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1. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，连接OB，OD。若$∠ BCD = 2∠ BOD$，则$∠ A = (\quad)$
A.$30°$
B.$36°$
C.$40°$
D.$42°$
A.$30°$
B.$36°$
C.$40°$
D.$42°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先梳理圆的相关性质：首先，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOD和∠A的数量关系；其次，圆内接四边形的对角互补，可得∠A和∠BCD的数量关系；再结合题目给出的∠BCD和∠BOD的关系，将所有角用∠A表示，列方程即可求解。
【解析】
∵ 弧BD所对的圆周角为∠A，所对的圆心角为∠BOD，根据圆周角定理，
∴ ∠BOD = 2∠A。
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的性质，
∴ ∠A + ∠BCD = 180°。
又
∵ 题目给出∠BCD = 2∠BOD，
∴ ∠BCD = 2×2∠A = 4∠A，
将其代入对角互补的式子得：∠A + 4∠A = 180°，
即5∠A = 180°，解得∠A = 36°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是将不同角的关系转化为关于未知角的方程求解，需要熟练掌握圆的基础性质，理清角与角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理圆的相关性质：首先，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOD和∠A的数量关系；其次，圆内接四边形的对角互补，可得∠A和∠BCD的数量关系；再结合题目给出的∠BCD和∠BOD的关系，将所有角用∠A表示，列方程即可求解。
【解析】
∵ 弧BD所对的圆周角为∠A，所对的圆心角为∠BOD，根据圆周角定理，
∴ ∠BOD = 2∠A。
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的性质，
∴ ∠A + ∠BCD = 180°。
又
∵ 题目给出∠BCD = 2∠BOD，
∴ ∠BCD = 2×2∠A = 4∠A，
将其代入对角互补的式子得：∠A + 4∠A = 180°，
即5∠A = 180°，解得∠A = 36°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是将不同角的关系转化为关于未知角的方程求解，需要熟练掌握圆的基础性质，理清角与角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
2.如图，AC是$\odot O$的直径，弦$BD⊥ AO$于点E，连接BC，AB，过点O作$OF⊥ BC$于点F。若$BD=8\ \mathrm{cm}$，$OF=\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，则OE的长是（）
A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先根据垂径定理，由BD⊥AC可求出BE的长度；2. 再由OF⊥BC、O是AC中点，判断OF是△ABC的中位线，从而求出AB的长度；3. 在Rt△ABE中用勾股定理算出AE的长度；4. 设圆的半径为r，用r表示出OE的长度，在Rt△OBE中根据勾股定理列方程求解r，最后算出OE的长度即可。
【解析】
解：
1. 由垂径定理，
∵AC是⊙O直径，BD⊥AO于E，BD=8cm，
∴$BE=\frac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$。
2.
∵OF⊥BC，O是AC中点，
∴F是BC的中点，OF是△ABC的中位线，
∴$AB=2OF=2×\sqrt{5}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
3. 在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{20-16}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{cm}$。
4. 设⊙O的半径为$r$，则$OB=r$，$OE=r-AE=r-2$，
在$Rt△ OBE$中，由勾股定理得：
$OB^2=OE^2+BE^2$，即$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开得：$r^2=r^2-4r+4+16$，
化简得：$4r=20$，解得$r=5\ \mathrm{cm}$，
∴$OE=r-2=5-2=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的核心是灵活运用垂径定理得到相等的线段，结合中位线定理和勾股定理逐步推导，通过设半径列方程的方法即可求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先根据垂径定理，由BD⊥AC可求出BE的长度；2. 再由OF⊥BC、O是AC中点，判断OF是△ABC的中位线，从而求出AB的长度；3. 在Rt△ABE中用勾股定理算出AE的长度；4. 设圆的半径为r，用r表示出OE的长度，在Rt△OBE中根据勾股定理列方程求解r，最后算出OE的长度即可。
【解析】
解：
1. 由垂径定理，
∵AC是⊙O直径，BD⊥AO于E，BD=8cm，
∴$BE=\frac{1}{2}BD=4\ \mathrm{cm}$。
2.
