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二、填空题
7.如图，在边长为4的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则阴影部分的面积为。
7.如图，在边长为4的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则阴影部分的面积为。
答案
$\boldsymbol{10-2π}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察到阴影是不规则图形，采用割补法求解，即阴影面积=正方形面积 - 空白部分面积。空白部分分为两部分：一是以BC为直径的半圆，二是直角三角形ADE。已知正方形边长为4，半圆半径可直接得到，接下来需要求△ADE的面积，已知AD=4，只需求出DE的长度即可。结合切线性质可知AB、CD都是半圆的切线，AE也是半圆的切线，可利用切线长定理得到AE与EC的等量关系，设未知数列方程，结合勾股定理即可求出DE的长度，最后代入计算即可。
【解析】
设AE切以BC为直径的半圆于点G，设EC=x。
∵ 正方形ABCD边长为4，
∴ AB=BC=CD=DA=4，∠D=∠ABC=∠BCD=90°，
∴ AB、CD均为半圆的切线。
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴ AB=AG=4，EC=EG=x，
∴ AE=AG+EG=4+x，DE=CD-EC=4-x。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD^2 + DE^2 = AE^2$
代入数值得：
$4^2 + (4-x)^2 = (4+x)^2$
展开化简：
$16 + 16 - 8x + x^2 = 16 + 8x + x^2$
消去同类项得$16x=16$，解得$x=1$。
∴ $DE=4-1=3$，
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × AD × DE = \frac{1}{2} × 4 × 3 =6$，
正方形面积$S_{正方形}=4 × 4=16$，
半圆半径$r=\frac{BC}{2}=2$，半圆面积$S_{半圆}=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π × 2^2=2π$，
∴ 阴影部分面积$S_{阴影}=S_{正方形} - S_{△ ADE} - S_{半圆}=16 -6 -2π=10-2π$。
【答案】
$\boldsymbol{10-2π}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是利用切线长定理建立线段间的等量关系，结合勾股定理求出未知线段长度，再通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差进行计算，能较好地考查几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，首先观察到阴影是不规则图形，采用割补法求解，即阴影面积=正方形面积 - 空白部分面积。空白部分分为两部分：一是以BC为直径的半圆，二是直角三角形ADE。已知正方形边长为4，半圆半径可直接得到，接下来需要求△ADE的面积，已知AD=4，只需求出DE的长度即可。结合切线性质可知AB、CD都是半圆的切线，AE也是半圆的切线，可利用切线长定理得到AE与EC的等量关系，设未知数列方程，结合勾股定理即可求出DE的长度，最后代入计算即可。
【解析】
设AE切以BC为直径的半圆于点G，设EC=x。
∵ 正方形ABCD边长为4，
∴ AB=BC=CD=DA=4，∠D=∠ABC=∠BCD=90°，
∴ AB、CD均为半圆的切线。
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴ AB=AG=4，EC=EG=x，
∴ AE=AG+EG=4+x，DE=CD-EC=4-x。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD^2 + DE^2 = AE^2$
代入数值得：
$4^2 + (4-x)^2 = (4+x)^2$
展开化简：
$16 + 16 - 8x + x^2 = 16 + 8x + x^2$
消去同类项得$16x=16$，解得$x=1$。
∴ $DE=4-1=3$，
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × AD × DE = \frac{1}{2} × 4 × 3 =6$，
正方形面积$S_{正方形}=4 × 4=16$，
半圆半径$r=\frac{BC}{2}=2$，半圆面积$S_{半圆}=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π × 2^2=2π$，
∴ 阴影部分面积$S_{阴影}=S_{正方形} - S_{△ ADE} - S_{半圆}=16 -6 -2π=10-2π$。
【答案】
$\boldsymbol{10-2π}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是利用切线长定理建立线段间的等量关系，结合勾股定理求出未知线段长度，再通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差进行计算，能较好地考查几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
