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1.在配紫色游戏中，转盘被平均分成“红”“黄”“蓝”“白”四部分，转动转盘两次，配成紫色(也就是转盘停止后指针指向的一次是红，一次是蓝)的概率为(
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{8}$
D
)。A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{8}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查两步随机试验的概率求解，解题思路如下：首先明确转动转盘两次是两个独立的等可能试验，每次试验都有4种等可能的结果；接下来我们可以通过树状图或列表法枚举所有等可能的总结果，再从中筛选出“一次指向红、一次指向蓝”的符合条件的结果，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数）计算即可得到答案。
【解析】
我们用树状图分析所有可能的结果：
第一次转动转盘，可能出现的结果为：红、黄、蓝、白，共4种等可能结果；
针对第一次的每一种结果，第二次转动转盘同样有红、黄、蓝、白4种等可能结果，因此两次转动转盘的总等可能结果数为：$4×4=16$种。
能配成紫色的情况为：①第一次红、第二次蓝；②第一次蓝、第二次红，共2种符合条件的结果。
根据概率公式，配成紫色的概率为：$ P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8} $。
【答案】
D
【知识点】
用树状图/列表法求概率；概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是准确枚举所有等可能的结果，注意不要遗漏“先红后蓝”和“先蓝后红”两种符合要求的情况，避免因少算符合条件的结果数出现错误。
【难度系数】
0.7
本题考查两步随机试验的概率求解，解题思路如下：首先明确转动转盘两次是两个独立的等可能试验，每次试验都有4种等可能的结果；接下来我们可以通过树状图或列表法枚举所有等可能的总结果，再从中筛选出“一次指向红、一次指向蓝”的符合条件的结果，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数）计算即可得到答案。
【解析】
我们用树状图分析所有可能的结果：
第一次转动转盘，可能出现的结果为：红、黄、蓝、白，共4种等可能结果；
针对第一次的每一种结果，第二次转动转盘同样有红、黄、蓝、白4种等可能结果，因此两次转动转盘的总等可能结果数为：$4×4=16$种。
能配成紫色的情况为：①第一次红、第二次蓝；②第一次蓝、第二次红，共2种符合条件的结果。
根据概率公式，配成紫色的概率为：$ P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8} $。
【答案】
D
【知识点】
用树状图/列表法求概率；概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是准确枚举所有等可能的结果，注意不要遗漏“先红后蓝”和“先蓝后红”两种符合要求的情况，避免因少算符合条件的结果数出现错误。
【难度系数】
0.7
2.“红色 + 黄色”可以配出“橘黄色”，若将两个转盘各转一次，则配成橘黄色的概率是（
A.$\frac{5}{16}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{9}{16}$
A
）。A.$\frac{5}{16}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{9}{16}$
答案
2.A
解析
【分析】
要计算配成橘黄色的概率，首先明确配成橘黄色的条件是两个转盘转出的颜色为“红+黄”，包含两种情况：①第一个转盘转出红色，第二个转盘转出黄色；②第一个转盘转出黄色，第二个转盘转出红色。我们可以先统计所有等可能的结果总数，再统计符合条件的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数得到概率，也可以分别计算两种符合条件的情况的概率，再相加得到总概率。
【解析】
两个转盘均被平均分成4等份，各转一次共有$4×4=16$种等可能的结果。
分两种情况统计符合条件的结果：
1. 第一个转盘转出红色，第二个转盘转出黄色：第一个转盘红色区域有2块，第二个转盘黄色区域有2块，对应$2×2=4$种结果；
2. 第一个转盘转出黄色，第二个转盘转出红色：第一个转盘黄色区域有1块，第二个转盘红色区域有1块，对应$1×1=1$种结果。
综上，符合配成橘黄色的结果共有$4+1=5$种，因此配成橘黄色的概率为$\frac{5}{16}$。
【答案】
A
【知识点】
列表法求概率，概率的计算
【点评】
