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14.如图,直线$y=\frac{1}{2}x+1$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象在第一象限相交于点$A(m,2)$,与$x$轴相交于点$C$,与$y$轴相交于点$D$,过点$A$作$AB⊥x$轴于点$B$,连接$BD$。
(1)求反比例函数的表达式。
(2)求证:$AD=BD$。
(1)求反比例函数的表达式。
(2)求证:$AD=BD$。
答案
解：(1) ∵点$A(m,2)$在直线$y=\frac{1}{2}x+1$上，
将$y=2$代入直线方程得：$2=\frac{1}{2}m +1$，
解得$m=2$，
∴点$A$的坐标为$(2,2)$。
∵点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
将$A(2,2)$代入得：$2=\frac{k}{2}$，
解得$k=4$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 证明：在直线$y=\frac{1}{2}x+1$中，令$x=0$，得$y=1$，
∴点$D$的坐标为$(0,1)$。
∵$AB ⊥ x$轴于点$B$，$A(2,2)$，
∴点$B$的坐标为$(2,0)$。
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{(2-0)^2 + (2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
$BD=\sqrt{(2-0)^2 + (0-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
∴$AD=BD$。
将$y=2$代入直线方程得：$2=\frac{1}{2}m +1$，
解得$m=2$，
∴点$A$的坐标为$(2,2)$。
∵点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
将$A(2,2)$代入得：$2=\frac{k}{2}$，
解得$k=4$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 证明：在直线$y=\frac{1}{2}x+1$中，令$x=0$，得$y=1$，
∴点$D$的坐标为$(0,1)$。
∵$AB ⊥ x$轴于点$B$，$A(2,2)$，
∴点$B$的坐标为$(2,0)$。
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{(2-0)^2 + (2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
$BD=\sqrt{(2-0)^2 + (0-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
∴$AD=BD$。
解析
【分析】
(1) 求反比例函数表达式需要先确定其图象上点A的坐标：已知点A纵坐标为2且在一次函数图象上，将y=2代入一次函数解析式即可求出横坐标m，得到A点坐标后代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$就能求出k的值，进而得到反比例函数表达式。
(2) 证明AD=BD可通过计算两条线段长度比较：先求一次函数与y轴交点D的坐标，再根据AB⊥x轴结合A点坐标得到B点坐标，最后利用勾股定理分别计算AD、BD的长度，若长度相等即可证明AD=BD。
【解析】
(1)
∵点$A(m,2)$在直线$y=\frac{1}{2}x+1$上，
将$y=2$代入直线方程得：$2=\frac{1}{2}m +1$，
解得$m=2$，
∴点$A$的坐标为$(2,2)$。
∵点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
将$A(2,2)$代入得：$2=\frac{k}{2}$，
解得$k=4$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 证明：在直线$y=\frac{1}{2}x+1$中，令$x=0$，得$y=1$，
∴点$D$的坐标为$(0,1)$。
∵$AB ⊥ x$轴于点$B$，$A(2,2)$，
∴点$B$的坐标为$(2,0)$。
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{(2-0)^2 + (2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
$BD=\sqrt{(2-0)^2 + (0-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
∴$AD=BD$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$；
(2) 已证$AD=BD$。
【知识点】
1. 一次函数点的坐标特征
2. 待定系数法求反比例函数解析式
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是利用函数图象上的点满足对应函数解析式求出相关点的坐标，再结合勾股定理计算线段长度即可解决问题，侧重对基础知识和基础方法的考察。
【难度系数】
0.7
(1) 求反比例函数表达式需要先确定其图象上点A的坐标：已知点A纵坐标为2且在一次函数图象上，将y=2代入一次函数解析式即可求出横坐标m，得到A点坐标后代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$就能求出k的值，进而得到反比例函数表达式。
(2) 证明AD=BD可通过计算两条线段长度比较：先求一次函数与y轴交点D的坐标，再根据AB⊥x轴结合A点坐标得到B点坐标，最后利用勾股定理分别计算AD、BD的长度，若长度相等即可证明AD=BD。
【解析】
(1)
∵点$A(m,2)$在直线$y=\frac{1}{2}x+1$上，