8.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=10,点E在DC上。将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,则$\tan∠ EAF$的值为。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到相等的线段和相等的角：AF=AD=10，∠EAF=∠DAE，EF=DE。第一步先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF的长度，进而得到FC的长度；第二步设DE的长度为x，用含x的式子表示出EF和EC的长度，在Rt△EFC中根据勾股定理列方程求出x的值；最后根据∠EAF=∠DAE，在Rt△ADE中利用正切的定义求出tan∠EAF的值即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，AD=BC=10，∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质可得：AF=AD=10，EF=DE，∠EAF=∠DAE，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴$FC=BC-BF=10-8=2$，
设$DE=x$，则$EF=x$，$EC=CD-DE=6-x$，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$EC^2 + FC^2 = EF^2$，
即$(6-x)^2 + 2^2 = x^2$，
展开化简得：$36-12x+x^2+4=x^2$，
解得$x=\frac{10}{3}$，即$DE=\frac{10}{3}$，
在Rt△ADE中，$\tan∠ DAE=\frac{DE}{AD}=\frac{\frac{10}{3}}{10}=\frac{1}{3}$，
又
∵∠EAF=∠DAE，
∴$\tan∠ EAF=\tan∠ DAE=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是几何综合计算题，解题的核心是熟练运用折叠的性质得到相等的边与角，结合勾股定理列方程求解未知线段，再结合锐角三角函数的定义计算即可，是几何部分的典型考法。
【难度系数】
0.6
解题时先利用折叠的性质得到相等的线段和相等的角：AF=AD=10，∠EAF=∠DAE，EF=DE。第一步先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF的长度，进而得到FC的长度；第二步设DE的长度为x，用含x的式子表示出EF和EC的长度，在Rt△EFC中根据勾股定理列方程求出x的值；最后根据∠EAF=∠DAE，在Rt△ADE中利用正切的定义求出tan∠EAF的值即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，AD=BC=10，∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质可得：AF=AD=10，EF=DE，∠EAF=∠DAE，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴$FC=BC-BF=10-8=2$，
设$DE=x$，则$EF=x$，$EC=CD-DE=6-x$，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$EC^2 + FC^2 = EF^2$，
即$(6-x)^2 + 2^2 = x^2$，
展开化简得：$36-12x+x^2+4=x^2$，
解得$x=\frac{10}{3}$，即$DE=\frac{10}{3}$，
在Rt△ADE中，$\tan∠ DAE=\frac{DE}{AD}=\frac{\frac{10}{3}}{10}=\frac{1}{3}$，
又
∵∠EAF=∠DAE，
∴$\tan∠ EAF=\tan∠ DAE=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是几何综合计算题，解题的核心是熟练运用折叠的性质得到相等的边与角，结合勾股定理列方程求解未知线段，再结合锐角三角函数的定义计算即可，是几何部分的典型考法。
【难度系数】
0.6
9.如图，点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，点B在反比例函数$y=-\frac{2}{x}$的图象上，连接OA，OB，AB。若$AO⊥BO$，则$\tan∠BAO$的值为。
答案
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
遇到反比例函数上两点与原点连线垂直的问题，可通过过两点作x轴的垂线构造“K型”相似三角形，先利用反比例函数k的几何意义求出两个直角三角形的面积，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方得到OA与OB的比值，最后在Rt△AOB中根据正切的定义计算∠BAO的正切值即可。
【解析】
过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，
∴∠AMO=∠ONB=90°，
∴∠OAM + ∠AOM = 90°，
∵AO⊥BO，
∴∠AOM + ∠BON = 90°，
∴∠OAM = ∠BON，
∴△AOM∽△OBN。
根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}×|4|=2$，$S_{△ OBN}=\frac{1}{2}×|-2|=1$，
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ AOM}}{S_{△ OBN}}=(\frac{OA}{OB})^2=\frac{2}{1}$，