本题结合生活实际考查概率的计算，解题的关键是准确梳理出所有符合要求的情况，避免漏算“第一个转盘出黄、第二个转盘出红”的情况，整体难度不大，侧重对基础概率计算方法的考查。
【难度系数】
0.7
要计算配成橘黄色的概率，首先明确配成橘黄色的条件是两个转盘转出的颜色为“红+黄”，包含两种情况：①第一个转盘转出红色，第二个转盘转出黄色；②第一个转盘转出黄色，第二个转盘转出红色。我们可以先统计所有等可能的结果总数，再统计符合条件的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数得到概率，也可以分别计算两种符合条件的情况的概率，再相加得到总概率。
【解析】
两个转盘均被平均分成4等份，各转一次共有$4×4=16$种等可能的结果。
分两种情况统计符合条件的结果：
1. 第一个转盘转出红色，第二个转盘转出黄色：第一个转盘红色区域有2块，第二个转盘黄色区域有2块，对应$2×2=4$种结果；
2. 第一个转盘转出黄色，第二个转盘转出红色：第一个转盘黄色区域有1块，第二个转盘红色区域有1块，对应$1×1=1$种结果。
综上，符合配成橘黄色的结果共有$4+1=5$种，因此配成橘黄色的概率为$\frac{5}{16}$。
【答案】
A
【知识点】
列表法求概率，概率的计算
【点评】
本题结合生活实际考查概率的计算，解题的关键是准确梳理出所有符合要求的情况，避免漏算“第一个转盘出黄、第二个转盘出红”的情况，整体难度不大，侧重对基础概率计算方法的考查。
【难度系数】
0.7
3.一个不透明的盒子里装有1个红球、2个白球和1个绿球，这些球除颜色外都相同。从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有1个红球的概率是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{5}{12}$
A
)。A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{5}{12}$
答案
3.A
解析
【分析】
本题为不放回摸球的概率计算问题，解题思路如下：首先明确摸球规则是“不放回”，即两次摸到的球不可能是同一个；其次我们可以通过标记区分相同颜色的球，用枚举法（列表或树状图）列出所有等可能的摸球结果，统计总结果数；再统计出“两次恰好有1个红球”的符合条件的结果数；最后代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。
【解析】
我们先对球做标记区分：红球记为$R$，两个白球分别记为$W_1$、$W_2$，绿球记为$G$。
1. 计算总等可能结果数：第一次摸球有4种可能，不放回的情况下第二次摸球有3种可能，因此总共有$4×3=12$种等可能的结果。
2. 计算符合条件的结果数：“两次恰好有1个红球”分为两类情况：
① 第一次摸到红球，第二次没摸到红球：第一次摸$R$，第二次可摸$W_1$、$W_2$、$G$，共3种结果；
② 第一次没摸到红球，第二次摸到红球：第一次可摸$W_1$、$W_2$、$G$，第二次摸$R$，共3种结果；
符合条件的结果共$3+3=6$种。
3. 计算概率：$P(两次恰好有1个红球)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 不放回概率计算
2. 枚举法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题是概率计算的常见基础题型，解题的核心是准确理解不放回的摸球规则，枚举结果时注意区分相同颜色的球，避免出现计数重复或遗漏的错误。
【难度系数】
0.7
本题为不放回摸球的概率计算问题，解题思路如下：首先明确摸球规则是“不放回”，即两次摸到的球不可能是同一个；其次我们可以通过标记区分相同颜色的球，用枚举法（列表或树状图）列出所有等可能的摸球结果，统计总结果数；再统计出“两次恰好有1个红球”的符合条件的结果数；最后代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。
【解析】
我们先对球做标记区分：红球记为$R$，两个白球分别记为$W_1$、$W_2$，绿球记为$G$。
1. 计算总等可能结果数：第一次摸球有4种可能，不放回的情况下第二次摸球有3种可能，因此总共有$4×3=12$种等可能的结果。
2. 计算符合条件的结果数：“两次恰好有1个红球”分为两类情况：
① 第一次摸到红球，第二次没摸到红球：第一次摸$R$，第二次可摸$W_1$、$W_2$、$G$，共3种结果；
② 第一次没摸到红球，第二次摸到红球：第一次可摸$W_1$、$W_2$、$G$，第二次摸$R$，共3种结果；
符合条件的结果共$3+3=6$种。
3. 计算概率：$P(两次恰好有1个红球)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 不放回概率计算