∵OF⊥BC，O是AC中点，
∴F是BC的中点，OF是△ABC的中位线，
∴$AB=2OF=2×\sqrt{5}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
3. 在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{20-16}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{cm}$。
4. 设⊙O的半径为$r$，则$OB=r$，$OE=r-AE=r-2$，
在$Rt△ OBE$中，由勾股定理得：
$OB^2=OE^2+BE^2$，即$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开得：$r^2=r^2-4r+4+16$，
化简得：$4r=20$，解得$r=5\ \mathrm{cm}$，
∴$OE=r-2=5-2=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的核心是灵活运用垂径定理得到相等的线段，结合中位线定理和勾股定理逐步推导，通过设半径列方程的方法即可求解。
【难度系数】
0.7
3.如图，AB是$\odot O$的直径，AC是弦，D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，过点D作AC的垂线，垂足为E。若$AB=10$，$AC=8$，则线段DE的长为()
A.$2\sqrt{5}$
B.4
C.3
D.$\sqrt{5}$
A.$2\sqrt{5}$
B.4
C.3
D.$\sqrt{5}$
答案
C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AB是⊙O直径，可优先利用直径所对圆周角为直角的性质，连接BC得到Rt△ABC先求出BC的长度；再结合D是弧BC的中点，根据垂径定理连接OD交BC于点F，可得OD垂直平分BC；结合DE垂直AE的条件，可证四边形DECF是矩形，将求DE的长度转化为求CF的长度，CF为BC的一半，即可得到最终结果。
【解析】
解：连接BC、OD，设OD与BC交于点F。
∵AB是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角，得∠ACB=90°，即BC⊥AE。
已知DE⊥AE，
∴DE//BC。
∵D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，根据垂径定理，OD垂直平分BC，
∴∠OFC=90°，F为BC的中点。
此时∠E=∠ECF=∠EFD=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DE=CF。
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
∴$CF=\frac{1}{2}BC=3$，
∴DE=3。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是合理作出辅助线，结合圆的性质将未知线段转化为易求的线段，考查对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先梳理已知条件：AB是⊙O直径，可优先利用直径所对圆周角为直角的性质，连接BC得到Rt△ABC先求出BC的长度；再结合D是弧BC的中点，根据垂径定理连接OD交BC于点F，可得OD垂直平分BC；结合DE垂直AE的条件，可证四边形DECF是矩形，将求DE的长度转化为求CF的长度，CF为BC的一半，即可得到最终结果。
【解析】
解：连接BC、OD，设OD与BC交于点F。
∵AB是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角，得∠ACB=90°，即BC⊥AE。
已知DE⊥AE，
∴DE//BC。
∵D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，根据垂径定理，OD垂直平分BC，
∴∠OFC=90°，F为BC的中点。
此时∠E=∠ECF=∠EFD=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DE=CF。
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
∴$CF=\frac{1}{2}BC=3$，
∴DE=3。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是合理作出辅助线，结合圆的性质将未知线段转化为易求的线段，考查对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4.如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，AD是$\odot O$的直径。若$AD=5$，$AC=4$，则$\cos B$的值是（）
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{3}$
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{3}$
答案
B
解析
【分析】
要求$\cos B$的值，直接求$∠ B$的三角函数不方便，可利用圆周角定理将$∠ B$转化为同弧所对的相等的圆周角$∠ D$；再结合$AD$是直径的性质，得到$△ ACD$是直角三角形，利用勾股定理求出直角边$DC$的长度，最后根据余弦的定义求出$\cos D$的值，即可得到$\cos B$的值。
【解析】
解：连接$DC$，
$\because AD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACD=90°$（直径所对的圆周角为直角），