将$y=2$代入直线方程得：$2=\frac{1}{2}m +1$，
解得$m=2$，
∴点$A$的坐标为$(2,2)$。
∵点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
将$A(2,2)$代入得：$2=\frac{k}{2}$，
解得$k=4$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 证明：在直线$y=\frac{1}{2}x+1$中，令$x=0$，得$y=1$，
∴点$D$的坐标为$(0,1)$。
∵$AB ⊥ x$轴于点$B$，$A(2,2)$，
∴点$B$的坐标为$(2,0)$。
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{(2-0)^2 + (2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
$BD=\sqrt{(2-0)^2 + (0-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
∴$AD=BD$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$；
(2) 已证$AD=BD$。
【知识点】
1. 一次函数点的坐标特征
2. 待定系数法求反比例函数解析式
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是利用函数图象上的点满足对应函数解析式求出相关点的坐标，再结合勾股定理计算线段长度即可解决问题，侧重对基础知识和基础方法的考察。
【难度系数】
0.7
15. 提升题▶如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E，且E为OA的中点，$CD=6$。
(1)求$\odot O$的半径$r$的长。
(2)过点C作DA的垂线，交DA的延长线于点F，求AF的长。
(1)求$\odot O$的半径$r$的长。
(2)过点C作DA的垂线，交DA的延长线于点F，求AF的长。
答案
解：(1) 连接OC，
∵ $CD ⊥ AB$，O为$\odot O$的圆心，$CD=6$，
∴ $CE = \frac{1}{2}CD = 3$，$∠ OEC = 90°$。
∵ E为OA的中点，$OA=r$，
∴ $OE = \frac{1}{2}OA = \frac{r}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OE^2 + CE^2 = OC^2$
即 $(\frac{r}{2})^2 + 3^2 = r^2$，
整理得 $\frac{3r^2}{4}=9$，$r^2=12$，
∵ $r＞0$，
∴ $r=2\sqrt{3}$。
(2) 由(1)得$\odot O$半径$r=2\sqrt{3}$，
∴ $AE = \frac{1}{2}OA = \sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED=90°$，$DE=CE=3$，
$AD = \sqrt{AE^2 + DE^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = 2\sqrt{3}$
∵ $\cos∠ ADE = \frac{DE}{AD} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $∠ ADE=30°$。
∵ $CF ⊥ DF$，$∠ F=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中：
$DF = CD · \cos∠ CDF = 6 × \cos30° = 6 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$
∴ $AF = DF - AD = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
答：(1) $\odot O$的半径长为$2\sqrt{3}$；(2) $AF$的长为$\sqrt{3}$。
∵ $CD ⊥ AB$，O为$\odot O$的圆心，$CD=6$，
∴ $CE = \frac{1}{2}CD = 3$，$∠ OEC = 90°$。
∵ E为OA的中点，$OA=r$，
∴ $OE = \frac{1}{2}OA = \frac{r}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OE^2 + CE^2 = OC^2$
即 $(\frac{r}{2})^2 + 3^2 = r^2$，
整理得 $\frac{3r^2}{4}=9$，$r^2=12$，
∵ $r＞0$，
∴ $r=2\sqrt{3}$。
(2) 由(1)得$\odot O$半径$r=2\sqrt{3}$，
∴ $AE = \frac{1}{2}OA = \sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED=90°$，$DE=CE=3$，
$AD = \sqrt{AE^2 + DE^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = 2\sqrt{3}$
∵ $\cos∠ ADE = \frac{DE}{AD} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $∠ ADE=30°$。
∵ $CF ⊥ DF$，$∠ F=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中：
$DF = CD · \cos∠ CDF = 6 × \cos30° = 6 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$
∴ $AF = DF - AD = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