2. 枚举法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题是概率计算的常见基础题型，解题的核心是准确理解不放回的摸球规则，枚举结果时注意区分相同颜色的球，避免出现计数重复或遗漏的错误。
【难度系数】
0.7
4.某校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名学生跳绳，恰好选中一男一女的概率是
$\frac{3}{5}$
。答案
4.$\frac{3}{5}$
解析
【分析】
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确概率计算公式为“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”；接下来我们可以通过枚举法先求出从5名学生中选2名的所有等可能结果数，再找出恰好选中一男一女的结果数，最后代入公式计算即可，枚举时要注意做到不重复、不遗漏。
【解析】
我们将3名女生记为女₁、女₂、女₃，2名男生记为男₁、男₂，列举从5名学生中选取2名的所有等可能结果：
(女₁,女₂)、(女₁,女₃)、(女₁,男₁)、(女₁,男₂)、(女₂,女₃)、(女₂,男₁)、(女₂,男₂)、(女₃,男₁)、(女₃,男₂)、(男₁,男₂)，共10种等可能的结果。
其中恰好选中一男一女的结果有：(女₁,男₁)、(女₁,男₂)、(女₂,男₁)、(女₂,男₂)、(女₃,男₁)、(女₃,男₂)，共6种。
根据概率公式可得，恰好选中一男一女的概率$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 枚举法求概率
【点评】
本题是概率计算的常规基础题，核心考查等可能事件概率的计算方法，解题的关键是准确枚举所有等可能结果，避免出现重复计数或者漏计数的错误。
【难度系数】
0.7
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确概率计算公式为“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”；接下来我们可以通过枚举法先求出从5名学生中选2名的所有等可能结果数，再找出恰好选中一男一女的结果数，最后代入公式计算即可，枚举时要注意做到不重复、不遗漏。
【解析】
我们将3名女生记为女₁、女₂、女₃，2名男生记为男₁、男₂，列举从5名学生中选取2名的所有等可能结果：
(女₁,女₂)、(女₁,女₃)、(女₁,男₁)、(女₁,男₂)、(女₂,女₃)、(女₂,男₁)、(女₂,男₂)、(女₃,男₁)、(女₃,男₂)、(男₁,男₂)，共10种等可能的结果。
其中恰好选中一男一女的结果有：(女₁,男₁)、(女₁,男₂)、(女₂,男₁)、(女₂,男₂)、(女₃,男₁)、(女₃,男₂)，共6种。
根据概率公式可得，恰好选中一男一女的概率$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 枚举法求概率
【点评】
本题是概率计算的常规基础题，核心考查等可能事件概率的计算方法，解题的关键是准确枚举所有等可能结果，避免出现重复计数或者漏计数的错误。
【难度系数】
0.7
5. 如图所示的是“配紫色”游戏的两个转盘，你能用列表法求出配成紫色的概率吗？
答案
5.解:根据题意列表如下：
| 甲\乙 | 红 | 黄 | 绿 | 蓝 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,黄) | (红,绿) | (红,蓝) |
| 绿 | (绿,红) | (绿,黄) | (绿,绿) | (绿,蓝) |
| 蓝 | (蓝,红) | (蓝,黄) | (蓝,绿) | (蓝,蓝) |
由表可知共有 12 种等可能的结果,其中能配成紫色的有 2 种。
$\therefore P$(配成紫色)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
| 甲\乙 | 红 | 黄 | 绿 | 蓝 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,黄) | (红,绿) | (红,蓝) |
| 绿 | (绿,红) | (绿,黄) | (绿,绿) | (绿,蓝) |
| 蓝 | (蓝,红) | (蓝,黄) | (蓝,绿) | (蓝,蓝) |
由表可知共有 12 种等可能的结果,其中能配成紫色的有 2 种。
$\therefore P$(配成紫色)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确配成紫色的条件：红色和蓝色混合可得紫色，即两个转盘转出的颜色为一红一蓝时即可配成紫色。我们可以用列表法梳理所有可能的结果：首先确定甲转盘有红、绿、蓝3种等可能的结果，乙转盘有红、黄、绿、蓝4种等可能的结果，通过列表可以不重不漏地列举出所有等可能的组合，再从中筛选出符合配紫条件的结果，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
根据题意列表如下：
