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一、选择题
1.某老年大学对教学楼入口进行升级，将原有三级台阶改建为无障碍斜坡，方便老年学员通行。如图，已知每级台阶的高为20 cm，宽为30 cm，设台阶的起点为点A，斜坡的起始点为点C。若设计斜坡的坡度$i = 1:5$，则AC的长为()
A.200 cm
B.210 cm
C.240 cm
D.300 cm
1.某老年大学对教学楼入口进行升级，将原有三级台阶改建为无障碍斜坡，方便老年学员通行。如图，已知每级台阶的高为20 cm，宽为30 cm，设台阶的起点为点A，斜坡的起始点为点C。若设计斜坡的坡度$i = 1:5$，则AC的长为()
A.200 cm
B.210 cm
C.240 cm
D.300 cm
答案
B
解析
【分析】
解题首先要明确坡度的定义：坡度i是斜坡的铅垂高度与水平宽度的比值，即$i=\frac{\mathrm{铅垂高度}}{\mathrm{水平宽度}}$。第一步先计算B点到地面的总铅垂高度，已知每级台阶高20cm，共三级，可求出总高度；第二步根据坡度公式算出C点到B点水平投影点的总水平距离；第三步计算A点到B点水平投影点的距离，每级台阶宽30cm，三级对应长度可求；最后用总水平距离减去A到B投影点的距离，即可得到AC的长度。
【解析】
解：1. 计算斜坡的总铅垂高度：
每级台阶高20cm，共3级，故总高度$h=3×20=60\ \mathrm{cm}$。
2. 计算C点到B点水平投影点的总水平距离：
已知坡度$i=1:5=\frac{h}{\mathrm{水平宽度}}$，因此总水平宽度$L=5h=5×60=300\ \mathrm{cm}$。
3. 计算A点到B点水平投影点的距离：
每级台阶宽30cm，共3级，故该距离为$3×30=90\ \mathrm{cm}$。
4. 计算AC的长度：
$AC=L-90=300-90=210\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
坡度的概念，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合无障碍斜坡改造的生活场景考查坡度的相关计算，解题的核心是正确理解坡度的定义，准确梳理各线段的数量关系，是几何实际应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确坡度的定义：坡度i是斜坡的铅垂高度与水平宽度的比值，即$i=\frac{\mathrm{铅垂高度}}{\mathrm{水平宽度}}$。第一步先计算B点到地面的总铅垂高度，已知每级台阶高20cm，共三级，可求出总高度；第二步根据坡度公式算出C点到B点水平投影点的总水平距离；第三步计算A点到B点水平投影点的距离，每级台阶宽30cm，三级对应长度可求；最后用总水平距离减去A到B投影点的距离，即可得到AC的长度。
【解析】
解：1. 计算斜坡的总铅垂高度：
每级台阶高20cm，共3级，故总高度$h=3×20=60\ \mathrm{cm}$。
2. 计算C点到B点水平投影点的总水平距离：
已知坡度$i=1:5=\frac{h}{\mathrm{水平宽度}}$，因此总水平宽度$L=5h=5×60=300\ \mathrm{cm}$。
3. 计算A点到B点水平投影点的距离：
每级台阶宽30cm，共3级，故该距离为$3×30=90\ \mathrm{cm}$。
4. 计算AC的长度：
$AC=L-90=300-90=210\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
坡度的概念，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合无障碍斜坡改造的生活场景考查坡度的相关计算，解题的核心是正确理解坡度的定义，准确梳理各线段的数量关系，是几何实际应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
2.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点D在AB的延长线上,且$∠ DCB=∠ A$。若$AC=2,BC=1$,则BD的长为()
A.$\frac{\sqrt{5}}{4}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{3}$
A.$\frac{\sqrt{5}}{4}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{3}$
答案
B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度；第二步，结合已知的等角条件和公共角，通过AA判定证明△CBD与△CAD相似；第三步，利用相似三角形对应边成比例的性质，建立关于BD的等量关系，解方程求出BD的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
在$△ CBD$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ D\quad(\mathrm{公共角})\\∠ DCB=∠ A\quad(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore△ CBD∽△ CAD\quad(\mathrm{两角分别相等的两个三角形相似})$
$\therefore$对应边成比例：$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$
可得$CD=2BD$，$AD=2CD$，代入得$AD=4BD$
又$\because AD=AB+BD=\sqrt{5}+BD$
$\therefore\sqrt{5}+BD=4BD$
