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8. 如图,已知菱形$ABCD$的边$AB$长5 cm,一条对角线$AC$长6 cm,求这个菱形的周长和面积。
答案
解:设BD与AC交于点O。
∵四边形ABCD是菱形,AC=6 cm，
∴AO=3 cm,AC⊥BD。
∴∠AOB=90°。
∵AB=5 cm，
∴$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$(cm)。
∴BD=8 cm。
∴这个菱形的周长为5×4=20(cm),面积为$\frac{6×8}{2}=24(\mathrm{cm}^2)$。
∵四边形ABCD是菱形,AC=6 cm，
∴AO=3 cm,AC⊥BD。
∴∠AOB=90°。
∵AB=5 cm，
∴$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$(cm)。
∴BD=8 cm。
∴这个菱形的周长为5×4=20(cm),面积为$\frac{6×8}{2}=24(\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆菱形的核心性质，一是菱形四条边长度相等，因此周长可直接用边长乘4计算；二是菱形的对角线互相垂直且平分，已知对角线AC的长度可先得到一半AO的长度，且AC与BD垂直，构造出直角三角形AOB，再结合已知的AB边长，用勾股定理求出BO的长度，进而得到另一条对角线BD的长度，最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积即可。
【解析】
设BD与AC交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，AC=6 cm，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=3 cm，且AC⊥BD。
∴∠AOB=90°，△AOB为直角三角形。
∵AB=5 cm，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$(cm)。
∴BD=2BO=8 cm。
∴这个菱形的周长为$4×5=20$(cm)，面积为$\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{6×8}{2}=24(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
菱形的周长为$\boxed{20\ \mathrm{cm}}$，面积为$\boxed{24\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、菱形面积计算
【点评】
本题属于菱形性质的基础应用类题目，解题的关键是熟练运用菱形对角线互相垂直平分的性质构造直角三角形，结合勾股定理求出未知对角线长度，再代入对应公式求解，掌握菱形的基础性质即可轻松解答这类问题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆菱形的核心性质，一是菱形四条边长度相等，因此周长可直接用边长乘4计算；二是菱形的对角线互相垂直且平分，已知对角线AC的长度可先得到一半AO的长度，且AC与BD垂直，构造出直角三角形AOB，再结合已知的AB边长，用勾股定理求出BO的长度，进而得到另一条对角线BD的长度，最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积即可。
【解析】
设BD与AC交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，AC=6 cm，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=3 cm，且AC⊥BD。
∴∠AOB=90°，△AOB为直角三角形。
∵AB=5 cm，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$(cm)。
∴BD=2BO=8 cm。
∴这个菱形的周长为$4×5=20$(cm)，面积为$\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{6×8}{2}=24(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
菱形的周长为$\boxed{20\ \mathrm{cm}}$，面积为$\boxed{24\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、菱形面积计算
【点评】
本题属于菱形性质的基础应用类题目，解题的关键是熟练运用菱形对角线互相垂直平分的性质构造直角三角形，结合勾股定理求出未知对角线长度，再代入对应公式求解，掌握菱形的基础性质即可轻松解答这类问题。
【难度系数】
0.8
9.将两个完全相同的菱形按如图所示的方式放置，若∠BAD=α，∠CBE=β，则β=（
A.$45°+\frac{1}{2}α$
B.$45°+\frac{3}{2}α$
C.$90°-\frac{1}{2}α$
D.$90°-\frac{3}{2}α$
D
）。A.$45°+\frac{1}{2}α$
B.$45°+\frac{3}{2}α$
C.$90°-\frac{1}{2}α$
D.$90°-\frac{3}{2}α$
答案
9.D
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的相关性质：菱形对边平行、邻角互补、对角相等、四条边相等，且两个完全相同的菱形对应边、对应内角均相等。首先从已知的∠BAD=α出发，先求出第一个菱形中与α相邻的内角的度数，再结合两个菱形内角的相等关系，找到β和相关角的数量关系，最终推导得到β与α的表达式。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=α，
