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18. 提升题 如图，AB是$\odot O$的直径，$OD⊥ AB$，交$\odot O$于点$D$，$C$为$AB$上方$\odot O$上一点，连接$AC$，$CD$，$CD$与$AB$相交于点$E$，过点$C$作$\odot O$的切线$CF$，交$AB$的延长线于点$F$。
(1)求证：$∠ ECF=∠ OED$。
(2)若$CF=8$，$BF=4$，求$\odot O$的半径。
(1)求证：$∠ ECF=∠ OED$。
(2)若$CF=8$，$BF=4$，求$\odot O$的半径。
答案
解：(1) 证明：
连接OC，
∵ CF是⊙O的切线，
∴ OC⊥CF，即∠OCF=90°，
∴ ∠ECF + ∠OCD = 90°。
∵ OD⊥AB，
∴ ∠DOE=90°，
∴ ∠OED + ∠ODC = 90°。
∵ OC=OD，
∴ ∠OCD=∠ODC，
∴ ∠ECF=∠OED。
(2) 设⊙O的半径为r，则OC=r，OF=OB+BF=r+4，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
$OC^2 + CF^2 = OF^2$
代入CF=8，BF=4，得：
$r^2 + 8^2 = (r+4)^2$
展开化简：
$r^2 + 64 = r^2 + 8r + 16$
$8r=48$
解得r=6。
答：⊙O的半径为6。
连接OC，
∵ CF是⊙O的切线，
∴ OC⊥CF，即∠OCF=90°，
∴ ∠ECF + ∠OCD = 90°。
∵ OD⊥AB，
∴ ∠DOE=90°，
∴ ∠OED + ∠ODC = 90°。
∵ OC=OD，
∴ ∠OCD=∠ODC，
∴ ∠ECF=∠OED。
(2) 设⊙O的半径为r，则OC=r，OF=OB+BF=r+4，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
$OC^2 + CF^2 = OF^2$
代入CF=8，BF=4，得：
$r^2 + 8^2 = (r+4)^2$
展开化简：
$r^2 + 64 = r^2 + 8r + 16$
$8r=48$
解得r=6。
答：⊙O的半径为6。
解析
【分析】
(1) 要证明∠ECF=∠OED，首先处理切线条件：遇到切线常连接过切点的半径，因此先连接OC，可得OC⊥CF，进而得到∠ECF与∠OCD互余；再结合OD⊥AB的条件，可得∠OED与∠ODC互余；最后根据OC=OD（同圆半径相等）推出∠OCD=∠ODC，利用等角的余角相等即可证明结论。
(2) 求⊙O的半径，可设半径为r，将Rt△OCF的三边都用含r的代数式表示：OC=r，OF=r+BF=r+4，已知CF=8，直接利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
(1) 证明：
连接OC，
∵ CF是⊙O的切线，
∴ OC⊥CF，即∠OCF=90°，
∴ ∠ECF + ∠OCD = 90°。
∵ OD⊥AB，
∴ ∠DOE=90°，
∴ ∠OED + ∠ODC = 90°。
∵ OC=OD（同圆的半径相等），
∴ ∠OCD=∠ODC，
∴ ∠ECF=∠OED。
(2) 解：设⊙O的半径为r，则OC=r，OF=OB+BF=r+4，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
$OC^2 + CF^2 = OF^2$
代入CF=8，BF=4，得：
$r^2 + 8^2 = (r+4)^2$
展开化简：
$r^2 + 64 = r^2 + 8r + 16$
$8r=48$
解得r=6。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ⊙O的半径为$\boxed{6}$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，涉及角的证明和线段长度计算，其中连接过切点的半径是解决切线相关问题的常用辅助线作法，第二问利用勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠ECF=∠OED，首先处理切线条件：遇到切线常连接过切点的半径，因此先连接OC，可得OC⊥CF，进而得到∠ECF与∠OCD互余；再结合OD⊥AB的条件，可得∠OED与∠ODC互余；最后根据OC=OD（同圆半径相等）推出∠OCD=∠ODC，利用等角的余角相等即可证明结论。
(2) 求⊙O的半径，可设半径为r，将Rt△OCF的三边都用含r的代数式表示：OC=r，OF=r+BF=r+4，已知CF=8，直接利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