整理得$3BD=\sqrt{5}$，解得$BD=\frac{\sqrt{5}}{3}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考点是相似三角形的判定与性质的结合应用，解题关键是准确找到相似三角形，利用边的比例关系建立方程求解，能较好地考查学生的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度；第二步，结合已知的等角条件和公共角，通过AA判定证明△CBD与△CAD相似；第三步，利用相似三角形对应边成比例的性质，建立关于BD的等量关系，解方程求出BD的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
在$△ CBD$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ D\quad(\mathrm{公共角})\\∠ DCB=∠ A\quad(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore△ CBD∽△ CAD\quad(\mathrm{两角分别相等的两个三角形相似})$
$\therefore$对应边成比例：$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$
可得$CD=2BD$，$AD=2CD$，代入得$AD=4BD$
又$\because AD=AB+BD=\sqrt{5}+BD$
$\therefore\sqrt{5}+BD=4BD$
整理得$3BD=\sqrt{5}$，解得$BD=\frac{\sqrt{5}}{3}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考点是相似三角形的判定与性质的结合应用，解题关键是准确找到相似三角形，利用边的比例关系建立方程求解，能较好地考查学生的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
3.如图，A,B,C,D是$\odot O$上的四点。若$∠ A=100°$,则$∠ C=(\quad)$
A.$50°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$100°$
A.$50°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
C
解析
【分析】
首先观察图形可判断四边形ABCD是⊙O的内接四边形，解题需用到圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知∠A的度数，∠C与∠A是该内接四边形的一组对角，因此只需用180°减去∠A的度数即可求出∠C的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
根据圆内接四边形对角互补的性质，可得：
$∠ A + ∠ C = 180°$
又
∵$∠ A=100°$
∴$∠ C=180°-100°=80°$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础考点题型，解题关键是熟记圆内接四边形对角互补的性质，直接代入计算即可得分，是圆相关性质考查中较为简单的常规题型。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可判断四边形ABCD是⊙O的内接四边形，解题需用到圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知∠A的度数，∠C与∠A是该内接四边形的一组对角，因此只需用180°减去∠A的度数即可求出∠C的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
根据圆内接四边形对角互补的性质，可得：
$∠ A + ∠ C = 180°$
又
∵$∠ A=100°$
∴$∠ C=180°-100°=80°$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础考点题型，解题关键是熟记圆内接四边形对角互补的性质，直接代入计算即可得分，是圆相关性质考查中较为简单的常规题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=40°,AB=6$。以AB为直径的半圆O交AC于点D,与BC相切于点B,则$\overset{\frown}{BD}$的长为()
A.$\frac{5π}{6}$
B.$\frac{5π}{3}$
C.$\frac{10π}{3}$
D.$5π$
A.$\frac{5π}{6}$
B.$\frac{5π}{3}$
C.$\frac{10π}{3}$
D.$5π$
答案
B
解析
【分析】
解题首先从已知条件“BC与半圆相切于B”入手，根据切线的性质可得AB⊥BC，得到直角△ABC，结合已知∠C的度数可求出∠BAC的度数；要求弧BD的长，需用到弧长公式，因此需要确定弧BD对应的圆心角度数和半圆的半径：AB是直径长为6，可得半径为3；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出弧BD对应的圆心角，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接OD，
∵ 半圆O与BC相切于点B，AB为半圆O的直径，
∴ AB⊥BC，即∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，∠C=40°，
∴ ∠BAC=90°-∠C=90°-40°=50°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOD=2∠BAC=2×50°=100°，
∵ AB=6，
∴ 半圆O的半径$r=AB÷2=3$，
根据弧长公式$\overset{\frown}{BD}$的长$l=\frac{nπr}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），
