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16.如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$A(-1,n)$,$B(2,1)$。
(1)求一次函数$y=kx+b$与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的表达式。
(2)若在$x$轴上存在一点$P$,使得$△ PAB$的面积为$6$,求点$P$的坐标。
(1)求一次函数$y=kx+b$与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的表达式。
(2)若在$x$轴上存在一点$P$,使得$△ PAB$的面积为$6$,求点$P$的坐标。
答案
解：
(1) 把点$B(2,1)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$1=\frac{m}{2}$，解得$m=2$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$。
将点$A(-1,n)$代入$y=\frac{2}{x}$，得：
$n=\frac{2}{-1}=-2$，即$A(-1,-2)$。
把$A(-1,-2)$，$B(2,1)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} -k+b=-2 \\ 2k+b=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=-1 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=x-1$。
(2) 设一次函数$y=x-1$与$x$轴的交点为$M$，
令$y=0$，则$x-1=0$，解得$x=1$，即$M(1,0)$。
设点$P$的坐标为$(t,0)$，则$PM=|t-1|$。
$S_{△ PAB}=S_{△ PAM}+S_{△ PBM}=\frac{1}{2}· PM· |y_A|+\frac{1}{2}· PM· |y_B|$
代入已知条件得：
$\frac{1}{2}· |t-1|· 2 + \frac{1}{2}· |t-1|· 1 = 6$
整理得：$\frac{3}{2}|t-1|=6$，即$|t-1|=4$。
解得$t=5$或$t=-3$。
∴点$P$的坐标为$(5,0)$或$(-3,0)$。
(1) 把点$B(2,1)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$1=\frac{m}{2}$，解得$m=2$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$。
将点$A(-1,n)$代入$y=\frac{2}{x}$，得：
$n=\frac{2}{-1}=-2$，即$A(-1,-2)$。
把$A(-1,-2)$，$B(2,1)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} -k+b=-2 \\ 2k+b=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=-1 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=x-1$。
(2) 设一次函数$y=x-1$与$x$轴的交点为$M$，
令$y=0$，则$x-1=0$，解得$x=1$，即$M(1,0)$。
设点$P$的坐标为$(t,0)$，则$PM=|t-1|$。
$S_{△ PAB}=S_{△ PAM}+S_{△ PBM}=\frac{1}{2}· PM· |y_A|+\frac{1}{2}· PM· |y_B|$
代入已知条件得：
$\frac{1}{2}· |t-1|· 2 + \frac{1}{2}· |t-1|· 1 = 6$
整理得：$\frac{3}{2}|t-1|=6$，即$|t-1|=4$。
解得$t=5$或$t=-3$。
∴点$P$的坐标为$(5,0)$或$(-3,0)$。
解析
【分析】
(1) 求解函数表达式优先使用待定系数法：已知反比例函数过点$B(2,1)$，先将B点坐标代入反比例函数解析式求出$m$的值，即可得到反比例函数表达式；再将A点横坐标代入反比例函数，求出$n$的值得到A点完整坐标，最后把A、B两点坐标代入一次函数解析式，联立二元一次方程组求解$k$、$b$，就能得到一次函数表达式。
(2) 求x轴上点P的坐标，可先找到一次函数与x轴的交点$M$，将$△ PAB$的面积拆分为$△ PAM$和$△ PBM$的面积和，两个三角形共底$PM$，高分别为A、B两点纵坐标的绝对值，设P点坐标为$(t,0)$，表示出$PM$的长度，结合面积为6的条件列方程，解绝对值方程即可得到$t$的值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 把点$B(2,1)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$1=\frac{m}{2}$，解得$m=2$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$。
将点$A(-1,n)$代入$y=\frac{2}{x}$，得：
$n=\frac{2}{-1}=-2$，即$A(-1,-2)$。
把$A(-1,-2)$，$B(2,1)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} -k+b=-2 \\ 2k+b=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=-1 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=x-1$。
