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21. 提升题▶如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$BC$是$\odot O$的直径，$AD⊥ BC$于点$D$，$OF⊥ OA$，$∠ F=2∠ ABC$。
(1)求证:BF是$\odot O$的切线。
(2)若$\tan ∠ CAD=\dfrac{1}{3}$，$BF=20$，求$\odot O$的半径。
(1)求证:BF是$\odot O$的切线。
(2)若$\tan ∠ CAD=\dfrac{1}{3}$，$BF=20$，求$\odot O$的半径。
答案
解：(1) 证明：
∵ OA=OB，
∴ ∠OAB=∠ABC，
∴ ∠AOB=180° - ∠OAB - ∠ABC = 180° - 2∠ABC。
∵ ∠F=2∠ABC，
∴ ∠AOB=180° - ∠F。
∵ OF⊥OA，
∴ ∠AOF=90°，
又∵ ∠AOB=∠AOF + ∠BOF，
∴ 90° + ∠BOF = 180° - ∠F，
整理得∠BOF + ∠F = 90°，
∴ 在△OBF中，∠OBF=180° - (∠BOF + ∠F)=90°，
∴ OB⊥BF，
又∵ OB是⊙O的半径，
∴ BF是⊙O的切线。
(2) 解：
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BAC=90°，
∴ ∠CAD + ∠BAD=90°。
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ABC + ∠BAD=90°，
∴ ∠CAD=∠ABC，
∴ tan∠ABC=tan∠CAD=1/3。
在Rt△ADC中，tan∠CAD=CD/AD=1/3，设CD=a，则AD=3a。
∵ ∠ADC=∠BDA=90°，∠CAD=∠ABD，
∴ △ADC∽△BDA，
∴ AD/BD = CD/AD，即AD²=CD·BD，
代入得(3a)² = a·BD，解得BD=9a，
∴ BC=CD + BD=10a，
∴ ⊙O的半径OB=OC=OA=5a。
∵ ∠F=2∠ABC，
∴ tan∠F=tan2∠ABC= $\frac{2\tan∠ABC}{1-\tan^2∠ABC}$ = $\frac{2×\frac{1}{3}}{1-(\frac{1}{3})^2}$ = $\frac{3}{4}$。
在Rt△OBF中，∠OBF=90°，tan∠F=OB/BF，
∵ BF=20，
∴ $\frac{OB}{20}=\frac{3}{4}$，
解得OB=15。
即⊙O的半径为15。
∵ OA=OB，
∴ ∠OAB=∠ABC，
∴ ∠AOB=180° - ∠OAB - ∠ABC = 180° - 2∠ABC。
∵ ∠F=2∠ABC，
∴ ∠AOB=180° - ∠F。
∵ OF⊥OA，
∴ ∠AOF=90°，
又∵ ∠AOB=∠AOF + ∠BOF，
∴ 90° + ∠BOF = 180° - ∠F，
整理得∠BOF + ∠F = 90°，
∴ 在△OBF中，∠OBF=180° - (∠BOF + ∠F)=90°，
∴ OB⊥BF，
又∵ OB是⊙O的半径，
∴ BF是⊙O的切线。
(2) 解：
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BAC=90°，
∴ ∠CAD + ∠BAD=90°。
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ABC + ∠BAD=90°，
∴ ∠CAD=∠ABC，
∴ tan∠ABC=tan∠CAD=1/3。
在Rt△ADC中，tan∠CAD=CD/AD=1/3，设CD=a，则AD=3a。
∵ ∠ADC=∠BDA=90°，∠CAD=∠ABD，
∴ △ADC∽△BDA，
∴ AD/BD = CD/AD，即AD²=CD·BD，
代入得(3a)² = a·BD，解得BD=9a，
∴ BC=CD + BD=10a，
∴ ⊙O的半径OB=OC=OA=5a。
∵ ∠F=2∠ABC，
∴ tan∠F=tan2∠ABC= $\frac{2\tan∠ABC}{1-\tan^2∠ABC}$ = $\frac{2×\frac{1}{3}}{1-(\frac{1}{3})^2}$ = $\frac{3}{4}$。
在Rt△OBF中，∠OBF=90°，tan∠F=OB/BF，
∵ BF=20，
∴ $\frac{OB}{20}=\frac{3}{4}$，
解得OB=15。
即⊙O的半径为15。
解析
【分析】
(1) 要证明BF是$\odot O$的切线，根据切线判定定理“过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，核心目标是证明$OB⊥ BF$，即$∠ OBF=90°$。首先利用等腰$△ OAB$的性质，将$∠ AOB$用$∠ ABC$表示，结合已知$∠ F=2∠ ABC$，再利用$OF⊥ OA$得到的$∠ AOF=90°$，推导得出$∠ BOF+∠ F=90°$，即可得到$∠ OBF=90°$。
(2) 要求$\odot O$的半径，已知$BF=20$，且第(1)问已证$△ OBF$是直角三角形，只需得到$∠ F$的三角函数值即可求出$OB$的长度。首先利用$BC$是直径得到$∠ BAC=90°$，结合$AD⊥ BC$，通过“同角的余角相等”推出$∠ CAD=∠ ABC$，得到$\tan∠ ABC$的值，再利用二倍角正切公式求出$\tan∠ F$的值，最后结合直角三角形的边角关系即可求出半径。
【解析】
(1) 证明：
$\because OA=OB$，
$\therefore ∠ OAB=∠ ABC$，
$\therefore ∠ AOB=180° - ∠ OAB - ∠ ABC = 180° - 2∠ ABC$。
$\because ∠ F=2∠ ABC$，
$\therefore ∠ AOB=180° - ∠ F$。
$\because OF⊥ OA$，