代入得：$l=\frac{100π×3}{180}=\frac{5π}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是结合切线性质和圆周角定理求出对应弧的圆心角，再代入弧长公式计算，考查对基础定理的应用能力，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题首先从已知条件“BC与半圆相切于B”入手，根据切线的性质可得AB⊥BC，得到直角△ABC，结合已知∠C的度数可求出∠BAC的度数；要求弧BD的长，需用到弧长公式，因此需要确定弧BD对应的圆心角度数和半圆的半径：AB是直径长为6，可得半径为3；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出弧BD对应的圆心角，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接OD，
∵ 半圆O与BC相切于点B，AB为半圆O的直径，
∴ AB⊥BC，即∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，∠C=40°，
∴ ∠BAC=90°-∠C=90°-40°=50°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOD=2∠BAC=2×50°=100°，
∵ AB=6，
∴ 半圆O的半径$r=AB÷2=3$，
根据弧长公式$\overset{\frown}{BD}$的长$l=\frac{nπr}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），
代入得：$l=\frac{100π×3}{180}=\frac{5π}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是结合切线性质和圆周角定理求出对应弧的圆心角，再代入弧长公式计算，考查对基础定理的应用能力，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
5.若点$A(-3,y_1)$，$B(2,y_2)$，$C(3,y_3)$都在反比例函数$y=-\frac{3}{2x}$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是()
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
答案
D
解析
【分析】
要比较$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小，有两种常用解题思路：①代入求值法：将三个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，算出对应的函数值，直接比较数值大小即可，该方法直观不易出错；②性质判断法：先根据反比例函数的$k$值判断图象所在象限和增减性，再结合各点横坐标的正负判断点所在象限，同象限内的点结合增减性比较函数值大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A(-3,y_1)$代入$y=-\frac{3}{2x}$，得：
$y_1=-\frac{3}{2×(-3)}=\frac{1}{2}$
将点$B(2,y_2)$代入$y=-\frac{3}{2x}$，得：
$y_2=-\frac{3}{2×2}=-\frac{3}{4}$
将点$C(3,y_3)$代入$y=-\frac{3}{2x}$，得：
$y_3=-\frac{3}{2×3}=-\frac{1}{2}$
比较大小：$\because -\frac{3}{4}＜-\frac{1}{2}＜\frac{1}{2}$，$\therefore y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：性质判断法
反比例函数$y=-\frac{3}{2x}$中$k=-\frac{3}{2}＜0$，因此函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
$\because$点$A$的横坐标$-3＜0$，$\therefore$点$A$在第二象限，$y_1＞0$；
$\because$点$B$、$C$的横坐标$2＞0$、$3＞0$，$\therefore$点$B$、$C$在第四象限，$y_2＜0$，$y_3＜0$；
第四象限内$2＜3$，根据增减性可得$y_2＜y_3$；
综上可得$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；有理数大小比较
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，解题时既可以直接代入计算函数值比较，也可以结合函数图象的增减性快速判断，熟练掌握反比例函数的图象性质能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要比较$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小，有两种常用解题思路：①代入求值法：将三个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，算出对应的函数值，直接比较数值大小即可，该方法直观不易出错；②性质判断法：先根据反比例函数的$k$值判断图象所在象限和增减性，再结合各点横坐标的正负判断点所在象限，同象限内的点结合增减性比较函数值大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A(-3,y_1)$代入$y=-\frac{3}{2x}$，得：
$y_1=-\frac{3}{2×(-3)}=\frac{1}{2}$
将点$B(2,y_2)$代入$y=-\frac{3}{2x}$，得：
$y_2=-\frac{3}{2×2}=-\frac{3}{4}$
将点$C(3,y_3)$代入$y=-\frac{3}{2x}$，得：
$y_3=-\frac{3}{2×3}=-\frac{1}{2}$
比较大小：$\because -\frac{3}{4}＜-\frac{1}{2}＜\frac{1}{2}$，$\therefore y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：性质判断法