(2) 设一次函数$y=x-1$与$x$轴的交点为$M$，
令$y=0$，则$x-1=0$，解得$x=1$，即$M(1,0)$。
设点$P$的坐标为$(t,0)$，则$PM=|t-1|$。
$S_{△ PAB}=S_{△ PAM}+S_{△ PBM}=\frac{1}{2}· PM· |y_A|+\frac{1}{2}· PM· |y_B|$
代入已知条件得：
$\frac{1}{2}· |t-1|· 2 + \frac{1}{2}· |t-1|· 1 = 6$
整理得：$\frac{3}{2}|t-1|=6$，即$|t-1|=4$。
解得$t=5$或$t=-3$。
∴点$P$的坐标为$(5,0)$或$(-3,0)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\frac{2}{x}$，一次函数表达式为$y=x-1$；
(2) 点$P$的坐标为$(5,0)$或$(-3,0)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，拆分法求坐标系中三角形面积的思路简便易操作，解含绝对值的方程时要注意避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解函数表达式优先使用待定系数法：已知反比例函数过点$B(2,1)$，先将B点坐标代入反比例函数解析式求出$m$的值，即可得到反比例函数表达式；再将A点横坐标代入反比例函数，求出$n$的值得到A点完整坐标，最后把A、B两点坐标代入一次函数解析式，联立二元一次方程组求解$k$、$b$，就能得到一次函数表达式。
(2) 求x轴上点P的坐标，可先找到一次函数与x轴的交点$M$，将$△ PAB$的面积拆分为$△ PAM$和$△ PBM$的面积和，两个三角形共底$PM$，高分别为A、B两点纵坐标的绝对值，设P点坐标为$(t,0)$，表示出$PM$的长度，结合面积为6的条件列方程，解绝对值方程即可得到$t$的值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 把点$B(2,1)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$1=\frac{m}{2}$，解得$m=2$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$。
将点$A(-1,n)$代入$y=\frac{2}{x}$，得：
$n=\frac{2}{-1}=-2$，即$A(-1,-2)$。
把$A(-1,-2)$，$B(2,1)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} -k+b=-2 \\ 2k+b=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=-1 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=x-1$。
(2) 设一次函数$y=x-1$与$x$轴的交点为$M$，
令$y=0$，则$x-1=0$，解得$x=1$，即$M(1,0)$。
设点$P$的坐标为$(t,0)$，则$PM=|t-1|$。
$S_{△ PAB}=S_{△ PAM}+S_{△ PBM}=\frac{1}{2}· PM· |y_A|+\frac{1}{2}· PM· |y_B|$
代入已知条件得：
$\frac{1}{2}· |t-1|· 2 + \frac{1}{2}· |t-1|· 1 = 6$
整理得：$\frac{3}{2}|t-1|=6$，即$|t-1|=4$。
解得$t=5$或$t=-3$。
∴点$P$的坐标为$(5,0)$或$(-3,0)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\frac{2}{x}$，一次函数表达式为$y=x-1$；
(2) 点$P$的坐标为$(5,0)$或$(-3,0)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，拆分法求坐标系中三角形面积的思路简便易操作，解含绝对值的方程时要注意避免漏解。
【难度系数】
0.7
17.如图，在$△ ABC$中，AD是BC边上的高，$\tan B=\cos∠ DAC$。
(1)求证:$AC=BD$。
(2)若$AD=12$，$\sin C=\dfrac{12}{13}$，求BD的长。
(1)求证:$AC=BD$。
(2)若$AD=12$，$\sin C=\dfrac{12}{13}$，求BD的长。
答案
(1) 证明：
∵ AD是BC边上的高，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tan B = \frac{AD}{BD}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\cos∠ DAC = \frac{AD}{AC}$，
又∵ $\tan B = \cos∠ DAC$，
∴ $\frac{AD}{BD} = \frac{AD}{AC}$，
∵ $AD ≠ 0$，
∴ $AC = BD$。
---
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC = 90°$，
$\sin C = \frac{AD}{AC}$，
∵ $AD=12$，$\sin C = \frac{12}{13}$，
∴ $\frac{12}{AC} = \frac{12}{13}$，
解得 $AC=13$，
由(1)的结论$AC=BD$，可得 $BD=13$。
答：BD的长为13。
