9. 提升题 如图，$\odot O$的直径$AB=13$，C为$\odot O$上的一点，已知$CD⊥ AB$，垂足为D，$CD=6$，$AD＜DB$，BC平分$∠ ABE$，$CE⊥ BE$，垂足为E。
(1)求证：CE是$\odot O$的切线。
(2)求AD的长。

(1) 证明：连接OC。
∵ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠OCB。
∵ BC平分∠ABE，
∴ ∠OBC=∠CBE。
∴ ∠OCB=∠CBE，
∴ OC//BE。
∵ CE⊥BE，
∴ CE⊥OC。
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ CE是⊙O的切线。
(2) 解：∵ AB是⊙O的直径，AB=13，
∴ OC=OA=13/2。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ODC=90°。
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
OD=√(OC² - CD²)=√[(13/2)² - 6²]=√(25/4)=5/2。
∴ AD=OA - OD=13/2 - 5/2=4。
答：AD的长为4。

【分析】
(1) 要证明CE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明CE垂直于$\odot O$的半径，因此优先连接OC。首先利用等腰三角形等边对等角得到$∠ OBC=∠ OCB$，再结合角平分线的性质推出$∠ OCB=∠ CBE$，即可得到$OC// BE$，最后结合$CE⊥ BE$的条件，就能推导出$CE⊥ OC$，完成切线的证明。
(2) 求AD的长时，首先根据直径长度求出半径OA、OC的长度，由$CD⊥ AB$可知$△ ODC$是直角三角形，利用勾股定理先求出OD的长度，再用OA的长度减去OD的长度即可得到AD的长度，且结果符合$AD＜DB$的限制条件。
【解析】
(1) 证明：连接OC。
∵ OB=OC，
∴ $∠ OBC=∠ OCB$。
∵ BC平分$∠ ABE$，
∴ $∠ OBC=∠ CBE$。
∴ $∠ OCB=∠ CBE$，
∴ $OC// BE$。
∵ $CE⊥ BE$，
∴ $CE⊥ OC$。
又
∵ OC是$\odot O$的半径，
∴ CE是$\odot O$的切线。
(2) 解：
∵ AB是$\odot O$的直径，$AB=13$，
∴ $OC=OA=\frac{13}{2}$。
∵ $CD⊥ AB$，
∴ $∠ ODC=90°$。
在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OC^2 - CD^2}=\sqrt{(\frac{13}{2})^2 - 6^2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$。
∴ $AD=OA - OD=\frac{13}{2} - \frac{5}{2}=4$。
【答案】
(1) CE是$\odot O$的切线，证明成立；
(2) AD的长为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
切线的判定；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问为切线判定的常规考法，掌握“连半径、证垂直”的固定解题思路即可快速解答；第二问借助圆半径相等的性质构造直角三角形，利用勾股定理求解线段长，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7