(1) 证明：
连接OC，
∵ CF是⊙O的切线，
∴ OC⊥CF，即∠OCF=90°，
∴ ∠ECF + ∠OCD = 90°。
∵ OD⊥AB，
∴ ∠DOE=90°，
∴ ∠OED + ∠ODC = 90°。
∵ OC=OD（同圆的半径相等），
∴ ∠OCD=∠ODC，
∴ ∠ECF=∠OED。
(2) 解：设⊙O的半径为r，则OC=r，OF=OB+BF=r+4，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
$OC^2 + CF^2 = OF^2$
代入CF=8，BF=4，得：
$r^2 + 8^2 = (r+4)^2$
展开化简：
$r^2 + 64 = r^2 + 8r + 16$
$8r=48$
解得r=6。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ⊙O的半径为$\boxed{6}$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，涉及角的证明和线段长度计算，其中连接过切点的半径是解决切线相关问题的常用辅助线作法，第二问利用勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
19. 提升题＞如图,一次函数$y=3x$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象相交于点$A(2,n)$。将点$A$沿$x$轴正方向平移$m$个单位长度得到点$B$,$D$为$x$轴正半轴上的点,点$B$的横坐标大于点$D$的横坐标,连接$BD$,与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象相交于点$C$,且$BC=2CD$。
(1)求$n,k$的值。
(2)求点$C$的坐标。
(3)当$AB· OD=24$时,求四边形$OABD$的面积。
(1)求$n,k$的值。
(2)求点$C$的坐标。
(3)当$AB· OD=24$时,求四边形$OABD$的面积。
答案
解：
(1) 将点$A(2,n)$代入$y=3x$，得：
$n=3×2=6$，
$\therefore A(2,6)$。
将$A(2,6)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$k=2×6=12$。
(2) 由平移性质可知$AB// x$轴，点$B$的纵坐标为$6$。
过点$C$作$CE⊥ x$轴于点$E$，则$CE// AB$。
$\because BC=2CD$，$\therefore BD=BC+CD=3CD$，即$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{3}$。
$\because CE// AB// x$轴，$\therefore △ DCE ∽ △ DB$对应的高的比为$\frac{CE}{6}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{3}$，
解得$CE=2$，即点$C$的纵坐标为$2$。
将$y=2$代入$y=\frac{12}{x}$，得$x=6$，
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(6,2)$。
(3) 设$OD=t$，即$D(t,0)$。
由$BC=2CD$，横坐标满足$x_B - x_C = 2(x_C - x_D)$，代入$x_C=6$得：
$x_B - 6 = 2(6 - t)$，整理得$x_B=18-2t$。
由点$A$向右平移$m$个单位得到点$B$，得$x_B=2+m$，$AB=m$，
$\therefore 2+m=18-2t$，即$m+2t=16$。
由题意$AB· OD=24$，即$mt=24$，联立方程组：
$\begin{cases}m+2t=16\\mt=24\end{cases}$
解得$\begin{cases}t_1=2\\m_1=12\end{cases}$，$\begin{cases}t_2=6\\m_2=4\end{cases}$。
当$t=6,m=4$时，$x_B=2+4=6$，点$B$的横坐标等于点$D$的横坐标，不符合题意，舍去。
$\because AB// OD$，四边形$OABD$为梯形，高等于点$A$的纵坐标$6$，
$\therefore S_{四边形OABD}=\frac{1}{2}(AB+OD)×6=3×(12+2)=42$。
答：四边形$OABD$的面积为42。
(1) 将点$A(2,n)$代入$y=3x$，得：