∴$\frac{OA}{OB}=\sqrt{2}$，即$\frac{OB}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在Rt△AOB中，$\tan∠ BAO=\frac{OB}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是反比例函数的综合题型，将反比例函数性质、相似三角形与三角函数结合考查，解题关键是构造K型相似得到OA与OB的比值，是常考的中等难度题型。
【难度系数】
0.6
遇到反比例函数上两点与原点连线垂直的问题，可通过过两点作x轴的垂线构造“K型”相似三角形，先利用反比例函数k的几何意义求出两个直角三角形的面积，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方得到OA与OB的比值，最后在Rt△AOB中根据正切的定义计算∠BAO的正切值即可。
【解析】
过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，
∴∠AMO=∠ONB=90°，
∴∠OAM + ∠AOM = 90°，
∵AO⊥BO，
∴∠AOM + ∠BON = 90°，
∴∠OAM = ∠BON，
∴△AOM∽△OBN。
根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}×|4|=2$，$S_{△ OBN}=\frac{1}{2}×|-2|=1$，
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ AOM}}{S_{△ OBN}}=(\frac{OA}{OB})^2=\frac{2}{1}$，
∴$\frac{OA}{OB}=\sqrt{2}$，即$\frac{OB}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在Rt△AOB中，$\tan∠ BAO=\frac{OB}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是反比例函数的综合题型，将反比例函数性质、相似三角形与三角函数结合考查，解题关键是构造K型相似得到OA与OB的比值，是常考的中等难度题型。
【难度系数】
0.6
10.如图，$∠ AOB=90°$，$AO=BO=4$，取$AO$的中点$C$，连接$BC$，分别以点$B$，$C$为圆心，以大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧，两弧交点的连线与$OB$相交于点$D$，连接$AD$，交$BC$于点$E$，则$\tan ∠ AEC$的值为。
答案
$\boldsymbol{\frac{13}{14}}$
解析
【分析】
首先识别尺规作图的结果是BC的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得CD=BD。结合∠AOB为直角，可建立平面直角坐标系，将各点坐标化，先求出点D的坐标，再联立直线AD、BC的解析式得到交点E的坐标，最后通过构造直角三角形，利用勾股定理和三角形面积公式求出对应边长，即可计算∠AEC的正切值。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴。
由题意得AO=BO=4，故各点坐标为$A(0,4)$、$B(4,0)$、$O(0,0)$，C是AO中点，因此$C(0,2)$。
2. 求点D坐标：由作图可知所作直线为BC的垂直平分线，故$CD=BD$。
设$D(d,0)$，则$CD=\sqrt{d^2+2^2}$，$BD=4-d$，列方程：
$\sqrt{d^2+4}=4-d$
两边平方得$d^2+4=16-8d+d^2$，解得$d=\frac{3}{2}$，即$D(\frac{3}{2},0)$。
3. 求直线AD、BC的解析式：
直线AD过$A(0,4)$、$D(\frac{3}{2},0)$，设解析式为$y=k_1x+4$，代入D点得$0=\frac{3}{2}k_1+4$，解得$k_1=-\frac{8}{3}$，故$AD:y=-\frac{8}{3}x+4$。
直线BC过$B(4,0)$、$C(0,2)$，设解析式为$y=k_2x+2$，代入B点得$0=4k_2+2$，解得$k_2=-\frac{1}{2}$，故$BC:y=-\frac{1}{2}x+2$。
4. 求交点E坐标：联立两直线解析式
$\begin{cases} y=-\dfrac{8}{3}x+4 \\ y=-\dfrac{1}{2}x+2 \end{cases}$
解得$x=\frac{12}{13}$，$y=\frac{20}{13}$，即$E(\frac{12}{13},\frac{20}{13})$。
5. 计算$\tan∠ AEC$：
过A作$AF⊥ BC$交BC延长线于F。
先求$BC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$△ ABC$面积$S=\frac{1}{2}× AC× OB=\frac{1}{2}×2×4=4$，又$S=\frac{1}{2}× BC× AF$，代入得$4=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}× AF$，解得$AF=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
在$Rt△ AFC$中，$AC=2$，由勾股定理得$CF=\sqrt{AC^2-AF^2}=\sqrt{4-\frac{16}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
计算CE长度：$CE=\sqrt{(\frac{12}{13}-0)^2+(\frac{20}{13}-2)^2}=\frac{6\sqrt{5}}{13}$，故$EF=CE+CF=\frac{6\sqrt{5}}{13}+\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{56\sqrt{5}}{65}$。