$\therefore ∠ AOF=90°$，
又$\because ∠ AOB=∠ AOF + ∠ BOF$，
$\therefore 90° + ∠ BOF = 180° - ∠ F$，
整理得$∠ BOF + ∠ F = 90°$，
$\therefore$在$△ OBF$中，$∠ OBF=180° - (∠ BOF + ∠ F)=90°$，
$\therefore OB⊥ BF$，
又$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore BF$是$\odot O$的切线。
(2) 解：
$\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ CAD + ∠ BAD=90°$。
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ ABC$，
$\therefore \tan∠ ABC=\tan∠ CAD=\dfrac{1}{3}$。
$\because ∠ F=2∠ ABC$，
$\therefore \tan∠ F=\tan2∠ ABC=\dfrac{2\tan∠ ABC}{1-\tan^2∠ ABC}=\dfrac{2×\dfrac{1}{3}}{1-(\dfrac{1}{3})^2}=\dfrac{3}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，$∠ OBF=90°$，$\tan∠ F=\dfrac{OB}{BF}$，
$\because BF=20$，
$\therefore \dfrac{OB}{20}=\dfrac{3}{4}$，
解得$OB=15$。
【答案】
(1) 证明成立，BF是$\odot O$的切线；
(2) $\odot O$的半径为$\boxed{15}$。
【知识点】
切线的判定定理，圆周角定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的综合类习题，将圆的基础性质、三角形角的关系、三角函数计算相结合，既考查了切线判定的常规思路，也要求熟练运用直角三角形的边角关系求解线段长度，是圆与三角函数结合的典型考法。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明BF是$\odot O$的切线，根据切线判定定理“过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，核心目标是证明$OB⊥ BF$，即$∠ OBF=90°$。首先利用等腰$△ OAB$的性质，将$∠ AOB$用$∠ ABC$表示，结合已知$∠ F=2∠ ABC$，再利用$OF⊥ OA$得到的$∠ AOF=90°$，推导得出$∠ BOF+∠ F=90°$，即可得到$∠ OBF=90°$。
(2) 要求$\odot O$的半径，已知$BF=20$，且第(1)问已证$△ OBF$是直角三角形，只需得到$∠ F$的三角函数值即可求出$OB$的长度。首先利用$BC$是直径得到$∠ BAC=90°$，结合$AD⊥ BC$，通过“同角的余角相等”推出$∠ CAD=∠ ABC$，得到$\tan∠ ABC$的值，再利用二倍角正切公式求出$\tan∠ F$的值，最后结合直角三角形的边角关系即可求出半径。
【解析】
(1) 证明：
$\because OA=OB$，
$\therefore ∠ OAB=∠ ABC$，
$\therefore ∠ AOB=180° - ∠ OAB - ∠ ABC = 180° - 2∠ ABC$。
$\because ∠ F=2∠ ABC$，
$\therefore ∠ AOB=180° - ∠ F$。
$\because OF⊥ OA$，
$\therefore ∠ AOF=90°$，
又$\because ∠ AOB=∠ AOF + ∠ BOF$，
$\therefore 90° + ∠ BOF = 180° - ∠ F$，
整理得$∠ BOF + ∠ F = 90°$，
$\therefore$在$△ OBF$中，$∠ OBF=180° - (∠ BOF + ∠ F)=90°$，
$\therefore OB⊥ BF$，
又$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore BF$是$\odot O$的切线。
(2) 解：
$\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ CAD + ∠ BAD=90°$。
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ ABC$，
$\therefore \tan∠ ABC=\tan∠ CAD=\dfrac{1}{3}$。
$\because ∠ F=2∠ ABC$，
$\therefore \tan∠ F=\tan2∠ ABC=\dfrac{2\tan∠ ABC}{1-\tan^2∠ ABC}=\dfrac{2×\dfrac{1}{3}}{1-(\dfrac{1}{3})^2}=\dfrac{3}{4}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，$∠ OBF=90°$，$\tan∠ F=\dfrac{OB}{BF}$，
$\because BF=20$，
$\therefore \dfrac{OB}{20}=\dfrac{3}{4}$，
解得$OB=15$。
【答案】
(1) 证明成立，BF是$\odot O$的切线；
(2) $\odot O$的半径为$\boxed{15}$。
【知识点】
切线的判定定理，圆周角定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的综合类习题，将圆的基础性质、三角形角的关系、三角函数计算相结合，既考查了切线判定的常规思路，也要求熟练运用直角三角形的边角关系求解线段长度，是圆与三角函数结合的典型考法。
【难度系数】
0.6