$\because ∠ B$和$∠ D$都是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore ∠ B=∠ D$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=5$，$AC=4$，
由勾股定理得：$DC=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
$\therefore \cos D=\frac{DC}{AD}=\frac{3}{5}$，
$\therefore \cos B=\cos D=\frac{3}{5}$。
故选：$\mathrm{B}$。
【答案】
$\mathrm{B}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是圆与锐角三角函数的综合题，解题核心是利用圆周角定理完成角度转化，将未知角的三角函数转化为直角三角形中已知边长的角的三角函数，属于基础的综合应用题型。
【难度系数】
0.7
要求$\cos B$的值，直接求$∠ B$的三角函数不方便，可利用圆周角定理将$∠ B$转化为同弧所对的相等的圆周角$∠ D$；再结合$AD$是直径的性质，得到$△ ACD$是直角三角形，利用勾股定理求出直角边$DC$的长度，最后根据余弦的定义求出$\cos D$的值，即可得到$\cos B$的值。
【解析】
解：连接$DC$，
$\because AD$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACD=90°$（直径所对的圆周角为直角），
$\because ∠ B$和$∠ D$都是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore ∠ B=∠ D$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=5$，$AC=4$，
由勾股定理得：$DC=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
$\therefore \cos D=\frac{DC}{AD}=\frac{3}{5}$，
$\therefore \cos B=\cos D=\frac{3}{5}$。
故选：$\mathrm{B}$。
【答案】
$\mathrm{B}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是圆与锐角三角函数的综合题，解题核心是利用圆周角定理完成角度转化，将未知角的三角函数转化为直角三角形中已知边长的角的三角函数，属于基础的综合应用题型。
【难度系数】
0.7
5.如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，AC为$\odot O$的直径，B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，延长BC至点D，连接AD。若$∠ D=2∠ CAD$，$BC=2$，则AD的长为。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：1. 先利用“直径所对圆周角为直角”的性质，确定△ABC为直角三角形，且∠ABD=90°；2. 结合B是弧AC中点的条件，由等弧对等弦得到AB=BC，同时推出∠ACB的度数；3. 利用三角形外角性质，结合∠D与∠CAD的数量关系，求出∠D的度数；4. 最后在Rt△ABD中，根据含30°角的直角三角形的性质计算AD的长度。
【解析】
1.
∵AC为$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角是直角，可得$∠ ABC=90°$，
∵D在BC的延长线上，
∴$∠ ABD=90°$。
2.
∵B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，根据等弧对等弦，得$AB=BC=2$，且$△ ABC$为等腰直角三角形，因此$∠ ACB=45°$。
3.
∵$∠ ACB$是$△ ACD$的外角，根据三角形外角性质：$∠ ACB=∠ CAD+∠ D$，
已知$∠ D=2∠ CAD$，代入得$45°=∠ CAD+2∠ CAD=3∠ CAD$，
解得$∠ CAD=15°$，因此$∠ D=2×15°=30°$。
4. 在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，$∠ D=30°$，30°角所对的直角边为$AB=2$，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得$AD=2AB=2×2=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合基础题，解题核心是通过圆的性质得到直角和等角关系，再结合三角形外角性质求出特殊角，最终利用直角三角形的性质求解，对基础知识点的综合运用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路逐步推导：1. 先利用“直径所对圆周角为直角”的性质，确定△ABC为直角三角形，且∠ABD=90°；2. 结合B是弧AC中点的条件，由等弧对等弦得到AB=BC，同时推出∠ACB的度数；3. 利用三角形外角性质，结合∠D与∠CAD的数量关系，求出∠D的度数；4. 最后在Rt△ABD中，根据含30°角的直角三角形的性质计算AD的长度。
【解析】
1.
∵AC为$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角是直角，可得$∠ ABC=90°$，
∵D在BC的延长线上，
∴$∠ ABD=90°$。
2.
∵B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，根据等弧对等弦，得$AB=BC=2$，且$△ ABC$为等腰直角三角形，因此$∠ ACB=45°$。
3.
