点E与点C重合时，BE取得最大值2，此时$AE=\sqrt{4+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴$MN=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题解题核心是利用中位线性质将未知线段的最值转化为已知线段的最值，体现了转化的数学思想，需要熟练掌握特殊四边形的性质和中位线定理。
【难度系数】
0.7