| 甲\乙 | 红 | 黄 | 绿 | 蓝 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,黄) | (红,绿) | (红,蓝) |
| 绿 | (绿,红) | (绿,黄) | (绿,绿) | (绿,蓝) |
| 蓝 | (蓝,红) | (蓝,黄) | (蓝,绿) | (蓝,蓝) |
由表可知共有12种等可能的结果，其中能配成紫色的有2种，分别是(红,蓝)和(蓝,红)。
$\therefore P$(配成紫色)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
列表法求概率，概率公式，等可能事件
【点评】
本题是概率应用的常规题型，解题的关键是明确配紫色的规则，掌握用列表法完整枚举所有等可能结果的方法，计算最终概率时注意将结果化为最简分数。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确配成紫色的条件：红色和蓝色混合可得紫色，即两个转盘转出的颜色为一红一蓝时即可配成紫色。我们可以用列表法梳理所有可能的结果：首先确定甲转盘有红、绿、蓝3种等可能的结果，乙转盘有红、黄、绿、蓝4种等可能的结果，通过列表可以不重不漏地列举出所有等可能的组合，再从中筛选出符合配紫条件的结果，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
根据题意列表如下：
| 甲\乙 | 红 | 黄 | 绿 | 蓝 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,黄) | (红,绿) | (红,蓝) |
| 绿 | (绿,红) | (绿,黄) | (绿,绿) | (绿,蓝) |
| 蓝 | (蓝,红) | (蓝,黄) | (蓝,绿) | (蓝,蓝) |
由表可知共有12种等可能的结果，其中能配成紫色的有2种，分别是(红,蓝)和(蓝,红)。
$\therefore P$(配成紫色)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
列表法求概率，概率公式，等可能事件
【点评】
本题是概率应用的常规题型，解题的关键是明确配紫色的规则，掌握用列表法完整枚举所有等可能结果的方法，计算最终概率时注意将结果化为最简分数。
【难度系数】
0.7
6.某奥体中心的示意图如图所示,其东、西两面各有一个入口A,B,南面为出口C,北面有两个出口D,E。聪聪如果任选一个入口进入,再任选一个出口离开,那么他从入口A进入并从北面出口离开的概率为(
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
C
)。A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
6.C
解析
【分析】
本题是等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的情况：先明确入口共有2个（A、B），出口共有3个（C、D、E），任选入口、任选出口的所有组合都是等可能的，可先算出总结果数；第二步确定符合条件的结果：“从入口A进入”即入口固定为A，“从北面出口离开”结合方向标识可知北面出口为D、E，共2种出口选择，即可得到符合条件的结果数；最后用概率公式“P=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：首先确定所有等可能的进出组合：
入口有2种选择：A、B，出口有3种选择：C、D、E，所有等可能的结果为：(A,C)、(A,D)、(A,E)、(B,C)、(B,D)、(B,E)，共6种。
结合方向标识可知北面出口为D、E，满足“从入口A进入并从北面出口离开”的结果为：(A,D)、(A,E)，共2种。
根据概率公式可得：$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
列表法求概率；概率计算公式
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是准确梳理所有等可能的结果，同时结合图中的方向标识正确判断北面的出口，计算难度较低，认真审题即可得分。
【难度系数】
0.7
本题是等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的情况：先明确入口共有2个（A、B），出口共有3个（C、D、E），任选入口、任选出口的所有组合都是等可能的，可先算出总结果数；第二步确定符合条件的结果：“从入口A进入”即入口固定为A，“从北面出口离开”结合方向标识可知北面出口为D、E，共2种出口选择，即可得到符合条件的结果数；最后用概率公式“P=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：首先确定所有等可能的进出组合：