∵ AD是BC边上的高，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tan B = \frac{AD}{BD}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\cos∠ DAC = \frac{AD}{AC}$，
又∵ $\tan B = \cos∠ DAC$，
∴ $\frac{AD}{BD} = \frac{AD}{AC}$，
∵ $AD ≠ 0$，
∴ $AC = BD$。
---
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC = 90°$，
$\sin C = \frac{AD}{AC}$，
∵ $AD=12$，$\sin C = \frac{12}{13}$，
∴ $\frac{12}{AC} = \frac{12}{13}$，
解得 $AC=13$，
由(1)的结论$AC=BD$，可得 $BD=13$。
答：BD的长为13。
解析
【分析】
(1) 要证明AC=BD，首先根据AD是BC边上的高，可得△ABD和△ADC均为直角三角形。先分别在两个直角三角形中用边长表示出$\tan B$和$\cos∠ DAC$，再结合题目给出的$\tan B=\cos∠ DAC$的条件，得到关于AD、BD、AC的等式，约去非零的AD后即可推导出AC=BD。
(2) 要求BD的长，由第一问结论可知BD=AC，因此只需先求出AC的长度。已知AD的长和$\sin C$的值，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中利用正弦函数的定义可求出AC，进而得到BD的长。
【解析】
(1) 证明：
∵AD是BC边上的高，
∴$∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据正切的定义，$\tan B=\frac{AD}{BD}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，根据余弦的定义，$\cos∠ DAC=\frac{AD}{AC}$，
又
∵$\tan B=\cos∠ DAC$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AD}{AC}$，
∵$AD≠0$，等式两边同时除以AD可得$\frac{1}{BD}=\frac{1}{AC}$，
∴$AC=BD$。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，根据正弦的定义，$\sin C=\frac{AD}{AC}$，
已知$AD=12$，$\sin C=\frac{12}{13}$，代入得：
$\frac{12}{AC}=\frac{12}{13}$，
解得$AC=13$，
由(1)的结论$AC=BD$，可得$BD=13$。
【答案】
(1) 证明成立，$AC=BD$；
(2) $\boxed{13}$
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形，等式的基本性质
【点评】
本题围绕直角三角形的锐角三角函数设置问题，第一问通过三角函数表达式建立边的等量关系完成证明，第二问承接第一问的结论简化计算，注重对基础知识的考查，解题时注意前后问的关联，可降低计算难度。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AC=BD，首先根据AD是BC边上的高，可得△ABD和△ADC均为直角三角形。先分别在两个直角三角形中用边长表示出$\tan B$和$\cos∠ DAC$，再结合题目给出的$\tan B=\cos∠ DAC$的条件，得到关于AD、BD、AC的等式，约去非零的AD后即可推导出AC=BD。
(2) 要求BD的长，由第一问结论可知BD=AC，因此只需先求出AC的长度。已知AD的长和$\sin C$的值，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中利用正弦函数的定义可求出AC，进而得到BD的长。
【解析】
(1) 证明：
∵AD是BC边上的高，
∴$∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据正切的定义，$\tan B=\frac{AD}{BD}$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，根据余弦的定义，$\cos∠ DAC=\frac{AD}{AC}$，
又
∵$\tan B=\cos∠ DAC$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AD}{AC}$，
∵$AD≠0$，等式两边同时除以AD可得$\frac{1}{BD}=\frac{1}{AC}$，
∴$AC=BD$。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，根据正弦的定义，$\sin C=\frac{AD}{AC}$，
已知$AD=12$，$\sin C=\frac{12}{13}$，代入得：
$\frac{12}{AC}=\frac{12}{13}$，
解得$AC=13$，
由(1)的结论$AC=BD$，可得$BD=13$。
【答案】
(1) 证明成立，$AC=BD$；
(2) $\boxed{13}$
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形，等式的基本性质
【点评】
本题围绕直角三角形的锐角三角函数设置问题，第一问通过三角函数表达式建立边的等量关系完成证明，第二问承接第一问的结论简化计算，注重对基础知识的考查，解题时注意前后问的关联，可降低计算难度。
【难度系数】
0.7