∴AB=AD=BC，AB//CD，∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°-α，
∵BD为菱形ABCD的对角线，对角线平分一组内角，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°-α)=90°-$\frac{1}{2}$α，
又
∵两个菱形完全相同，其对应内角相等，
∴∠DBE=α，
∵∠DBC=∠DBE+β，
∴β=∠DBC - ∠DBE=90°-$\frac{1}{2}$α -α=90°-$\frac{3}{2}$α。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，角的和差计算，平行线的性质
【点评】
本题重点考查菱形性质的综合应用，需要熟练掌握菱形的边角关系，结合角的和差关系推导未知角和已知角的联系，解题的关键是准确识别两个菱形的对应内角相等的关系，理清图中角的组成。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆菱形的相关性质：菱形对边平行、邻角互补、对角相等、四条边相等，且两个完全相同的菱形对应边、对应内角均相等。首先从已知的∠BAD=α出发，先求出第一个菱形中与α相邻的内角的度数，再结合两个菱形内角的相等关系，找到β和相关角的数量关系，最终推导得到β与α的表达式。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=α，
∴AB=AD=BC，AB//CD，∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°-α，
∵BD为菱形ABCD的对角线，对角线平分一组内角，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°-α)=90°-$\frac{1}{2}$α，
又
∵两个菱形完全相同，其对应内角相等，
∴∠DBE=α，
∵∠DBC=∠DBE+β，
∴β=∠DBC - ∠DBE=90°-$\frac{1}{2}$α -α=90°-$\frac{3}{2}$α。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，角的和差计算，平行线的性质
【点评】
本题重点考查菱形性质的综合应用，需要熟练掌握菱形的边角关系，结合角的和差关系推导未知角和已知角的联系，解题的关键是准确识别两个菱形的对应内角相等的关系，理清图中角的组成。
【难度系数】
0.6
10.如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3,4)，则顶点A的坐标为(
A.$(-4,2)$
B.$(-\sqrt{3},4)$
C.$(-2,4)$
D.$(-4,\sqrt{3})$
C
)。A.$(-4,2)$
B.$(-\sqrt{3},4)$
C.$(-2,4)$
D.$(-4,\sqrt{3})$
答案
10.C
解析
【分析】
解题时首先结合菱形的性质思考：菱形的对边平行且相等，四条边长度相等。首先观察图形，OB在x轴上，菱形中AC和OB是对边，因此AC平行于x轴，可推出点A和点C的纵坐标相同。接下来先通过勾股定理求出OC的长度，也就是菱形的边长，再结合AC的长度等于边长，即可求出点A的横坐标，最终得到A的坐标。
【解析】
1. 计算菱形边长OC：已知点C坐标为(3,4)，根据勾股定理可得$OC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
2. 因为四边形ABOC是菱形，因此$AC=OC=5$，且$AC// OB$。
3. 由于OB在x轴上，AC与OB平行，因此AC为水平线段，点A的纵坐标与点C的纵坐标相等，即$y_A=4$。
4. 点A在点C左侧，AC长度为5，点C横坐标为3，因此点A的横坐标为$3-5=-2$。
综上，点A的坐标为$(-2,4)$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是菱形性质和平面直角坐标系结合的基础题，解题的核心是利用菱形对边平行的性质确定A点纵坐标，再结合边长计算横坐标，解题思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合菱形的性质思考：菱形的对边平行且相等，四条边长度相等。首先观察图形，OB在x轴上，菱形中AC和OB是对边，因此AC平行于x轴，可推出点A和点C的纵坐标相同。接下来先通过勾股定理求出OC的长度，也就是菱形的边长，再结合AC的长度等于边长，即可求出点A的横坐标，最终得到A的坐标。
【解析】
1. 计算菱形边长OC：已知点C坐标为(3,4)，根据勾股定理可得$OC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
2. 因为四边形ABOC是菱形，因此$AC=OC=5$，且$AC// OB$。
3. 由于OB在x轴上，AC与OB平行，因此AC为水平线段，点A的纵坐标与点C的纵坐标相等，即$y_A=4$。
4. 点A在点C左侧，AC长度为5，点C横坐标为3，因此点A的横坐标为$3-5=-2$。
综上，点A的坐标为$(-2,4)$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是菱形性质和平面直角坐标系结合的基础题，解题的核心是利用菱形对边平行的性质确定A点纵坐标，再结合边长计算横坐标，解题思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
11.如图,在菱形ABCD中,$AB=5$,$BD=8$,过点D作$DE⊥BA$,交BA的延长线于点E,则线段DE的长是(