∵$∠ ACB$是$△ ACD$的外角，根据三角形外角性质：$∠ ACB=∠ CAD+∠ D$，
已知$∠ D=2∠ CAD$，代入得$45°=∠ CAD+2∠ CAD=3∠ CAD$，
解得$∠ CAD=15°$，因此$∠ D=2×15°=30°$。
4. 在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，$∠ D=30°$，30°角所对的直角边为$AB=2$，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得$AD=2AB=2×2=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合基础题，解题核心是通过圆的性质得到直角和等角关系，再结合三角形外角性质求出特殊角，最终利用直角三角形的性质求解，对基础知识点的综合运用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
6.如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点$O'$处,得扇形$A'O'B'$。若$∠O=90°,OA=4$,则阴影部分的面积为。
答案
$\boldsymbol{\frac{4π}{3} + 2\sqrt{3}}$
解析
【分析】
本题是不规则图形面积求解问题，可利用平移性质结合割补法解题：首先明确平移前后两个扇形面积相等，阴影面积等于大扇形$A'O'B'$的面积减去两扇形重叠的空白曲边图形面积。先找到弧$AB$与$O'A'$的交点$C$，连接$OC$，结合已知边长先求出$∠ COB$的度数，再分别计算各规则图形的面积，最后作差即可得到阴影面积。
【解析】
解：设弧$AB$与$O'A'$交于点$C$，连接$OC$。
$\because O'$是$OB$中点，$OA=OB=4$，$\therefore OO'=O'B=2$。
由平移性质可知$O'A'⊥ OB$，且扇形$AOB$与扇形$A'O'B'$面积相等。
在$\mathrm{Rt}△ OO'C$中，$OC=4$，$OO'=2$，
$\therefore \cos∠ COB=\frac{OO'}{OC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，即$∠ COB=60°$，
由勾股定理得$O'C=\sqrt{OC^2-OO'^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
1. 计算扇形$A'O'B'$的面积：
$S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}=\frac{90°}{360°}×π× OA^2=\frac{1}{4}×π×16=4π$
2. 计算扇形$OBC$的面积：
$S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{60°}{360°}×π× OC^2=\frac{1}{6}×π×16=\frac{8π}{3}$
3. 计算$△ OO'C$的面积：
$S_{△ OO'C}=\frac{1}{2}× OO'× O'C=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
4. 计算重叠空白曲边形$O'BC$的面积：
$S_{\mathrm{空白}}=S_{\mathrm{扇形}OBC}-S_{△ OO'C}=\frac{8π}{3}-2\sqrt{3}$
5. 计算阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}-S_{\mathrm{空白}}=4π-(\frac{8π}{3}-2\sqrt{3})=\frac{4π}{3}+2\sqrt{3}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4π}{3} + 2\sqrt{3}}$
【知识点】
扇形面积计算，平移的性质，解直角三角形
【点评】
本题核心是通过割补法把不规则阴影面积转化为规则图形的面积差求解，解题关键是利用平移性质和直角三角形的边角关系求出对应扇形的圆心角，需要熟练掌握扇形面积公式和几何变换的基本性质。
【难度系数】
0.65
本题是不规则图形面积求解问题，可利用平移性质结合割补法解题：首先明确平移前后两个扇形面积相等，阴影面积等于大扇形$A'O'B'$的面积减去两扇形重叠的空白曲边图形面积。先找到弧$AB$与$O'A'$的交点$C$，连接$OC$，结合已知边长先求出$∠ COB$的度数，再分别计算各规则图形的面积，最后作差即可得到阴影面积。
【解析】
解：设弧$AB$与$O'A'$交于点$C$，连接$OC$。
$\because O'$是$OB$中点，$OA=OB=4$，$\therefore OO'=O'B=2$。
由平移性质可知$O'A'⊥ OB$，且扇形$AOB$与扇形$A'O'B'$面积相等。
在$\mathrm{Rt}△ OO'C$中，$OC=4$，$OO'=2$，
$\therefore \cos∠ COB=\frac{OO'}{OC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，即$∠ COB=60°$，
由勾股定理得$O'C=\sqrt{OC^2-OO'^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
1. 计算扇形$A'O'B'$的面积：
$S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}=\frac{90°}{360°}×π× OA^2=\frac{1}{4}×π×16=4π$
2. 计算扇形$OBC$的面积：
$S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{60°}{360°}×π× OC^2=\frac{1}{6}×π×16=\frac{8π}{3}$