在$Rt△ AFE$中，$\tan∠ AEC=\frac{AF}{EF}=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{56\sqrt{5}}{65}}=\frac{13}{14}$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{13}{14}}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线性质
2. 一次函数解析式求解
3. 锐角三角函数计算
【点评】
本题综合考查尺规作图识别、几何性质与代数计算的结合，解题关键是通过建立坐标系将几何问题转化为代数运算，降低求解难度，同时需要熟练掌握三角形面积、勾股定理及三角函数的应用。
【难度系数】
0.4
首先识别尺规作图的结果是BC的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得CD=BD。结合∠AOB为直角，可建立平面直角坐标系，将各点坐标化，先求出点D的坐标，再联立直线AD、BC的解析式得到交点E的坐标，最后通过构造直角三角形，利用勾股定理和三角形面积公式求出对应边长，即可计算∠AEC的正切值。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴。
由题意得AO=BO=4，故各点坐标为$A(0,4)$、$B(4,0)$、$O(0,0)$，C是AO中点，因此$C(0,2)$。
2. 求点D坐标：由作图可知所作直线为BC的垂直平分线，故$CD=BD$。
设$D(d,0)$，则$CD=\sqrt{d^2+2^2}$，$BD=4-d$，列方程：
$\sqrt{d^2+4}=4-d$
两边平方得$d^2+4=16-8d+d^2$，解得$d=\frac{3}{2}$，即$D(\frac{3}{2},0)$。
3. 求直线AD、BC的解析式：
直线AD过$A(0,4)$、$D(\frac{3}{2},0)$，设解析式为$y=k_1x+4$，代入D点得$0=\frac{3}{2}k_1+4$，解得$k_1=-\frac{8}{3}$，故$AD:y=-\frac{8}{3}x+4$。
直线BC过$B(4,0)$、$C(0,2)$，设解析式为$y=k_2x+2$，代入B点得$0=4k_2+2$，解得$k_2=-\frac{1}{2}$，故$BC:y=-\frac{1}{2}x+2$。
4. 求交点E坐标：联立两直线解析式
$\begin{cases} y=-\dfrac{8}{3}x+4 \\ y=-\dfrac{1}{2}x+2 \end{cases}$
解得$x=\frac{12}{13}$，$y=\frac{20}{13}$，即$E(\frac{12}{13},\frac{20}{13})$。
5. 计算$\tan∠ AEC$：
过A作$AF⊥ BC$交BC延长线于F。
先求$BC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$△ ABC$面积$S=\frac{1}{2}× AC× OB=\frac{1}{2}×2×4=4$，又$S=\frac{1}{2}× BC× AF$，代入得$4=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}× AF$，解得$AF=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
在$Rt△ AFC$中，$AC=2$，由勾股定理得$CF=\sqrt{AC^2-AF^2}=\sqrt{4-\frac{16}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
计算CE长度：$CE=\sqrt{(\frac{12}{13}-0)^2+(\frac{20}{13}-2)^2}=\frac{6\sqrt{5}}{13}$，故$EF=CE+CF=\frac{6\sqrt{5}}{13}+\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{56\sqrt{5}}{65}$。
在$Rt△ AFE$中，$\tan∠ AEC=\frac{AF}{EF}=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{56\sqrt{5}}{65}}=\frac{13}{14}$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{13}{14}}$
【知识点】
1. 线段垂直平分线性质
2. 一次函数解析式求解
3. 锐角三角函数计算
【点评】
本题综合考查尺规作图识别、几何性质与代数计算的结合，解题关键是通过建立坐标系将几何问题转化为代数运算，降低求解难度，同时需要熟练掌握三角形面积、勾股定理及三角函数的应用。
【难度系数】
0.4
11.某玩具汽车的功率$ P $(单位:W)为定值,行驶速度$ v $(单位:m/s)与所受阻力$ F $(单位:N)成反比例关系,它的图象如图所示。当该玩具汽车受到的阻力为5 N时,它的速度为 m/s。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
首先题目明确速度v与阻力F成反比例关系，解题时第一步先设出反比例函数的一般形式；第二步观察图象得到已知点坐标(F=10，v=2)，将该点代入所设解析式求出比例系数，得到完整的函数解析式；第三步将F=5代入求出的解析式，即可计算得到对应的速度值。
【解析】
解：
∵行驶速度v与所受阻力F成反比例关系，
∴设v与F的函数解析式为$v=\frac{k}{F}$（k为常数，$k≠0$，$F＞0$）。