入口有2种选择：A、B，出口有3种选择：C、D、E，所有等可能的结果为：(A,C)、(A,D)、(A,E)、(B,C)、(B,D)、(B,E)，共6种。
结合方向标识可知北面出口为D、E，满足“从入口A进入并从北面出口离开”的结果为：(A,D)、(A,E)，共2种。
根据概率公式可得：$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
列表法求概率；概率计算公式
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是准确梳理所有等可能的结果，同时结合图中的方向标识正确判断北面的出口，计算难度较低，认真审题即可得分。
【难度系数】
0.7
7.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数－2,1,4。随机摸出一个小球(不放回)其数记为p，再随机摸出另一个小球其数记为q，则满足关于x的方程$x^2 + px + q = 0$有实数根的概率是(
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
D
)。A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
7.D
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，明确是不放回摸球，用列举法列出所有等可能的(p,q)组合，统计总结果数；第二步，回忆一元二次方程有实数根的条件：判别式Δ=p²-4q≥0，将每个组合代入验证，统计满足条件的结果数；第三步，根据概率公式“概率=满足条件的结果数÷总等可能结果数”计算概率即可。
【解析】
首先列出不放回摸球的所有等可能结果：
第一次摸球有3种可能，第二次不放回有2种可能，共3×2=6种等可能的(p,q)组合，分别为：
(-2,1)、(-2,4)、(1,-2)、(1,4)、(4,-2)、(4,1)。
一元二次方程$x^2+px+q=0$有实数根的条件为判别式$\Delta = p^2 - 4q ≥ 0$，逐个验证：
1. 当p=-2，q=1时，$\Delta=(-2)^2 - 4×1=0≥0$，满足条件；
2. 当p=-2，q=4时，$\Delta=4 - 16=-12＜0$，不满足；
3. 当p=1，q=-2时，$\Delta=1^2 - 4×(-2)=9≥0$，满足条件；
4. 当p=1，q=4时，$\Delta=1 - 16=-15＜0$，不满足；
5. 当p=4，q=-2时，$\Delta=4^2 - 4×(-2)=24≥0$，满足条件；
6. 当p=4，q=1时，$\Delta=16 - 4×1=12≥0$，满足条件。
满足条件的结果共4种，因此概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
列表法求概率；一元二次方程根的判别式；概率公式
【点评】
本题属于概率与代数知识的综合题，需要熟练掌握列举法求概率的步骤，同时牢记一元二次方程根的判别式的应用，考查知识点的综合运用能力，解题时要注意摸球是“不放回”的条件，避免列举出错。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步，明确是不放回摸球，用列举法列出所有等可能的(p,q)组合，统计总结果数；第二步，回忆一元二次方程有实数根的条件：判别式Δ=p²-4q≥0，将每个组合代入验证，统计满足条件的结果数；第三步，根据概率公式“概率=满足条件的结果数÷总等可能结果数”计算概率即可。
【解析】
首先列出不放回摸球的所有等可能结果：
第一次摸球有3种可能，第二次不放回有2种可能，共3×2=6种等可能的(p,q)组合，分别为：
(-2,1)、(-2,4)、(1,-2)、(1,4)、(4,-2)、(4,1)。
一元二次方程$x^2+px+q=0$有实数根的条件为判别式$\Delta = p^2 - 4q ≥ 0$，逐个验证：
1. 当p=-2，q=1时，$\Delta=(-2)^2 - 4×1=0≥0$，满足条件；
2. 当p=-2，q=4时，$\Delta=4 - 16=-12＜0$，不满足；
3. 当p=1，q=-2时，$\Delta=1^2 - 4×(-2)=9≥0$，满足条件；
4. 当p=1，q=4时，$\Delta=1 - 16=-15＜0$，不满足；
5. 当p=4，q=-2时，$\Delta=4^2 - 4×(-2)=24≥0$，满足条件；
6. 当p=4，q=1时，$\Delta=16 - 4×1=12≥0$，满足条件。
满足条件的结果共4种，因此概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
列表法求概率；一元二次方程根的判别式；概率公式
【点评】
本题属于概率与代数知识的综合题，需要熟练掌握列举法求概率的步骤，同时牢记一元二次方程根的判别式的应用，考查知识点的综合运用能力，解题时要注意摸球是“不放回”的条件，避免列举出错。
【难度系数】
0.7