3. 计算$△ OO'C$的面积：
$S_{△ OO'C}=\frac{1}{2}× OO'× O'C=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
4. 计算重叠空白曲边形$O'BC$的面积：
$S_{\mathrm{空白}}=S_{\mathrm{扇形}OBC}-S_{△ OO'C}=\frac{8π}{3}-2\sqrt{3}$
5. 计算阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}A'O'B'}-S_{\mathrm{空白}}=4π-(\frac{8π}{3}-2\sqrt{3})=\frac{4π}{3}+2\sqrt{3}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4π}{3} + 2\sqrt{3}}$
【知识点】
扇形面积计算，平移的性质，解直角三角形
【点评】
本题核心是通过割补法把不规则阴影面积转化为规则图形的面积差求解，解题关键是利用平移性质和直角三角形的边角关系求出对应扇形的圆心角，需要熟练掌握扇形面积公式和几何变换的基本性质。
【难度系数】
0.65
7.如图，直线AB，AD与⊙O分别相切于点B，D，C为⊙O上的一点。若∠BCD=120°，则∠A的度数是。
答案
$\boldsymbol{60°}$
解析
【分析】
解题时先连接圆心与两个切点OB、OD，这是切线类问题的常用辅助线：首先根据切线性质可得到两个直角；再结合已知的圆周角∠BCD=120°，利用圆周角定理求出圆心角∠BOD的度数；最后在四边形ABOD中，用四边形内角和即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 连接OB、OD
∵直线AB、AD分别与⊙O相切于点B、D
∴OB⊥AB，OD⊥AD，即$∠ OBA=∠ ODA=90°$
2. 求圆心角∠BOD的度数
∵∠BCD是⊙O上的圆周角，对应优弧BD
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半
∴优弧BD对应的圆心角为$2×120°=240°$
则劣弧BD对应的圆心角$∠ BOD=360°-240°=120°$
3. 计算∠A的度数
∵四边形ABOD的内角和为$360°$
∴$∠ A=360°-∠ OBA-∠ ODA-∠ BOD=360°-90°-90°-120°=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、四边形内角和
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查切线性质和圆周角定理的应用，解题的关键是正确连接辅助线构造出含待求角的四边形，熟练掌握相关基础定理就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
解题时先连接圆心与两个切点OB、OD，这是切线类问题的常用辅助线：首先根据切线性质可得到两个直角；再结合已知的圆周角∠BCD=120°，利用圆周角定理求出圆心角∠BOD的度数；最后在四边形ABOD中，用四边形内角和即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 连接OB、OD
∵直线AB、AD分别与⊙O相切于点B、D
∴OB⊥AB，OD⊥AD，即$∠ OBA=∠ ODA=90°$
2. 求圆心角∠BOD的度数
∵∠BCD是⊙O上的圆周角，对应优弧BD
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半
∴优弧BD对应的圆心角为$2×120°=240°$
则劣弧BD对应的圆心角$∠ BOD=360°-240°=120°$
3. 计算∠A的度数
∵四边形ABOD的内角和为$360°$
∴$∠ A=360°-∠ OBA-∠ ODA-∠ BOD=360°-90°-90°-120°=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、四边形内角和
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查切线性质和圆周角定理的应用，解题的关键是正确连接辅助线构造出含待求角的四边形，熟练掌握相关基础定理就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
8. 提升题 已知正方形ABCD和等边三角形EFG均内接于$\odot O$，顶点E在$\overset{\frown}{CD}$上，AB=$6\sqrt{2}$ cm。
(1)如图①，当点E和点D重合时，求∠CDF的度数。
(2)如图②，当F为$\overset{\frown}{BC}$的中点时，求$\overset{\frown}{DE}$的长(结果保留π)。
(1)如图①，当点E和点D重合时，求∠CDF的度数。
(2)如图②，当F为$\overset{\frown}{BC}$的中点时，求$\overset{\frown}{DE}$的长(结果保留π)。
答案
解：
(1) 连接OD，OC，OF。
∵ 正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ COD = \frac{360°}{4}=90°$。
∵ 等边$△ EFG$内接于$\odot O$，点E与点D重合，
∴ $∠ DOF = \frac{360°}{3}=120°$。
∴ $∠ COF = ∠ DOF - ∠ COD = 120° - 90° = 30°$。
∵ 圆周角$∠ CDF$对应弧$\overset{\frown}{CF}$，
∴ $∠ CDF = \frac{1}{2}∠ COF = \frac{1}{2}×30° = 15°$。
(2) 连接OD，OE，OF。
∵ 正方形ABCD边长$AB=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