由图象可知，当$F=10\,\mathrm{N}$时，$v=2\,\mathrm{m/s}$，将其代入解析式得：
$2=\frac{k}{10}$，解得$k=20$，
∴v与F的函数解析式为$v=\frac{20}{F}$。
当$F=5\,\mathrm{N}$时，代入解析式得：$v=\frac{20}{5}=4\,\mathrm{m/s}$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合物理场景考查反比例函数的基础应用，解题关键是通过图象获取已知点的坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式后再代入求值，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
首先题目明确速度v与阻力F成反比例关系，解题时第一步先设出反比例函数的一般形式；第二步观察图象得到已知点坐标(F=10，v=2)，将该点代入所设解析式求出比例系数，得到完整的函数解析式；第三步将F=5代入求出的解析式，即可计算得到对应的速度值。
【解析】
解：
∵行驶速度v与所受阻力F成反比例关系，
∴设v与F的函数解析式为$v=\frac{k}{F}$（k为常数，$k≠0$，$F＞0$）。
由图象可知，当$F=10\,\mathrm{N}$时，$v=2\,\mathrm{m/s}$，将其代入解析式得：
$2=\frac{k}{10}$，解得$k=20$，
∴v与F的函数解析式为$v=\frac{20}{F}$。
当$F=5\,\mathrm{N}$时，代入解析式得：$v=\frac{20}{5}=4\,\mathrm{m/s}$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合物理场景考查反比例函数的基础应用，解题关键是通过图象获取已知点的坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式后再代入求值，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
12.提升题＞如图,在半径为3 cm的$\odot O$中,A,B,C三点在圆上,$∠ BAC=75°,∠ AOB=90°$,点P从点B开始,以$\frac{π}{5}$ cm/s的速度在劣弧BC上运动。设运动时间为t s。当以P,B,A,C四点中的三点为顶点的三角形是等腰三角形(非等边三角形)时,t的值为。
答案
解：
由圆周角定理得：
∠BOC=2∠BAC=150°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=360°-90°-150°=120°。
设点P运动过程中，劣弧BP对应的圆心角为n°，由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，结合速度$v=\frac{π}{5}\ \mathrm{cm/s}$，得：
$\frac{nπ · 3}{180}=\frac{π}{5}· t$，化简得$t=\frac{n}{12}$。
分情况讨论等腰非等边三角形：
1. 当$△ PBC$为等腰非等边三角形，$PB=PC$时：
P为劣弧BC中点，$n=\frac{150°}{2}=75°$，$t=\frac{75}{12}=\frac{25}{4}\ \mathrm{s}$。
2. 当$△ PAB$为等腰非等边三角形，$AB=BP$时：
弦AB对应圆心角为90°，故$n=90°$，$t=\frac{90}{12}=\frac{15}{2}\ \mathrm{s}$。
3. 当$△ PAB$为等腰非等边三角形，$PA=PB$时：
弦PA、PB对应圆心角相等，解得劣弧BP对应圆心角$n=135°$，$t=\frac{135}{12}=\frac{45}{4}\ \mathrm{s}$。
注：当$n=30°$时，$△ PAC$为等边三角形，不符合题意，舍去。
最终$t$的值为$\frac{25}{4}\ \mathrm{s}$、$\frac{15}{2}\ \mathrm{s}$、$\frac{45}{4}\ \mathrm{s}$。
$\boxed{\frac{25}{4}\ \mathrm{s}、\frac{15}{2}\ \mathrm{s}、\frac{45}{4}\ \mathrm{s}}$
由圆周角定理得：
∠BOC=2∠BAC=150°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=360°-90°-150°=120°。
设点P运动过程中，劣弧BP对应的圆心角为n°，由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，结合速度$v=\frac{π}{5}\ \mathrm{cm/s}$，得：
$\frac{nπ · 3}{180}=\frac{π}{5}· t$，化简得$t=\frac{n}{12}$。
分情况讨论等腰非等边三角形：
1. 当$△ PBC$为等腰非等边三角形，$PB=PC$时：
P为劣弧BC中点，$n=\frac{150°}{2}=75°$，$t=\frac{75}{12}=\frac{25}{4}\ \mathrm{s}$。
2. 当$△ PAB$为等腰非等边三角形，$AB=BP$时：
弦AB对应圆心角为90°，故$n=90°$，$t=\frac{90}{12}=\frac{15}{2}\ \mathrm{s}$。
3. 当$△ PAB$为等腰非等边三角形，$PA=PB$时：
弦PA、PB对应圆心角相等，解得劣弧BP对应圆心角$n=135°$，$t=\frac{135}{12}=\frac{45}{4}\ \mathrm{s}$。
注：当$n=30°$时，$△ PAC$为等边三角形，不符合题意，舍去。
最终$t$的值为$\frac{25}{4}\ \mathrm{s}$、$\frac{15}{2}\ \mathrm{s}$、$\frac{45}{4}\ \mathrm{s}$。