$n=3×2=6$，
$\therefore A(2,6)$。
将$A(2,6)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$k=2×6=12$。
(2) 由平移性质可知$AB// x$轴，点$B$的纵坐标为$6$。
过点$C$作$CE⊥ x$轴于点$E$，则$CE// AB$。
$\because BC=2CD$，$\therefore BD=BC+CD=3CD$，即$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{3}$。
$\because CE// AB// x$轴，$\therefore △ DCE ∽ △ DB$对应的高的比为$\frac{CE}{6}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{3}$，
解得$CE=2$，即点$C$的纵坐标为$2$。
将$y=2$代入$y=\frac{12}{x}$，得$x=6$，
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(6,2)$。
(3) 设$OD=t$，即$D(t,0)$。
由$BC=2CD$，横坐标满足$x_B - x_C = 2(x_C - x_D)$，代入$x_C=6$得：
$x_B - 6 = 2(6 - t)$，整理得$x_B=18-2t$。
由点$A$向右平移$m$个单位得到点$B$，得$x_B=2+m$，$AB=m$，
$\therefore 2+m=18-2t$，即$m+2t=16$。
由题意$AB· OD=24$，即$mt=24$，联立方程组：
$\begin{cases}m+2t=16\\mt=24\end{cases}$
解得$\begin{cases}t_1=2\\m_1=12\end{cases}$，$\begin{cases}t_2=6\\m_2=4\end{cases}$。
当$t=6,m=4$时，$x_B=2+4=6$，点$B$的横坐标等于点$D$的横坐标，不符合题意，舍去。
$\because AB// OD$，四边形$OABD$为梯形，高等于点$A$的纵坐标$6$，
$\therefore S_{四边形OABD}=\frac{1}{2}(AB+OD)×6=3×(12+2)=42$。
答：四边形$OABD$的面积为42。
解析
【分析】
(1) 已知点A在一次函数图象上，将点A的横坐标代入一次函数解析式即可求出n的值，得到点A的完整坐标后，再代入反比例函数解析式就能求出k值。
(2) 根据平移性质可知AB平行于x轴，点B纵坐标与A相同为6。过C作CE垂直x轴，利用平行线得到相似三角形，结合BC=2CD的线段比例关系求出C点的纵坐标，再代入反比例函数解析式即可求出C点横坐标。
(3) 先设OD的长度为t，根据BC=2CD的横坐标比例关系求出B点横坐标的表达式，结合平移性质可知AB的长度等于B点横坐标减A点横坐标，根据AB·OD=24列方程求解，舍去不符合题意的解后，判断四边形OABD为梯形，用梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将点$A(2,n)$代入$y=3x$，得：
$n=3×2=6$，$\therefore A(2,6)$。
将$A(2,6)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得：
$k=2×6=12$。
(2) 由平移性质可知$AB// x$轴，点B的纵坐标为6。
过点C作$CE⊥ x$轴于点E，则$CE// AB$，可得$△ DCE ∽ △ DBA$。
$\because BC=2CD$，$\therefore BD=BC+CD=3CD$，即$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{3}$。
由相似三角形性质得$\frac{CE}{6}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{3}$，解得$CE=2$，即点C的纵坐标为2。
将$y=2$代入$y=\frac{12}{x}$，得$x=6$，$\therefore$点C的坐标为$(6,2)$。
(3) 设$OD=t$，即$D(t,0)$。
由$BC=2CD$，横坐标满足$x_B - x_C = 2(x_C - x_D)$，代入$x_C=6$得：
$x_B - 6 = 2(6 - t)$，整理得$x_B=18-2t$。
由点A向右平移$m$个单位得到点B，得$x_B=2+m$，$AB=m$，
$\therefore 2+m=18-2t$，即$m+2t=16$。