反比例函数$y=-\frac{3}{2x}$中$k=-\frac{3}{2}＜0$，因此函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
$\because$点$A$的横坐标$-3＜0$，$\therefore$点$A$在第二象限，$y_1＞0$；
$\because$点$B$、$C$的横坐标$2＞0$、$3＞0$，$\therefore$点$B$、$C$在第四象限，$y_2＜0$，$y_3＜0$；
第四象限内$2＜3$，根据增减性可得$y_2＜y_3$；
综上可得$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；有理数大小比较
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，解题时既可以直接代入计算函数值比较，也可以结合函数图象的增减性快速判断，熟练掌握反比例函数的图象性质能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
6.在同一平面直角坐标系中，反比例函数$y=-\frac{a}{x}$与一次函数$y=ax - a(a≠0)$的图象大致是() 
答案
解：
分两种情况讨论参数a的符号：
1. 当$a＞0$时：
反比例函数$y=-\frac{a}{x}$的比例系数$-a＜0$，图象位于第二、四象限；
一次函数$y=ax-a$中，$a＞0$则斜率为正，$-a＜0$则与y轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限，无对应符合特征的选项。
2. 当$a＜0$时：
反比例函数$y=-\frac{a}{x}$的比例系数$-a＞0$，图象位于第一、三象限；
一次函数$y=ax-a$中，$a＜0$则斜率为负，$-a＞0$则与y轴交于正半轴，图象经过第一、二、四象限，选项D符合该特征。
综上，答案为$\boldsymbol{D}$。
分两种情况讨论参数a的符号：
1. 当$a＞0$时：
反比例函数$y=-\frac{a}{x}$的比例系数$-a＜0$，图象位于第二、四象限；
一次函数$y=ax-a$中，$a＞0$则斜率为正，$-a＜0$则与y轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限，无对应符合特征的选项。
2. 当$a＜0$时：
反比例函数$y=-\frac{a}{x}$的比例系数$-a＞0$，图象位于第一、三象限；
一次函数$y=ax-a$中，$a＜0$则斜率为负，$-a＞0$则与y轴交于正半轴，图象经过第一、二、四象限，选项D符合该特征。
综上，答案为$\boldsymbol{D}$。
解析
【分析】
本题是同一坐标系下一次函数与反比例函数的图象匹配题，由于两个函数解析式都含有参数a，且a的符号不确定，因此解题核心思路是分$a＞0$和$a＜0$两种情况，分别推导反比例函数的图象所在象限、一次函数的斜率和与y轴交点位置，判断两种函数的图象特征是否对应，再和选项比对排除不符合的，最终得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论参数a的符号：
1. 当$a＞0$时：
反比例函数$y=-\frac{a}{x}$的比例系数$-a＜0$，图象位于第二、四象限；
一次函数$y=ax-a$中，x的系数$a＞0$则斜率为正，常数项$-a＜0$则与y轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限，无对应符合特征的选项，排除。
2. 当$a＜0$时：
反比例函数$y=-\frac{a}{x}$的比例系数$-a＞0$，图象位于第一、三象限；
一次函数$y=ax-a$中，x的系数$a＜0$则斜率为负，常数项$-a＞0$则与y轴交于正半轴，图象经过第一、二、四象限，选项D符合该特征。
综上可得正确选项。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
一次函数图象与性质；反比例函数图象与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断类的典型题型，解题关键是根据参数的不同取值分类讨论，逐一验证两类函数的图象特征是否匹配，能够有效考查对一次函数、反比例函数性质的掌握情况和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
本题是同一坐标系下一次函数与反比例函数的图象匹配题，由于两个函数解析式都含有参数a，且a的符号不确定，因此解题核心思路是分$a＞0$和$a＜0$两种情况，分别推导反比例函数的图象所在象限、一次函数的斜率和与y轴交点位置，判断两种函数的图象特征是否对应，再和选项比对排除不符合的，最终得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论参数a的符号：
1. 当$a＞0$时：
反比例函数$y=-\frac{a}{x}$的比例系数$-a＜0$，图象位于第二、四象限；
一次函数$y=ax-a$中，x的系数$a＞0$则斜率为正，常数项$-a＜0$则与y轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限，无对应符合特征的选项，排除。
2. 当$a＜0$时：
反比例函数$y=-\frac{a}{x}$的比例系数$-a＞0$，图象位于第一、三象限；
一次函数$y=ax-a$中，x的系数$a＜0$则斜率为负，常数项$-a＞0$则与y轴交于正半轴，图象经过第一、二、四象限，选项D符合该特征。
综上可得正确选项。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
一次函数图象与性质；反比例函数图象与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断类的典型题型，解题关键是根据参数的不同取值分类讨论，逐一验证两类函数的图象特征是否匹配，能够有效考查对一次函数、反比例函数性质的掌握情况和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