$\boxed{\frac{25}{4}\ \mathrm{s}、\frac{15}{2}\ \mathrm{s}、\frac{45}{4}\ \mathrm{s}}$
解析
【分析】
解题首先要利用圆周角定理求出已知角对应的圆心角度数，再结合弧长公式建立运动时间t和劣弧BP对应圆心角n的关系。接下来对“四点中取三点构成等腰非等边三角形”的情况进行分类讨论，分别计算每种情况对应的圆心角n，代入关系式求出t，最后排除等边三角形的情况即可得到答案。
【解析】
1. 计算已知圆心角度数：
根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得$∠ BOC=2∠ BAC=2×75°=150°$。
已知$∠ AOB=90°$，因此$∠ AOC=360°-∠ AOB-∠ BOC=360°-90°-150°=120°$。
2. 建立t与圆心角n的关系：
设劣弧BP对应的圆心角为$n°$，劣弧BP的长度可表示为$\frac{π}{5}t$cm，结合弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$r=3$cm），得：
$\frac{nπ×3}{180}=\frac{π}{5}t$
约去$π$化简得：$t=\frac{n}{12}$。
3. 分类讨论等腰非等边三角形：
① 当$△ PBC$为等腰非等边三角形，$PB=PC$时：
P为劣弧BC中点，$n=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{150°}{2}=75°$，代入得$t=\frac{75}{12}=\frac{25}{4}$s。
② 当$△ PAB$为等腰非等边三角形，$AB=BP$时：
弦AB对应圆心角为$90°$，因此$n=90°$，代入得$t=\frac{90}{12}=\frac{15}{2}$s。
③ 当$△ PAB$为等腰非等边三角形，$PA=PB$时：
P在AB的垂直平分线上，对应劣弧BP的圆心角$n=135°$，代入得$t=\frac{135}{12}=\frac{45}{4}$s。
注：当$n=30°$时$△ PAC$为等边三角形，不符合题意，舍去。
【答案】
$\boxed{\frac{25}{4}\ \mathrm{s}、\frac{15}{2}\ \mathrm{s}、\frac{45}{4}\ \mathrm{s}}$
【知识点】
圆周角定理、弧长公式、等腰三角形判定
【点评】
本题是圆与几何图形结合的综合题，核心考查分类讨论思想，解题时要对等腰三角形的不同腰的情况逐一分析，同时注意排除等边三角形的情况，避免多解或者漏解。
【难度系数】
0.4
解题首先要利用圆周角定理求出已知角对应的圆心角度数，再结合弧长公式建立运动时间t和劣弧BP对应圆心角n的关系。接下来对“四点中取三点构成等腰非等边三角形”的情况进行分类讨论，分别计算每种情况对应的圆心角n，代入关系式求出t，最后排除等边三角形的情况即可得到答案。
【解析】
1. 计算已知圆心角度数：
根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得$∠ BOC=2∠ BAC=2×75°=150°$。
已知$∠ AOB=90°$，因此$∠ AOC=360°-∠ AOB-∠ BOC=360°-90°-150°=120°$。
2. 建立t与圆心角n的关系：
设劣弧BP对应的圆心角为$n°$，劣弧BP的长度可表示为$\frac{π}{5}t$cm，结合弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$r=3$cm），得：
$\frac{nπ×3}{180}=\frac{π}{5}t$
约去$π$化简得：$t=\frac{n}{12}$。
3. 分类讨论等腰非等边三角形：
① 当$△ PBC$为等腰非等边三角形，$PB=PC$时：
P为劣弧BC中点，$n=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{150°}{2}=75°$，代入得$t=\frac{75}{12}=\frac{25}{4}$s。
② 当$△ PAB$为等腰非等边三角形，$AB=BP$时：
弦AB对应圆心角为$90°$，因此$n=90°$，代入得$t=\frac{90}{12}=\frac{15}{2}$s。
③ 当$△ PAB$为等腰非等边三角形，$PA=PB$时：
P在AB的垂直平分线上，对应劣弧BP的圆心角$n=135°$，代入得$t=\frac{135}{12}=\frac{45}{4}$s。
注：当$n=30°$时$△ PAC$为等边三角形，不符合题意，舍去。
【答案】
$\boxed{\frac{25}{4}\ \mathrm{s}、\frac{15}{2}\ \mathrm{s}、\frac{45}{4}\ \mathrm{s}}$
【知识点】
圆周角定理、弧长公式、等腰三角形判定
【点评】
本题是圆与几何图形结合的综合题，核心考查分类讨论思想，解题时要对等腰三角形的不同腰的情况逐一分析，同时注意排除等边三角形的情况，避免多解或者漏解。
【难度系数】
0.4
三、解答题
13. 计算：
(1)$4\cos 30° + \sin^2 45° - 2\tan 60° · \tan 45°$；
(2)$\sqrt{(\tan 30° - 1)^2} - \sqrt{2} \cos 45° + \frac{4}{3}\sin 60°$。
13. 计算：
(1)$4\cos 30° + \sin^2 45° - 2\tan 60° · \tan 45°$；
(2)$\sqrt{(\tan 30° - 1)^2} - \sqrt{2} \cos 45° + \frac{4}{3}\sin 60°$。
答案
解：
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan45°=1$