答：(1) $\odot O$的半径长为$2\sqrt{3}$；(2) $AF$的长为$\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 求解圆的半径时，首先根据垂径定理，由直径AB垂直弦CD可得CE为CD的一半；连接OC，结合E是OA中点，可知OE为半径的一半，此时在Rt△OCE中，三边均可用含r的式子表示，利用勾股定理列方程即可解出r的值。
(2) 求解AF的长度时，先在Rt△ADE中用勾股定理算出AD的长，再通过三角函数求出∠ADE的度数；之后在Rt△CDF中，利用三角函数求出DF的长度，AF等于DF与AD的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 连接OC，
∵ $CD ⊥ AB$，O为$\odot O$的圆心，$CD=6$，
∴ $CE = \frac{1}{2}CD = 3$，$∠ OEC = 90°$。
∵ E为OA的中点，$OA=r$，
∴ $OE = \frac{1}{2}OA = \frac{r}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OE^2 + CE^2 = OC^2$
即 $(\frac{r}{2})^2 + 3^2 = r^2$，
整理得 $\frac{3r^2}{4}=9$，$r^2=12$，
∵ $r＞0$，
∴ $r=2\sqrt{3}$。
(2) 由(1)得$\odot O$半径$r=2\sqrt{3}$，
∴ $AE = \frac{1}{2}OA = \sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED=90°$，$DE=CE=3$，
$AD = \sqrt{AE^2 + DE^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = 2\sqrt{3}$
∵ $\cos∠ ADE = \frac{DE}{AD} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $∠ ADE=30°$。
∵ $CF ⊥ DF$，$∠ F=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中：
$DF = CD · \cos∠ CDF = 6 × \cos30° = 6 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$
∴ $AF = DF - AD = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\odot O$的半径长为$2\sqrt{3}$；(2) $AF$的长为$\sqrt{3}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题型，解题核心是合理添加辅助线构造直角三角形，结合垂径定理得到线段间的数量关系，再运用勾股定理、三角函数完成计算，能有效考察对几何基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求解圆的半径时，首先根据垂径定理，由直径AB垂直弦CD可得CE为CD的一半；连接OC，结合E是OA中点，可知OE为半径的一半，此时在Rt△OCE中，三边均可用含r的式子表示，利用勾股定理列方程即可解出r的值。
(2) 求解AF的长度时，先在Rt△ADE中用勾股定理算出AD的长，再通过三角函数求出∠ADE的度数；之后在Rt△CDF中，利用三角函数求出DF的长度，AF等于DF与AD的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 连接OC，
∵ $CD ⊥ AB$，O为$\odot O$的圆心，$CD=6$，
∴ $CE = \frac{1}{2}CD = 3$，$∠ OEC = 90°$。
∵ E为OA的中点，$OA=r$，
∴ $OE = \frac{1}{2}OA = \frac{r}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OE^2 + CE^2 = OC^2$
即 $(\frac{r}{2})^2 + 3^2 = r^2$，
整理得 $\frac{3r^2}{4}=9$，$r^2=12$，
∵ $r＞0$，
∴ $r=2\sqrt{3}$。
(2) 由(1)得$\odot O$半径$r=2\sqrt{3}$，
∴ $AE = \frac{1}{2}OA = \sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED=90°$，$DE=CE=3$，
$AD = \sqrt{AE^2 + DE^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = 2\sqrt{3}$
∵ $\cos∠ ADE = \frac{DE}{AD} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $∠ ADE=30°$。
∵ $CF ⊥ DF$，$∠ F=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中：
$DF = CD · \cos∠ CDF = 6 × \cos30° = 6 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$
∴ $AF = DF - AD = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\odot O$的半径长为$2\sqrt{3}$；(2) $AF$的长为$\sqrt{3}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题型，解题核心是合理添加辅助线构造直角三角形，结合垂径定理得到线段间的数量关系，再运用勾股定理、三角函数完成计算，能有效考察对几何基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