由题意$AB· OD=24$，即$mt=24$，联立方程组：
$\begin{cases}m+2t=16\\mt=24\end{cases}$
解得$\begin{cases}t_1=2\\m_1=12\end{cases}$，$\begin{cases}t_2=6\\m_2=4\end{cases}$。
当$t=6,m=4$时，$x_B=2+4=6$，点B的横坐标等于点D的横坐标，不符合题意，舍去。
$\because AB// OD$，四边形$OABD$为梯形，高等于点A的纵坐标6，
$\therefore S_{四边形OABD}=\frac{1}{2}(AB+OD)×6=3×(12+2)=42$。
【答案】
(1) $n=6$，$k=12$；
(2) $C(6,2)$；
(3) $\boldsymbol{42}$
【知识点】
1. 函数图象点的坐标特征
2. 平移的性质
3. 相似三角形的应用
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，融合了平移、相似、方程求解等多个考点，侧重考查数形结合思想，解题时需注意结合题干限制条件舍去不符合要求的解，是函数类的典型综合题型。
【难度系数】
0.6
(1) 已知点A在一次函数图象上，将点A的横坐标代入一次函数解析式即可求出n的值，得到点A的完整坐标后，再代入反比例函数解析式就能求出k值。
(2) 根据平移性质可知AB平行于x轴，点B纵坐标与A相同为6。过C作CE垂直x轴，利用平行线得到相似三角形，结合BC=2CD的线段比例关系求出C点的纵坐标，再代入反比例函数解析式即可求出C点横坐标。
(3) 先设OD的长度为t，根据BC=2CD的横坐标比例关系求出B点横坐标的表达式，结合平移性质可知AB的长度等于B点横坐标减A点横坐标，根据AB·OD=24列方程求解，舍去不符合题意的解后，判断四边形OABD为梯形，用梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将点$A(2,n)$代入$y=3x$，得：
$n=3×2=6$，$\therefore A(2,6)$。
将$A(2,6)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得：
$k=2×6=12$。
(2) 由平移性质可知$AB// x$轴，点B的纵坐标为6。
过点C作$CE⊥ x$轴于点E，则$CE// AB$，可得$△ DCE ∽ △ DBA$。
$\because BC=2CD$，$\therefore BD=BC+CD=3CD$，即$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{3}$。
由相似三角形性质得$\frac{CE}{6}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{3}$，解得$CE=2$，即点C的纵坐标为2。
将$y=2$代入$y=\frac{12}{x}$，得$x=6$，$\therefore$点C的坐标为$(6,2)$。
(3) 设$OD=t$，即$D(t,0)$。
由$BC=2CD$，横坐标满足$x_B - x_C = 2(x_C - x_D)$，代入$x_C=6$得：
$x_B - 6 = 2(6 - t)$，整理得$x_B=18-2t$。
由点A向右平移$m$个单位得到点B，得$x_B=2+m$，$AB=m$，
$\therefore 2+m=18-2t$，即$m+2t=16$。
由题意$AB· OD=24$，即$mt=24$，联立方程组：
$\begin{cases}m+2t=16\\mt=24\end{cases}$
解得$\begin{cases}t_1=2\\m_1=12\end{cases}$，$\begin{cases}t_2=6\\m_2=4\end{cases}$。
当$t=6,m=4$时，$x_B=2+4=6$，点B的横坐标等于点D的横坐标，不符合题意，舍去。
$\because AB// OD$，四边形$OABD$为梯形，高等于点A的纵坐标6，
$\therefore S_{四边形OABD}=\frac{1}{2}(AB+OD)×6=3×(12+2)=42$。
【答案】
(1) $n=6$，$k=12$；
(2) $C(6,2)$；
(3) $\boldsymbol{42}$
【知识点】
1. 函数图象点的坐标特征
2. 平移的性质
3. 相似三角形的应用
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，融合了平移、相似、方程求解等多个考点，侧重考查数形结合思想，解题时需注意结合题干限制条件舍去不符合要求的解，是函数类的典型综合题型。
【难度系数】
0.6