A.2
B.$\frac{12}{5}$
C.3
D.$\frac{24}{5}$
D
)。A.2
B.$\frac{12}{5}$
C.3
D.$\frac{24}{5}$
答案
11.D
解析
【分析】
解题时可先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形另一条对角线的长度，再根据菱形面积的两种计算方法：①对角线乘积的一半；②底乘对应高，建立等量关系，即可求出DE的长度。
【解析】
连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$OB = \frac{1}{2} BD = 4$，$AB = 5$，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$，
∴$AC = 2AO = 6$，
菱形ABCD的面积：
$S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2}×AC×BD = \frac{1}{2}×6×8 = 24$，
又
∵DE⊥BA，
∴$S_{菱形ABCD} = AB×DE$，即$5DE = 24$，
解得$DE = \frac{24}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质应用的典型题，解题的核心是熟练掌握菱形面积的两种计算方式，通过面积相等建立等式求解线段长度，解题思路清晰，属于基础类的几何计算题。
【难度系数】
0.7
解题时可先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形另一条对角线的长度，再根据菱形面积的两种计算方法：①对角线乘积的一半；②底乘对应高，建立等量关系，即可求出DE的长度。
【解析】
连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$OB = \frac{1}{2} BD = 4$，$AB = 5$，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$，
∴$AC = 2AO = 6$，
菱形ABCD的面积：
$S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2}×AC×BD = \frac{1}{2}×6×8 = 24$，
又
∵DE⊥BA，
∴$S_{菱形ABCD} = AB×DE$，即$5DE = 24$，
解得$DE = \frac{24}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质应用的典型题，解题的核心是熟练掌握菱形面积的两种计算方式，通过面积相等建立等式求解线段长度，解题思路清晰，属于基础类的几何计算题。
【难度系数】
0.7
12.如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,M,N分别是BC,CD上的动点,P是线段BD上的一个动点,则PM+PN的最小值是
$\frac{24}{5}$
。答案
12.$\frac{24}{5}$
解析
【分析】
本题属于最短路径问题，结合菱形的轴对称性求解：首先回忆将军饮马模型的解题思路，利用菱形关于对角线BD对称的性质，将线段PM转化为其对称线段，把PM+PN的和转化为共线时的线段长度；再结合M、N是动点的特点，可知最小值为菱形一组对边之间的距离（即菱形的高），最后通过菱形面积的两种计算方法求出高即可。
【解析】
设对角线AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，$OA=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=4$，
由勾股定理得菱形边长$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵BD是菱形的对称轴，作点M关于BD的对称点M'，则M'在边AB上，根据轴对称性质得$PM=PM'$，
∴$PM+PN=PM'+PN$，当M'、P、N三点共线且$M'N⊥ CD$时，$PM+PN$取得最小值，此时M'N的长度为AB与CD这组平行线间的距离，即菱形的高h。
菱形的面积可通过两种方式计算：
①对角线乘积的一半：$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×6×8=24$；
②底乘高：$S=AB× h=5h$。
联立得$5h=24$，解得$h=\frac{24}{5}$，即$PM+PN$的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
菱形的性质；最短路径问题；菱形面积计算
【点评】
本题将轴对称最短路径模型与菱形的性质结合考查，解题的关键是利用菱形的对称性转化线段，明确两条线段和的最小值本质是菱形对边之间的距离，再结合菱形面积的两种计算方法即可求解，能很好地考查学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径问题，结合菱形的轴对称性求解：首先回忆将军饮马模型的解题思路，利用菱形关于对角线BD对称的性质，将线段PM转化为其对称线段，把PM+PN的和转化为共线时的线段长度；再结合M、N是动点的特点，可知最小值为菱形一组对边之间的距离（即菱形的高），最后通过菱形面积的两种计算方法求出高即可。
【解析】
设对角线AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，$OA=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=4$，