∴ $\odot O$的直径等于正方形对角线长：$\sqrt{(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2}=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $\odot O$的半径$R=6\ \mathrm{cm}$。
∵ 正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ COD = ∠ BOC = 90°$。
∵ F为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $∠ COF = \frac{1}{2}∠ BOC = 45°$。
∵ 等边$△ EFG$内接于$\odot O$，
∴ $∠ EOF = \frac{360°}{3}=120°$。
∴ $∠ EOC = ∠ EOF - ∠ COF = 120° - 45° = 75°$，
∴ $∠ DOE = ∠ COD - ∠ EOC = 90° - 75° = 15°$。
∴ $\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{15π × 6}{180} = \frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$。
答：(1) $∠ CDF$的度数为$15°$；(2) $\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$。
(1) 连接OD，OC，OF。
∵ 正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ COD = \frac{360°}{4}=90°$。
∵ 等边$△ EFG$内接于$\odot O$，点E与点D重合，
∴ $∠ DOF = \frac{360°}{3}=120°$。
∴ $∠ COF = ∠ DOF - ∠ COD = 120° - 90° = 30°$。
∵ 圆周角$∠ CDF$对应弧$\overset{\frown}{CF}$，
∴ $∠ CDF = \frac{1}{2}∠ COF = \frac{1}{2}×30° = 15°$。
(2) 连接OD，OE，OF。
∵ 正方形ABCD边长$AB=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
∴ $\odot O$的直径等于正方形对角线长：$\sqrt{(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2}=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $\odot O$的半径$R=6\ \mathrm{cm}$。
∵ 正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ COD = ∠ BOC = 90°$。
∵ F为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $∠ COF = \frac{1}{2}∠ BOC = 45°$。
∵ 等边$△ EFG$内接于$\odot O$，
∴ $∠ EOF = \frac{360°}{3}=120°$。
∴ $∠ EOC = ∠ EOF - ∠ COF = 120° - 45° = 75°$，
∴ $∠ DOE = ∠ COD - ∠ EOC = 90° - 75° = 15°$。
∴ $\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{15π × 6}{180} = \frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$。
答：(1) $∠ CDF$的度数为$15°$；(2) $\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 要求∠CDF的度数，∠CDF是对应$\overset{\frown}{CF}$的圆周角，根据圆周角定理，只需先求出$\overset{\frown}{CF}$对应的圆心角∠COF即可。先利用圆内接正方形的性质得中心角∠COD=90°，再由圆内接等边三角形的性质，当E与D重合时中心角∠DOF=120°，二者作差得到∠COF，取其一半即为∠CDF的度数。
(2) 要求$\overset{\frown}{DE}$的长，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，需先求出$\odot O$的半径R和$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角∠DOE。首先由正方形边长计算对角线长度（即圆的直径）得到半径R=6cm；再结合正方形中心角性质、F是$\overset{\frown}{BC}$中点的条件得∠COF=45°，结合等边三角形的中心角∠EOF=120°，推导得∠EOC=75°，进而求出∠DOE=15°，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
(1) 连接OD，OC，OF。
∵ 正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ COD = \frac{360°}{4}=90°$。
∵ 等边$△ EFG$内接于$\odot O$，点E与点D重合，
∴ $∠ DOF = \frac{360°}{3}=120°$。
∴ $∠ COF = ∠ DOF - ∠ COD = 120° - 90° = 30°$。
∵ 圆周角$∠ CDF$对应弧$\overset{\frown}{CF}$，
∴ $∠ CDF = \frac{1}{2}∠ COF = \frac{1}{2}×30° = 15°$。
(2) 连接OD，OE，OF。
