20.如图,受地形条件限制,湖泊两端A,
B之间的距离不易测量,某数学兴趣
小组采用无人机进行测量。他们将
无人机上升并飞行至湖面上方的点C
处,从点C测得点A的俯角为$36.9°$,
测得点B的俯角为$60°$($A,B,C,E,F$
五点在同一竖直平面内),同时测得
点C到点A的距离为100 m。
(1)求无人机距离湖面的高度。
(2)求湖泊两端A,B之间的距离(结
果保留根号)。
(参考数据:$\sin 36.9°\approx0.60,\cos 36.9°\approx$
$0.80,\tan 36.9°\approx0.75$)

解：
(1) 过点C作CD⊥AB，垂足为D。
由题意得EF//AB，
∴ ∠A = ∠ECA = 36.9°。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=100 m，
$CD = AC·\sin36.9° \approx 100×0.60 = 60\ \mathrm{m}$
答：无人机距离湖面的高度为60 m。
(2) 在Rt△ACD中，
$AD = AC·\cos36.9° \approx 100×0.80 = 80\ \mathrm{m}$
由EF//AB，得∠B = ∠FCB = 60°。
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，CD=60 m，
$\tan60° = \frac{CD}{BD}$
$BD = \frac{CD}{\tan60°} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
∴ $AB = AD + BD = (80 + 20\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
答：湖泊两端A,B之间的距离为$(80+20\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。

【分析】
本题是解直角三角形在实际测量中的应用，解题思路如下：
(1) 要求无人机距离湖面的高度，首先过点C作AB的垂线构造直角三角形，利用平行线的内错角相等性质，将已知俯角转化为直角三角形的内角，再结合已知AC的长度，用正弦三角函数即可求出高度。
(2) 求AB的长度，可将AB拆分为AD与BD两段之和：先在Rt△ACD中用余弦三角函数求出AD的长度，再利用平行线性质得到∠B的度数，在Rt△BCD中用正切三角函数求出BD的长度，两段相加即可得到AB的总长度。
【解析】
(1) 过点C作CD⊥AB，垂足为D。
由题意得EF//AB，根据平行线内错角相等，可得∠A = ∠ECA = 36.9°。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=100 m，
$CD = AC·\sin36.9° \approx 100×0.60 = 60\ \mathrm{m}$
(2) 在Rt△ACD中，
$AD = AC·\cos36.9° \approx 100×0.80 = 80\ \mathrm{m}$
由EF//AB，得∠B = ∠FCB = 60°。
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，CD=60 m，
由$\tan60° = \frac{CD}{BD}$可得：
$BD = \frac{CD}{\tan60°} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
∴ $AB = AD + BD = (80 + 20\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
【答案】
(1) 无人机距离湖面的高度为$\boxed{60\ \mathrm{m}}$；
(2) 湖泊两端A,B之间的距离为$\boxed{(80+20\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
解直角三角形的应用；平行线的性质；锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的常规实际应用题，侧重考查将实际问题转化为几何模型的能力，作高构造直角三角形是解题的核心，熟练掌握锐角三角函数的定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

21. 提升题▶如图，AB是$\odot O$的直径，点F，G在$\odot O$上，C为AB延长线上一点，$AE⊥ CF$，交CF的延长线于点E，AF平分$∠ EAC$，$AG=BG$，连接BF。
(1)求证：EC是$\odot O$的切线。
(2)若$AG=6\sqrt{2}$，$AF=8$，求EF的长。

(1) 证明：
连接OF，
∵ AF平分∠EAC，
∴ ∠EAF = ∠OAF，
∵ OA = OF，
∴ ∠OAF = ∠OFA，
∴ ∠EAF = ∠OFA，
∴ AE // OF，
∵ AE ⊥ CF，
∴ ∠E = 90°，
∴ ∠OFC = ∠E = 90°，即 OF ⊥ EC，
又∵ OF是⊙O的半径，
∴ EC是⊙O的切线。
---
(2) 解：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AGB = 90°，
∵ AG = BG = 6√2，
∴ △AGB为等腰直角三角形，
∴ AB = $\sqrt{AG^2 + BG^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2} = 12$，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AFB = 90°，
在Rt△ABF中，AF=8，AB=12，
∴ $BF = \sqrt{AB^2 - AF^2} = \sqrt{12^2 - 8^2} = 4\sqrt{5}$，
∵ ∠EAF = ∠FAB，∠E = ∠AFB = 90°，
∴ △AEF ∽ △AFB，
∴ $\frac{EF}{BF} = \frac{AF}{AB}$，
即 $\frac{EF}{4\sqrt{5}} = \frac{8}{12}$，
解得 $EF = \frac{8\sqrt{5}}{3}$。
最终结论：EF的长为$\frac{8\sqrt{5}}{3}$。

【分析】
(1) 要证明EC是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明EC垂直于过切点的半径，因此先连接OF。由AF平分∠EAC，结合OA=OF可推出角相等，进而得到AE//OF，再根据AE⊥EC即可推出OF⊥EC，满足切线的判定条件。
(2) 首先利用“直径所对的圆周角是直角”，可得△AGB是等腰直角三角形，求出直径AB的长度；再由直径所对圆周角为直角得到∠AFB=90°，在Rt△ABF中计算出BF的长；最后通过两角相等证明△AEF∽△AFB，利用相似三角形对应边成比例即可求出EF的长度。
【解析】
(1) 证明：
连接OF，
∵ AF平分∠EAC，
∴ ∠EAF = ∠OAF，
∵ OA = OF，
∴ ∠OAF = ∠OFA，
∴ ∠EAF = ∠OFA，
∴ AE // OF，
∵ AE ⊥ CF，
∴ ∠E = 90°，
∴ ∠OFC = ∠E = 90°，即 OF ⊥ EC，
又
∵ OF是⊙O的半径，
∴ EC是⊙O的切线。
(2) 解：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AGB = 90°，
∵ AG = BG = $6\sqrt{2}$，
∴ △AGB为等腰直角三角形，
∴ $AB = \sqrt{AG^2 + BG^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2} = 12$，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AFB = 90°，
在Rt△ABF中，AF=8，AB=12，
∴ $BF = \sqrt{AB^2 - AF^2} = \sqrt{12^2 - 8^2} = 4\sqrt{5}$，
∵ ∠EAF = ∠FAB，∠E = ∠AFB = 90°，
∴ △AEF ∽ △AFB，
∴ $\frac{EF}{BF} = \frac{AF}{AB}$，
即 $\frac{EF}{4\sqrt{5}} = \frac{8}{12}$，
解得 $EF = \frac{8\sqrt{5}}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立，EC是$\odot O$的切线；
(2) $\boxed{\frac{8\sqrt{5}}{3}}$
【知识点】
切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的综合常考题，核心考查切线的证明思路、圆周角定理以及相似三角形的应用，解题关键是熟练掌握“连半径证垂直”的切线证明方法，灵活运用直角三角形和相似三角形的性质转化线段关系。
【难度系数】
0.6