由勾股定理得菱形边长$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵BD是菱形的对称轴，作点M关于BD的对称点M'，则M'在边AB上，根据轴对称性质得$PM=PM'$，
∴$PM+PN=PM'+PN$，当M'、P、N三点共线且$M'N⊥ CD$时，$PM+PN$取得最小值，此时M'N的长度为AB与CD这组平行线间的距离，即菱形的高h。
菱形的面积可通过两种方式计算：
①对角线乘积的一半：$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×6×8=24$；
②底乘高：$S=AB× h=5h$。
联立得$5h=24$，解得$h=\frac{24}{5}$，即$PM+PN$的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
菱形的性质；最短路径问题；菱形面积计算
【点评】
本题将轴对称最短路径模型与菱形的性质结合考查，解题的关键是利用菱形的对称性转化线段，明确两条线段和的最小值本质是菱形对边之间的距离，再结合菱形面积的两种计算方法即可求解，能很好地考查学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
13. 如图,四边形 ABCD 是菱形,点 E,F 分别在边 AB,CD 上,且 $AE=CF$,连接AC,BD,EF,判断这三条线段是否交于同一点,并说明理由。
答案
解:这三条线段交于同一点。理由：
设AC与EF的交点为O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD,AC与BD互相平分。
∴∠BAC=∠ACD。
在△AOE和△COF中，
∵∠AOE=∠COF,∠BAC=∠ACD，
AE=CF，
∴△AOE≌△COF(AAS)。
∴AO=CO,即O是AC的中点。
∴O也是AC与BD的交点。
∴这三条线段交于同一点。
设AC与EF的交点为O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD,AC与BD互相平分。
∴∠BAC=∠ACD。
在△AOE和△COF中，
∵∠AOE=∠COF,∠BAC=∠ACD，
AE=CF，
∴△AOE≌△COF(AAS)。
∴AO=CO,即O是AC的中点。
∴O也是AC与BD的交点。
∴这三条线段交于同一点。
解析
【分析】
判断多条线段是否共点，可采用“先定交点，再证交点在第三条线段上”的思路：首先设AC和EF的交点为O，结合菱形对边平行的性质可得一组内错角相等，结合已知$AE=CF$和对顶角相等，可证明$△ AOE$和$△ COF$全等，得到O是AC的中点；再根据菱形对角线互相平分的性质，可知BD也经过AC的中点O，由此即可证明三条线段都过O点，即三线共点。
【解析】
这三条线段交于同一点，理由如下：
设AC与EF的交点为O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB// CD$，且AC与BD互相平分，
∴$∠ BAC=∠ ACD$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ AOE$和$△ COF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ AOE=∠ COF（对顶角相等）,\\∠ OAE=∠ OCF,\\AE=CF,\end{array} $
∴$△ AOE≌△ COF$（AAS），
∴$AO=CO$，即O为AC的中点。
∵菱形的对角线AC、BD互相平分，
∴BD必过AC的中点O，
∴AC、BD、EF三条线段都经过点O，即三条线段交于同一点。
【答案】
这三条线段交于同一点。
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是三线共点的典型基础题，解题核心是掌握“先确定两条线的交点，再证明交点在第三条线上”的共点证明思路，熟练运用菱形性质和全等三角形判定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.75
判断多条线段是否共点，可采用“先定交点，再证交点在第三条线段上”的思路：首先设AC和EF的交点为O，结合菱形对边平行的性质可得一组内错角相等，结合已知$AE=CF$和对顶角相等，可证明$△ AOE$和$△ COF$全等，得到O是AC的中点；再根据菱形对角线互相平分的性质，可知BD也经过AC的中点O，由此即可证明三条线段都过O点，即三线共点。
【解析】
这三条线段交于同一点，理由如下：
设AC与EF的交点为O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB// CD$，且AC与BD互相平分，
∴$∠ BAC=∠ ACD$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ AOE$和$△ COF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ AOE=∠ COF（对顶角相等）,\\∠ OAE=∠ OCF,\\AE=CF,\end{array} $
∴$△ AOE≌△ COF$（AAS），
∴$AO=CO$，即O为AC的中点。
∵菱形的对角线AC、BD互相平分，
∴BD必过AC的中点O，
∴AC、BD、EF三条线段都经过点O，即三条线段交于同一点。
【答案】
这三条线段交于同一点。
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是三线共点的典型基础题，解题核心是掌握“先确定两条线的交点，再证明交点在第三条线上”的共点证明思路，熟练运用菱形性质和全等三角形判定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.75