∵ 正方形ABCD边长$AB=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
∴ $\odot O$的直径等于正方形对角线长：$\sqrt{(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2}=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $\odot O$的半径$R=6\ \mathrm{cm}$。
∵ 正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ COD = ∠ BOC = 90°$。
∵ F为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $∠ COF = \frac{1}{2}∠ BOC = 45°$。
∵ 等边$△ EFG$内接于$\odot O$，
∴ $∠ EOF = \frac{360°}{3}=120°$。
∴ $∠ EOC = ∠ EOF - ∠ COF = 120° - 45° = 75°$，
∴ $∠ DOE = ∠ COD - ∠ EOC = 90° - 75° = 15°$。
∴ $\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{15π × 6}{180} = \frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $∠ CDF=15°$；(2) $\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆，弧长计算
【点评】
本题综合考查圆内接正多边形的性质、圆周角定理及弧长公式的应用，解题核心是准确推导所求量对应的圆心角度数，能很好地锻炼几何角度推导和公式应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要求∠CDF的度数，∠CDF是对应$\overset{\frown}{CF}$的圆周角，根据圆周角定理，只需先求出$\overset{\frown}{CF}$对应的圆心角∠COF即可。先利用圆内接正方形的性质得中心角∠COD=90°，再由圆内接等边三角形的性质，当E与D重合时中心角∠DOF=120°，二者作差得到∠COF，取其一半即为∠CDF的度数。
(2) 要求$\overset{\frown}{DE}$的长，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，需先求出$\odot O$的半径R和$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角∠DOE。首先由正方形边长计算对角线长度（即圆的直径）得到半径R=6cm；再结合正方形中心角性质、F是$\overset{\frown}{BC}$中点的条件得∠COF=45°，结合等边三角形的中心角∠EOF=120°，推导得∠EOC=75°，进而求出∠DOE=15°，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
(1) 连接OD，OC，OF。
∵ 正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ COD = \frac{360°}{4}=90°$。
∵ 等边$△ EFG$内接于$\odot O$，点E与点D重合，
∴ $∠ DOF = \frac{360°}{3}=120°$。
∴ $∠ COF = ∠ DOF - ∠ COD = 120° - 90° = 30°$。
∵ 圆周角$∠ CDF$对应弧$\overset{\frown}{CF}$，
∴ $∠ CDF = \frac{1}{2}∠ COF = \frac{1}{2}×30° = 15°$。
(2) 连接OD，OE，OF。
∵ 正方形ABCD边长$AB=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
∴ $\odot O$的直径等于正方形对角线长：$\sqrt{(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2}=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $\odot O$的半径$R=6\ \mathrm{cm}$。
∵ 正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ COD = ∠ BOC = 90°$。
∵ F为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $∠ COF = \frac{1}{2}∠ BOC = 45°$。
∵ 等边$△ EFG$内接于$\odot O$，
∴ $∠ EOF = \frac{360°}{3}=120°$。
∴ $∠ EOC = ∠ EOF - ∠ COF = 120° - 45° = 75°$，
∴ $∠ DOE = ∠ COD - ∠ EOC = 90° - 75° = 15°$。
∴ $\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{15π × 6}{180} = \frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $∠ CDF=15°$；(2) $\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{π}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆，弧长计算
【点评】
本题综合考查圆内接正多边形的性质、圆周角定理及弧长公式的应用，解题核心是准确推导所求量对应的圆心角度数，能很好地锻炼几何角度推导和公式应用能力。
【难度系数】
0.6