$\begin{aligned}原式&=4×\frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 2×\sqrt{3}×1\\&=2\sqrt{3} + \frac{1}{2} - 2\sqrt{3}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 由$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}＜1$，得$\sqrt{(\tan30°-1)^2}=1-\tan30°$，代入特殊角的三角函数值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\begin{aligned}原式&=1 - \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan45°=1$
$\begin{aligned}原式&=4×\frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 2×\sqrt{3}×1\\&=2\sqrt{3} + \frac{1}{2} - 2\sqrt{3}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 由$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}＜1$，得$\sqrt{(\tan30°-1)^2}=1-\tan30°$，代入特殊角的三角函数值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\begin{aligned}原式&=1 - \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
解析
【分析】
这两道题是特殊锐角三角函数的混合运算题，解题思路如下：①首先要准确牢记30°、45°、60°的正弦、余弦、正切函数值；②对于含平方的二次根式，先根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，判断底数的正负性后再去绝对值化简；③按照实数混合运算的顺序，先计算乘方、开方，再计算乘除，最后计算加减，合并同类项或同类二次根式即可得到结果。
【解析】
(1) 先代入特殊角的三角函数值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan45°=1$
$\begin{aligned}原式&=4×\frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 2×\sqrt{3}×1\\&=2\sqrt{3} + \frac{1}{2} - 2\sqrt{3}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 由$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}＜1$，结合二次根式性质得$\sqrt{(\tan30°-1)^2}=1-\tan30°$，再代入特殊角的三角函数值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\begin{aligned}原式&=1 - \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的性质；实数混合运算
【点评】
本题属于三角函数基础运算类题型，核心考点是特殊角三角函数值的记忆，解题时需注意二次根式化简前要先判断被开方数的符号，运算时遵循先乘方后乘除再加减的顺序，仔细计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这两道题是特殊锐角三角函数的混合运算题，解题思路如下：①首先要准确牢记30°、45°、60°的正弦、余弦、正切函数值；②对于含平方的二次根式，先根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，判断底数的正负性后再去绝对值化简；③按照实数混合运算的顺序，先计算乘方、开方，再计算乘除，最后计算加减，合并同类项或同类二次根式即可得到结果。
【解析】
(1) 先代入特殊角的三角函数值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan45°=1$
$\begin{aligned}原式&=4×\frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 2×\sqrt{3}×1\\&=2\sqrt{3} + \frac{1}{2} - 2\sqrt{3}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 由$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}＜1$，结合二次根式性质得$\sqrt{(\tan30°-1)^2}=1-\tan30°$，再代入特殊角的三角函数值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\begin{aligned}原式&=1 - \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的性质；实数混合运算
【点评】
本题属于三角函数基础运算类题型，核心考点是特殊角三角函数值的记忆，解题时需注意二次根式化简前要先判断被开方数的符号，运算时遵循先乘方后乘除再加减的顺序，仔细计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
